數學女孩：哥德爾不完備定理

名人推薦：◎台灣師範大學通識教育中心副教授王銀國審訂&推薦!!

◎前國立台灣師範大學數學系教授兼主任洪萬生審訂&推薦!!

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序章

連同感謝與友情，
將從大海收到的禮物，一起還給大海。
──《來自大海的贈禮》〔6〕

湧來，消去──潮來潮往的海浪。
日復一日，未曾停歇──潮來潮往的海浪。

　潮來潮往的律動，意識朝著向自己邁進。
　潮來潮往的律動，意識朝著向過去回溯。

在那段時光裡，無論是誰都準備好了將死命地拍打著翅膀迎向浩瀚的天空。
而我卻蹲坐在一個不起眼的鳥籠之中。

　應當說話的自己。應當沉默的自己。
　應當說起的過去。應當沉默的過去。

隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。

　在紙上堆砌符號，試圖描繪宇宙。
　在紙上寫下數式，試圖導出真理。

隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起那些女孩們。

　彼此切磋那些名為數學的詞彙，
　在名為青春的時光裡，與我邂逅，豆蔻年華的少女們。

我之所以得以展翅飛翔，全源於一個渺小的契機──
不知道你是否願意聆聽這樣一個，有關於我和三位青春少女的動人物語?!

第1章
鏡的獨白

「魔鏡啊，魔鏡！誰是這世界上最美的人？」
「尊貴的皇后啊！這世界上最美的人，當然就是妳啊！」
聽到這個回答，皇后十分滿意。因為她知道魔鏡只說實話。
──《白雪公主》

1.1 誠實的人是誰？

1.1.1 魔鏡啊，魔鏡！

「哥哥，你知道白雪公主的故事吧!?」由梨問我。

「這還用問嗎！……就是尋找掉了玻璃鞋公主的故事啊！」我回答道。

「那個是灰姑娘！不是白雪公主啦！……真是的。」

「是這樣嗎？」

看到我一臉裝傻的表情，由梨嚷著開什麼玩笑啦！說著說著便笑了起來。


這裡是我的房間。現在是隆冬一月。很快地，歲末年初的新年假期也要結束了。雖然假期一結束馬上就要實力測驗，但整個人就是懶懶的，怎麼都提不起勁來。
由梨今年國中二年級。而她總是叫高中二年級的我「哥哥」。儘管由梨總是哥哥 「哥哥」、「哥哥」地叫個不停，但由梨和我並不是親兄妹。我的母親和由梨的母親是親姊妹。換句話說，我和由梨是表兄妹。由梨從小就叫我「哥哥」，叫習慣了也改不過來，所以到現在還是繼續叫我哥哥。

我的房間裡擺滿了許多由梨喜歡看的書。也因此，每逢假日，住在附近的由梨一定會到我家玩。每當我用功的時候，她便在一旁看書消磨時間。


由梨開口說道。

「白雪公主那位惡毒的後母，只要一面向魔鏡，就會像這樣頌唸呢！」

「魔鏡啊！魔鏡！誰是這世界上最美麗的人？」

「嗯！『作為美人判定機的鏡子』嗎?!」我回答由梨。
「皇后之所以能夠說出這一番話，正代表了她認為自己很美麗，不是嗎？由梨我啊！每次只要一照鏡子，就會忍不住唉聲嘆氣。我不僅髮色很糟，髮尾還分岔嚴重呢！」

由梨說著說著，開始用手指把玩著自己栗褐色的馬尾。

我重新審視著由梨整個人。雖然由梨對自己的評價甚苛，但是我卻不這麼認為。望著臉上表情不斷變化的由梨，我的眼神無法移開。伶牙俐齒的由梨給我的印象總像日本搞笑團體爆米花（Pop corn）般那樣地能言善道。腦筋動得快、點子多，能舉一反三，和由梨說話一點都不會感到無聊。

