一個數學家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學習，走進數學的美麗世界

名人推薦：

〔推薦序〕

大破大立

──難得一見的數學教育好書

洪萬生／台灣師大數學系退休教授



　　這本書《一個數學家的嘆息》應該是我所見過的數學教育宣言中最基進的（radical）一篇了。作者保羅．拉克哈特（Paul Lockhart）是一位成功的專業數學家，公元2000年，他毅然轉入紐約市一所涵蓋K-12年級的中小學任教，身體力行他認為有意義的數學教學活動。本書即是他的現身說法，因此，他對於美國目前中小學數學教育的現實之沉重但真誠的嘆息，似乎沒有幾個有識之士敢視而不見。

　　事實上，本書（分上、下兩篇）所呈現的願景，乃是中小學數學教育的一種烏托邦。通常我們面對烏托邦，似乎總是看看就好，大可不必認真。然而，我仔細閱讀（英文原文⊕中譯文）之後，對於邀約寫序，多少有些猶豫與掙扎。對照我自己的數學經驗，我將如何推薦本書呢？我自己曾在台灣師大數學系任教將近四十年，主要授課如數學史都涉及未來與現職的中學教師之專業發展，而且也曾指導過幾十位在職教師班的碩士生，所以，我對於（台灣）數學教育現實的興革，當然也有相當清晰的理想與願景。不過，經歷過那麼多的數學教育改革爭議之後，我覺得務實地訓練與提升教師的數學素養，恐怕是最值得把握的一條可行進路。

　　話說回來，作者的願景所引伸出來的策略，也並非完全不可行！譬如說吧，在本書結束時，作者語重心長地鼓勵老師「需要在數學實在中悠遊。你的教學應該是從你自己在叢林中的體驗很自然地湧出，而不是出自那些在緊閉窗戶車廂中的假遊客觀點。」因此，「丟掉那些愚蠢的課程大綱和教科書吧！」因為「如果你沒有興趣探索你自己個人的想像宇宙，沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現，那麼你幹嘛稱自己為數學教師？」

　　對許多數學教師來說，要是丟掉課程大綱與教科書，大概會有一起丟掉洗澡水與嬰兒的制式（conventional）焦慮感，儘管有一些教師平常教學時，根本不太理會課程大綱與教科書內容，而只是使用自己或同仁共同編輯的講義。然而，不管你是否贊同拉克哈特的主張，也不管他的主張是否能夠付諸實現，本書是老師、家長與學生都不容錯過的金玉良言，值得我們咀嚼再三。底下，我要稍加說明我大力推薦本書的三個理由。

　　本書上篇主題是「悲歌」，依序有〈數學與文化〉、〈學校裏的數學〉、〈數學課程〉、〈中學幾何：邪惡的工具〉以及〈「標準」數學課程〉等五節。下篇主題是「鼓舞」，但不分節論述。上篇文字曾由齊斯．德福林（Keith Devlin）安排，在MAA線上（MAA Online）每月專欄「德福林觀點」全文披露（2008年3月），獲得大大超乎預期的迴響。在上篇一開始，作者拉克哈特利用虛構的音樂與繪畫之學習夢境，說明相關語言或工具的吹毛求疵，讓這些藝術課程之學習，變得既愚蠢又無趣，最終摧毀了孩子們對於創作模式那種天生的好奇心。或許上述夢魘並非真實，但是，「類比」到數學教育現場，卻是千真萬確。而拉克哈特的立論，是一般人容易忽略的數學知識活動特性：數學是一門藝術！至於它和音樂和繪畫的差別，只在於我們的文化並不認同它是一門藝術。拉克哈特進一步指出：

　事實上，沒有什麼像數學那樣夢幻及詩意，那樣基進、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺得天文學或物理學很震撼人心，在這一點上，數學完全一樣（在天文學發現黑洞之前，數學家老早就有黑洞的構想了），而且數學比詩、美術、或音樂容許更多的表現自由，後者高度依賴這個世界的物理性質。數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。

　　這種主張呼應了英國數學家哈帝（G. H. Hardy）之觀點：數學家是理念模式（patterns of ideas）的創造者。在他的《一個數學家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中，哈帝藉此宣揚他的柏拉圖主義（Platonism）。不過，拉克哈特卻將柏拉圖的理念（ideas）拉回到人類玩遊戲的層次：「我純粹就是在玩。這就是數學──想知道、遊戲、用自己的想像力來娛樂自己。」事實上，在遊戲的情境中，人們會基於天生的好奇，而開始探索。而這無非是人類學習活動的最重要本質所在。反過來，如果數學學習只是要求學生死背公式，然後在「習題」中反覆「套用」，那麼，「興奮之情、樂趣、甚至創造的過程會有的痛苦與挫折，全都消磨殆盡了。再也沒有困難了。問題在提出來時也同時被解答了──學生沒事可做。」對於這種強調精準卻無靈魂地操弄符號的文化及其價值觀，拉克哈特利用簡單例證戳破它的虛幻，這是我大力推薦本書的第一個理由。

　　在〈學校裏的數學〉這一節中，拉克哈特指出教改迷思，在於它企圖「要讓數學變有趣」，以及「與孩子們的生活產生關連」。針對這兩點，他的批判非常犀利：「你不需要讓數學有趣──它本來就遠超過你了解的有趣！而它的驕傲就在與我們的生活完全無關。這就是為什麼它是如此有趣！」顯然為了達到「有趣」與「關連」的目的，教科書的編寫難免「牽強而做作」。譬如，為了幫助學生記憶圓面積和圓周公式，拉克哈特認為：與其發明一套圓周先生（Mr. C）和面積太太（Mrs. A）的故事，不如敘說阿基米德甚至劉徽有關圓周率的探索史實，說不定更能觸動學生的好奇心靈。這種強調發生認識論（genetic epistemology）的歷史關懷，也與他批判數學課程的缺乏歷史感互相呼應。

　　拉克哈特對於數學課程的僵化之批判，還擴及它所連結的「階梯迷思」，他認為這種一個主題接一個主題的進階安排，除了淘汰「失敗的」學生之外，根本沒有（其他）目標可言。因此，學校裏的數學教育所依循的，「是一套沒有歷史觀點、沒有主題連貫性的數學課程，支離破碎地收集了分類的主題和技巧，依解題程序的難易度湊合在一起」。相反地，「數學結構，不論是否具有實用性，都是在問題背景之內發明及發展出來的，然後從那個背景衍生出它們的意義」。

　　或許有人說，中學的幾何課程可以滿足此一智性需求，不過，拉克哈特卻將它稱為「邪惡的工具」。作者在〈中學幾何：邪惡的工具〉這節中，指出數學證明的意義在於「說明，而且應該說明得清楚、巧妙且直截了當」，同時，只有當你想像的物件之行為違反了直覺，或者有矛盾出現時，嚴謹的證明才有其必要，而這當然也符合歷史真實。基於此，他嚴厲批判「兩欄式證明」（two-column proof）既沉悶又「沒有靈魂」，學生只是被訓練去模仿，而不是去想出論證！

　　在作者深刻批判學校數學、課程綱要以及幾何證明之後，他還揭露了一個目前通行的「標準數學課程」之真相，這個戳破學校數學（school mathematics）神話的深刻反思，是我大力推薦本書的第二個理由。

　　在上篇解構性的「大破」之後，拉克哈特在本書下篇當中，為我們貢獻了令人鼓舞的「大立」，這是我大力推薦本書的第三個理由。在本篇中，拉克哈特想像了一個數學實在（mathematical reality），其中「充滿了我們為了娛樂自己而建構出來（或是偶然發現）的有趣又可愛的架構。我們觀察它們、留意它們的模式、嘗試做出簡潔又令人信服的敘述，來解釋它們的行為」。至於如何做數學？拉克哈特利用實例演示，啟發我們「與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索、製作出論證並分析論證，然後提出新的問題」。此外，他還特別提醒：小孩子都知道學習和遊戲是同一回事。可惜，成年人已然忘卻。因此，他最後給讀者的實用忠告是：玩遊戲就對了！做數學不需要證照。數學實在是你的，往後的人生你都可以悠遊其中。

　　總之，本書作者分享了他自己基於好奇，探索數學知識活動被忽略面向的深刻體會，其中他認為數學如同音樂、繪畫及詩歌一樣，也是一門藝術。同時，學習與遊戲是同一回事。因此，在遊戲的情境中，基於人類天生的好奇心而探索模式，才是學習數學的正道。這也部分解釋了何以他那麼重視數學史的殷鑑，因為數學都是從歷史脈絡（context）產生，並因而獲得意義。

　　對於教師或甚至家長來說，如果你覺得本書的主張太過基進，不妨參考作者的玩數學比喻，那麼，你對數學學習一定會有全新的體會。根據寵物書籍的說明，離開幼兒階段還喜歡遊戲的物種，只有成年人和成犬而已。人類幼童利用遊戲來學習包括數學在內的各種事物。如今，我們身為成年人，甚至有幸帶領小孩子學習，為什麼不可以繼續玩下去呢？