「啊∼啊！好想染頭髮喔！好想變漂亮喔！」

「不行的，不行！由梨！」我開口阻止由梨道。

聽我這麼一說，由梨停下捲動髮尾的手，朝我望來。

「不行的，不行！指的是什麼事啊？」

「我說的是──由梨現在這樣子很好，不用做任何改變就、嗯、非常好了……」
「……非常好了？」

「所以就是……」

「孩子們！要不要來吃貝果啊──？」從廚房裡傳來媽媽的叫喊聲。
「我要──吃！」

剛剛還一本正經的由梨，臉上的表情立刻有了轉變，大聲地回答。
站起身來，伸手強拉我起身走的由梨，非常適合穿窄管牛仔褲，明明體型那麼窈窕纖細，卻有一身的蠻力。

「喂！喂！哥哥，你動作快一點嘛！快來去吃點心啦！」

1.1.2 誠實的人是誰？

飯廳。

「這本書有趣嗎？」

由梨伸手拿起我放在餐桌旁的數學題庫，啪啦啪啦地快速翻著。

「不知道！還沒有看過。雖然是放假前特地從學校借來看的。」

「咦?!高中圖書館裡有這種類型的書啊！……哥哥，你知道這個問題的答案嗎？題目是說──在A1∼A5的五個人當中，誠實的人是誰?!」


誠實的人是誰？
A1「在這裡，有一個人說謊。」
A2「在這裡，有兩個人說謊。」
A3「在這裡，有三個人說謊。」
A4「在這裡，有四個人說謊。」
A5「在這裡，有五個人說謊。」

「來！喜歡哪一種口味自己拿喔！」媽媽端著裝滿貝果的盤子從廚房走近餐桌。

「這個是原味的，這個是核桃口味的。而這個是羅勒口味。」

「那這個是什麼口味呢？」由梨問道。

「那個是洋蔥口味哦！」

「那，我要吃這個洋蔥口味的。」

「你呢！想吃哪個?!」媽媽將盤子推到我的眼前。傳來陣陣暖暖的香氣。

「哪個口味都好啦！喂！由梨，那個問題……」

「不行！一定要好好地選一個口味才可以。」這次，媽媽將手裡的盤子又推得更近了。

「那我選原味的。」

「可是我比較推薦核桃口味的耶！」

「什麼……那就核桃口味。」

我伸手拿起核桃貝果之後，媽媽帶著一臉滿足地轉身走回了廚房。結果，做選擇的還不是媽媽本人嘛！

「由梨，在這個問題當中，所謂的誠實的人，指的是只說實話的人嗎？」

「對！對！騙子就只會說謊。從A1到A5，哪一個才是誠實的人，而說謊的又是哪些人呢？」

「那麼，問題很簡單。誠實的人是A4。而說謊的是其他四個人。」

「嘖！真是無趣的喵……哥哥，居然這麼快就說出答案了！」

我這個小表妹，偶爾會突然口吐貓語。畢竟，還是個孩子……。

「這個問題，將老實人的人數依場合作分類，馬上就可以回答得出來囉！」我回答道。「不管怎麼樣，誠實的人有零到五個人不等。首先，如果誠實的人有零個（換句話說，五個人全部都說謊）的話，這個假設不可能成立。因為，A5明明就已經說得很清楚了『在這裡，有五個人說謊』。也就是說，如果A5所言屬實的話，那麼A5一定就是那個唯一誠實的人了。可是這麼一來，A5所主張的『有五個人說謊』的說法，便無法成立。這樣不是很奇怪嘛！」

「嗯嗯∼」由梨點頭如倒蒜地附和著。

「接著，以誠實的人有一個（換句話說，說謊有四個人）為前提來思考。在這種情況下，因為只有A4是正確的發言，所以A4就是那個唯一誠實的人。而剩下的四個人都說謊。這麼一來，就完全合邏輯了。」

「說得也是！」由梨一臉高興的樣子。

「再來，以誠實的人有兩個（換句話說，說謊有三個人）為前提來思考。在這種情況下，只有A3是正確的發言。那麼，A3正確的發言應該是『有三個人說謊』才對；但事實上是『說謊的有四個人』，這麼一來，就完全不合邏輯了。同樣地，以誠實的人有三、四、五個的前提出發來思考的話，也完全不合邏輯。結果，最後理所當然的，A4就是那個唯一誠實的人了──還真是有趣呢！」

「什麼有趣？」

「不用A、B、C、D、E當作人名，而是使用了像編號一樣的作法，將人名以A1、A2、A3、A4、A5代替。」

「這樣啊──」

「出個一般化之後的問題好了。不知道由梨解不解得開這個問題呢？」我說道。

誠實的人是誰？（一般化）
B1「在這裡，有一個人說謊。」
B2「在這裡，有兩個人說謊。」
B3「在這裡，有三個人說謊。」
B4「在這裡，有四個人說謊。」
B5「在這裡，有五個人說謊。」