〔推薦序〕

數學差，不是你的錯

──別讓學校扼殺了創意！

鄭國威／PanSci泛科學網站總編輯



　　先說個我自己的真實故事吧。

　　我小學的時候在學校功課排名前列，主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小，一個年級才兩班，競爭不激烈，另一個原因是我的確有點小聰明，而且蠻喜歡唸書。那年頭，學業功課好，加上比較聽老師的話，很容易就獲得其他課外表現的機會，代表班級或學校去外頭參加比賽，也因此當了好幾年的模範生，拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學？對學過珠心算的我太簡單了！

　　但一上了國中，全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分，但唯有數學，我連及格的一半都拿不到。「數學」，光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺，甚至還更嚴重些，會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美，板書我能抄的都抄了，但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。

　　於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數，或是跟大雄一樣，總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口，不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻，但當時的我真的快被數學逼瘋了，每天提心吊膽。

　　升上國二，狀況依舊沒變，但班導師換成了另一位在學校號稱王牌的數學老師。一天晚上，全家人都在客廳看電視的時候，電話響起，我坐在接起電話的父親對面，聽到他對話筒說「喔！老師好！」的時候，我的眼淚無法克制地決堤了。

　　好消息是，後來在新任班導師的細心教導之下，我的數學解題能力提升了很多，應該說，他讓我學會用我能理解的方式把答案交出來。我心知肚明，我雖然同樣考90分、100分，但跟班上數學真的好的同學比起來，我的程度還是很差。我順利考上第一志願的高中，但我完全沒有跟父母商量，就決定去唸文組。因為那種根深柢固對數學的恐懼，始終沒有離去，高中的數學對我來說更是百倍猙獰的惡魔。

　　於是我大學唸外語、研究所唸傳播，但也避開做量化研究。工作之後，做各式各樣的計畫，只要跟數學、算錢、預算有關，我就推掉。我生活節約，不想花錢，因為我不想算數學。但如果我花錢，我也不太在乎多少錢，有沒有打折，也不記錄開支，因為我不想算數學。我也不做任何投資理財，一切都交給家人處理。

　　我不知道打開這本書的你是誰。是同樣害怕數學的學生，還是正在讓學生害怕數學的老師，抑或是擔憂孩子數學成績，正在物色補習班或家教老師的父母親。如果你都不屬於這三者，而是一個非常喜歡數學的人，那麼我反而要問：怎麼可能？

　　這本書的英文原名是「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），本來也不是一本書，而是一篇2002年起開始在美國數學教師社群中流傳的文章。我看了前五頁，就覺得受震撼。而這種震撼，是一種「總算有人了解我的感覺」加上「曾經的恐懼跟傷疤又被碰觸」的綜合感受。每多讀一段，就越覺得明朗，了解自己為何當初會那麼畏懼數學。一口氣看完全書，彷彿是做了一次心理療程，把這段影響我人生選擇至巨的數學夢魘給重新詮釋了，原來數學差，並不是我的錯。

　　作者將數學與繪畫、音樂相比，突顯出數學教育之僵硬跟死板。原來問題就是出在我們看待這門學科的角度完全錯誤，將數學當作其他理科的基礎，要求絕對的精準跟正確，按照既定的公式，強調快速（為了考試）、強調術語（為了顯得專業）、強調一切大部分人在日常生活中根本使用不到的東西（為了培養數學家……但到底為甚麼每個人都要被培養成數學家呢？）

　　是甚麼讓這樣的教學結構如此穩固？是教科書跟參考書出版社、補習班產業、還是學校教育本身？看完這本書，我再次確認肯．羅賓森爵士（Sir Ken Robinson） 2006 年在TED 大會上的演說的確一點沒錯：「學校扼殺了創意」，而且是刻意為之。

　　因為當代的教育制度繼承自工業革命時期，所以教育的目的就是為了創造工業需要的人才，到現在也沒有改變。大量產出工業需求的一致性勞動力是學校教育的目標，因此教學方式必須要有效率、必須要全國一致。美其名是公平，實際上是奴役。如今結合了教科書業者、補習班業者，成了龐大的教育控制複合體。

　　數學教育特別嚴重。數學本該是供人無限想像空間的學科，因為不管思考的數學題目多麼天馬行空，多麼不切實際，都無所謂，沒有任何現實會受到傷害，除了成績單。因為害怕錯誤、對分數錙銖必較，有太多像我一樣的學生用背誦的方式學數學，靠著不斷解參考書跟考卷上的題目來磨練自己動筆的速度，但從來沒有體會過數學的樂趣，連想都沒想過數學會是有趣的。