Bn-1「在這裡，有（n-1）個人說謊。」
Bn「在這裡，有n個人說謊。」

「這個n是什麼？」由梨咬著貝果，發出了疑問。

「嗯！這真是個好問題呢！文字n代表某個自然數。」

「人家聽不懂啦！即使哥哥你告訴我這個n是自然數……莫非是我要從無限的茫茫人海中做人肉搜索嗎?!」

「並不是無限的人海茫茫啊！因為條件中已經給了妳這個叫做n的數字啊！所以，妳只要從B1，B2，……Bn等n個人當中找出答案來就可以了。並沒有要妳從無數個人中下手。」

「這樣啊！並不是無窮多個啊！」

「這個問題，只要把它當作五個人的時候一樣，來思考就可以了，對吧?!」

「咦?!……啊！我懂了！Bn-1就是那個誠實的人。」

「正確答案。由梨妳真的相當聰明呢！」

「哦呵呵！這種題目實在太簡單了。因為誠實的只有一個人，那麼說謊的人自然就是（n-1）個人啦。」由梨開玩笑地說道。

「在這裡，因為n這個數字的緣故，所以把問題給一般化了。也就是說──
『因文字的導入所引起的一般化』──的意思喔！」

「就是說n可以是任何數字嗎？」

「沒錯！n可以是自然數1,2,3,………中的任何一個數字喔！」

「唔。這樣很奇怪！很奇怪──耶！」由梨說道。「當n＝1時，不就沒有人是誠實的了嗎！」


誠實的人是誰？（n＝1的情況）
C1「在這裡，有一個人說謊。」

「嗯？在這種時候，就要回答『沒有人是誠實的』。」我回答道。

「咦！這樣太奇怪了吧！說起來，C1到底是誠實的人呢？還是說謊的人呢？」

「是說謊的人吧？」

「那麼，不就是有一個人在說謊了嗎？C1本人就是那個說謊的人啊！這樣一來，原本說謊的人，反倒說了實話呢！」

「啊……好像也是呢！可是，C1也不是誠實的人。因為明明就只有自己一個人，還眼說瞎話地說『有一個人在說謊』。這不就成了原本是誠實者的C1，反而自己本身變成了說謊的人……嗯，或許這個問題本身就不能成立。」

「問題──不成立？」

「嗯，會演變成這樣的結論。因為問題的條件是在『不是誠實者，就是說謊者』這樣奇怪的前提下。當n=1的時候，問題便無法成立。」

「就是說這是個無法決定是哪一個答案的問題嗎？」

「嗯。因為我們無法決定C1到底是誠實的呢？還是在說謊？說起來……由梨妳還真是犀利呢！」

「喵哈哈。可是，無法決定答案還真是討人厭呢！人家希望可以輕而易舉解開的喵∼」

「就是啊！」

「我知道了！剛剛的答案應該是，說謊的人就是『出題者』本人啦！」

「那是什麼鬼答案啊！」

1.1.3 相同的答案

我繼續思考著新的題目。

「好！由梨。看看這一題妳可不可以解得出來？」


會出現相同答案的問題是？
試著思去考出一個問題，讓回答者不管是誠實的人或是說謊的人，說出來的都會是「相同的答案」。並且，這個問題只能用「是」或「不是」來回答。


「我搞不懂題目的意思耶！『相同的答案』是什麼意思？」

「就是誠實的人跟說謊的人，說出來的答案都會變成一樣。如果誠實的人回答『是』的話，那麼說謊的人也會回答『是』。而相反地，如果誠實的人回答『不是』的話，那麼說謊的人也會回答『不是』……就是這樣的問題。」