　　大多數看過這本書的國外讀者都給予很高的評價，或許因為作者揭開了國王新衣的真相，但作者除了對數學教育拋出銳利無比的批判，也在書的第二部分嘗試用他覺得真正對學生有益處的教學方式與每一位讀者互動。雖然作者只給了幾個案例，但我看見了他想要帶領學生進入的數學奇妙世界是甚麼樣子，而我也好希望在我國中或是更小的時候，就能夠看見這個世界。如果你是學生，希望這本書可以讓你重拾對自己的信心。如果你是老師，請審視自己到底是在教學還是扼殺學生。如果你是家長，請理解你的孩子正在遭受折磨，而那本不該發生，也不該是他的錯。



前言

齊斯．德福林（Keith Devlin）

史丹佛大學教授

　　2007年下半年，在我的一場演講會上，有個聽眾交給我一份25頁的打字文稿，標題是〈一個數學家的嘆息〉（A Mathematician’s Lament），說我可能會喜歡這篇文章。這篇文章是一位數學教師保羅．拉克哈特（Paul Lockhart）在2002年所寫的，從那時起，它就在數學教育的小圈子裏祕密流傳，但是從未正式發表過。這位聽眾顯然低估了我的反應──我非常地喜歡這篇文章。這位保羅．拉克哈特，不論他是何方神聖，我覺得他的文字應該有更廣大的讀者，因此，我做了一件以前從未做過，未來也可能不會再做的事：找尋這篇文章的作者──這有點難，因為文章裏沒有聯絡資訊──並且得到他的同意之後，我在「美國數學協會」（Mathematical Association of America）的網誌MAA Online（www.maa.org）我的每月專欄「德福林觀點」（Devlin’s Angle）當中，以該文的原貌轉載全文。這是能讓這篇文章在數學界及數學教育圈子曝光，我所知道最快而且最有效的方法。

　　2008年3月，〈一個數學家的嘆息〉在我的專欄中刊出時，介紹文我是這樣寫的：

　坦白說，這是對於當前K-12（從幼稚園到十二年級）的數學教育，我所見過寫得最好的評論之一。

　　當時我期待會有熱烈的迴響。文章刊出後，引來的是燎原大火。保羅的文字在全世界激起了極大的共鳴。除了許多人寫email來表達讚賞之意，還有蜂擁而至的請求，要求授權轉載以及翻譯──礙於協議，我沒有刊登保羅的聯絡方式，所以很多要求是衝著我而來的。（你手上的這本書，也是因此而產生的。）

　　保羅所說之事，許多數學家及數學教師也曾經說過。對於數學教育理念不同，因而反對保羅觀點的人，保羅所提出的觀點也不是新鮮事。不同的是，保羅文字中的說服力以及他所流露出的強烈熱情。這不只是一篇好文章；這是偉大的作品，真正的發自內心。

　　毫無疑問，〈一個數學家的嘆息〉一文以及因而衍生出的這本書，都是表達意見的作品。保羅對於應該如何教授數學有很強烈的意見，而且強力辯護他所主張的教法，及反對現今學校數學教育的現狀。然而，除了他個人深具魅力的寫作風格之外，更特別的一點是，他對於艱難又備受爭議的數學教育課題，提出了看法，這是很少人能夠想得出來的。保羅的經歷比較少見，他是個成功的專業數學家，在大學裏教書，後來發現他的真正使命在K-12教育，因而投身其中，至今多年。

　　這本書，在我看來，和它的原稿一樣，對於每一位要從事數學教育的人、每一位學齡孩子的家長、每一位負責數學教學的學校或政府官員而言，都應該是必讀之作。你可能不是完全同意保羅的說法。你可能認為他主張的教學方法不是每位教師都能夠成功運用的。但是你應該讀一讀並想一想他的說法。這本書已經是數學教育世界裏的顯著地標，不能也不應該被忽略。在此我並不打算告訴你我認為你該做何回應。就像保羅自己也會同意的，這應該是讀者的事。但我要告訴你的是，我會愛死了保羅．拉克哈特來當我的數學老師。

（數學家齊斯．德福林為2004年國際畢達哥拉斯獎、2007年卡爾．沙根科普獎得主。史丹佛大學人文科學與先端科技研究中心〔H-STAR〕共同創辦人及資深研究員，同時也是國家公共廣播電台〔National Public Radio〕週末版的「數學人」〔The Math Guy〕專欄作者。）