「有這種問題嗎？」

由梨變得一臉正經，開始思考問題。我最喜歡由梨思考時的表情了。儘管，她常常不作思考就豎起了白旗，立刻說出「人家不會啦」……。

「怎麼樣？由梨，解得出來嗎？」

「簡單噢。只要像這樣問就可以了。」

「你是誠實的人嗎？」

「沒錯！沒錯！真的很厲害。」

「誠實的人因為是誠實的，所以自然就會回答『是』，而說謊的人因為會說謊，所以也會跟著回答『是』。兩個人都只會回答『是』這個答案。」

「說的很好！誠實的人答的『是』，完全屬實。而說謊的人答的『是』，則是謊言，對吧!?──我們也可以像這樣問喔！」

「你是個說謊的人嗎？」

「對耶！這樣的話，不管是誠實的人也好，說謊的人也好，都會回答『不是』這個相同的答案了。」

「讓你們久等了！」媽媽端來了飲料。「來！請喝可可亞。」

「咦……如果是咖啡就好了！」我說道。「算了！也無所謂。」

「人家可是很喜歡阿姨泡的可可亞喔！」由梨說道。

「我的小由梨，真是個貼心的乖孩子！」媽媽說道。

「……我說，哥哥。『誠實的人與說謊的人』的角色設定，還真的是很厲害呢！對吧？因為，所謂的誠實的人，就只會說實話啊！開口說出來的也只可能是真的事情。實在很厲害呢！」

「還好啦！喂！由梨，說謊的人與誠實的人具有相同的能力──妳知道嗎？」
「咦？這是什麼意思？」由梨看著我。

「因為說謊的人，是絕對會說謊言，不可能說實話的啊！在這種情況下，說謊的人就必須像誠實的人一樣，擁有能看穿真相的能力。否則，很有可能就會一不小心脫口說出實話來。」

「耶！確實如此！『一不小心脫口說出實話來』還滿有趣的喵∼」

「就算有多不小心，也絕對不可以說謊喔！你們兩個。」媽媽說道。


1.1.4 名為沉默的答案

「……啊！由梨我也想到一個新的題目囉！剛剛我們所思考的問題是，誠實的人的答案跟說謊的人的答案會相同。那麼，像這條如何？當然也只能回答『是』或『不是』呀！」
無法回答的問題是？
說謊的人可以回答得出來，但是誠實的人卻回答不出來的問題是什麼呢？


「嗯──嗯！原來如此！」我說道，並陷入了思考。「出條誰也不知道答案的問題如何？就像是──『孿生質數（Twin Prime，兩個質數的差為2，數學家稱這樣的質數為雙生質數）存在有無窮多個嗎？』之類的問題。」

「這個叫做孿生質數是什麼？」

「所謂的孿生質數，指的就是差為2的質數對。就像是3和5、5和7這一類的質數對。究竟是不是有無窮多個，截至目前為止還沒有人知道答案。」

「意思有點不一樣耶！『孿生質數存在有無窮多個嗎？』這個問題，只是暫時沒有答案，對吧！也許哪一天說不定就會被解開了呀！而且在『孿生質數存在有無窮多個嗎？』這個問題當中，就連說謊者也會啞口無言了不是嗎？只要無法瞭解事情的真相，即使是騙子也會連謊都說不成啊！」

「說得的確很有道理。」

「人家由梨我啊！想到的問題是這個噢！」

　　「在這個問題當中，你會回答『不是』嗎？」

「好有趣！由梨妳想的這個問題非常有趣耶！如果要誠實的人來回答的話……誠實的人如果回答了『是』的話，因為沒有回答『不是』，所以就會變成了說謊的結果。如果回答『不是』的話，卻會因真的回答了『不是』而變成說謊的結果……這還真是有點棘手呢！因為誠實的人不會說謊，所以既不能回答『是』，也不能回答『不是』啊！」

「就是說啊！說謊的人只要回答『是』就可以了。因為即使是謊言也無所謂啊！」

「說謊的人就算回答了『不是』也無所謂噢。反正都是說謊啊！」

「還真是複雜呢──」由梨笑著說道。
「的確。」我也笑了起來。這麼一來，誠實的人就只能保持「緘默」不做任何回答了。

序章連同感謝與友情，將從大海收到的禮物，一起還給大海。──《來自大海的贈禮》〔6〕湧來，消去──潮來潮往的海浪。日復一日，未曾停歇──潮來潮往的海浪。　潮來潮往的律動，意識朝著向自己邁進。　潮來潮往的律動，意識朝著向過去回溯。在那段時光裡，無論是誰都準備好了將死命地拍打著翅膀迎向浩瀚的天空。而我卻蹲坐在一個不起眼的鳥籠之中。　應當說話的自己。應當沉默的自己。　應當說起的過去。應當沉默的過去。隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。　在紙上堆砌符號，試圖描繪宇宙。　在紙上寫下數式，...