上帝是數學家？

名人推薦：「本書多方援引，足見作者對於現代科學史家的相關論述，花了相當的時間與心力，這些都可以見證他的忠於科普敘事之品質。」──台灣師範大學數學系退休教授 洪萬生

「這本書可以讓一般讀者重燃對真理求索的熱情，重拾對造物者神奇又可畏的讚歎。」

──哈佛大學數學博士 美國哥倫比亞大學數學系教授　王慕道

「如果，你因數學障礙而把此書放回架上，或在閱讀初期因掌握不住重點而就此放棄，那你就真的失去一次和造物主比肩而坐、合影留念的機會。這本書真的會讓你體驗到造物主似有若無、但卻無所不在的氛圍，讓你第一次以理性...

光明乍現

英國十八世紀詩人亞歷山大．波普（Alexander Pope，1688-1744）曾以一段聞名於世的對句來濃縮牛頓的成就：

自然與自然定律，在黑夜裡隱藏；

上帝說，讓牛頓來！於是，一切化為光。

在牛頓逝世近一百年後，拜倫在史詩《唐璜》（Don Juan）中加了下面兩行：

而這是自亞當以來，唯一能

理解墮落或蘋果的男人

在往後世代的科學家眼中，牛頓確實曾經是，也仍然是帶有傳奇色彩的一號人物─就算有人駁斥這些神話。牛頓的名言「如果我看得比別人遠，是因為我站在巨人的肩膀上」，被視為大器與謙遜的典範，科學家要提出偉大的發現時，就該展現這樣的風範。事實上，當初牛頓寫這句話時可能隱約透著嘲諷意味，用以回覆被他視為頭號死敵，多產的物理及生物學家羅伯特．胡克（Robert Hooke，1635-1703）寫給他的一封信。胡克指控牛頓數度剽竊他的構想，先是光的理論，後又加上萬有引力。一六七六年一月二十日，胡克改採較和緩的語氣，在寫給牛頓的私人信件上宣稱：「我想你和我（在光的理論方面）的構思都是針對同一個目標，亦即事實的發掘，我想我們也都可以忍受別人的反對。」牛頓決定陪他玩下去。他在一六七六年二月五日回給胡克的信中寫道：「笛卡兒的成就是很大的一步（指笛卡兒對光的概念）。你已經增添了多種方法，特別是將薄板的顏色納入哲學考量。如果我看得比別人遠，是因為我站在巨人的肩膀上。」因為胡克不但不是什麼巨人，還是個嚴重駝背的矮個子，可見這句牛頓流芳百世的名言可能只是意味著，他覺得對胡克毫無虧欠！而牛頓一逮到機會就羞辱胡克，宣稱自己的理論摧毀了「他（胡克）說的每一句話」，且不肯在胡克死前發表《光學》（Opticks）一書等種種事實，皆證明以這種方式來解讀那句話應非穿鑿附會。這兩位科學家的爭鬥在萬有引力的理論上更趨激烈。當牛頓聽說胡克自稱為萬有引力定律的開山鼻祖，他一絲不茍、滿懷惡意地從他以此為題的著作中，抹去每一個提到胡克名字的地方。牛頓在一六八六年六月二十日寫給友人天文學者艾德蒙．哈雷（Edmond Halley，1656-1742）的信中寫道：

他（胡克）實在應該以無能為由替自己開脫的。他話說得簡單，卻不知道怎麼著手。豈不妙哉？發現、解決及動手做一切事情的數學家必須甘於自己不過是乏味的計算者和苦力，而其他什麼都沒做，但假裝什麼都了解的人卻可把所有發明和追隨者帶走。

牛頓在這裡說得很清楚，為什麼他認為胡克沒有任何功勞─他無法以數學的語言闡述他的理念。的確，讓牛頓的理論卓然出眾的特質─將之轉變為不可避免之自然定律的固有特性─就是它們皆可以清晰明瞭、前後一致的數學關係來表現。相形之下，胡克的純理論概念儘管有不少極富創造力，外表看來卻只是一堆直覺、猜想和臆測的結合。

偶然，一直被認為失傳的皇家學會一六六一年至一六八二年手寫紀錄，突然在二○○六年二月現蹤。這份包含五百二十多頁羅伯特．胡克手稿的文件在英國罕布夏一棟民宅裡發現，據信它曾在一個櫥櫃裡放了五十年之久。一六七九年十二月的紀錄記述了胡克和牛頓的信件往來，他們在信中討論一項證明地球運轉的實驗。

回到牛頓的科學傑作，他採用了笛卡兒的概念─宇宙可用數學描述─並將之化為行動。他在曠世巨作《自然哲學的數學原理》（The Mathematical Principles of Natural Philosophy，拉丁文為Philosophiae Naturalis Principia Mathematica；通稱為Principia）的序中說道：

我們稱此作品為哲學的數學原理，因為哲學的一切負荷似乎都存在其中─藉由運動現象探究力的本質，再藉由此證明其他現象：這就是第一冊和第二冊的命題欲針對的目標。在第三冊中我們舉了一個實例來詳細解說世界的體系；透過在前兩冊經由數學證明的命題，我們將在第三冊從天體現象了解星體對太陽及數顆行星施加的重力。接下來，從這些力量，藉由其他亦經數學證明的論證，我們將推論出行星、彗星、月球和海洋的運動。

他開宗明義：「我寫這本書的目的並非用假設來解釋光的性質，而是要用推理和實驗來提出與證明：為此，我要以下列定義及公理為前提。」接著他便以精確的定義和命題著手進行，彷彿這是一本探討歐幾里得幾何學的書。然後，在本書的結尾，牛頓再次強調：「一如在數學領域，在自然哲學範疇裡，以分析法探究難題絕對優於複合法（method of composition）。」

牛頓以數學工具完成的功業堪稱奇蹟。這位恰好在伽利略去世那年出生的天才─好個歷史巧合─建構了力學的基本定律、破解了行星運動的法則、樹立了光及色彩現象的理論基礎，也奠定了微分和積分的研究。光是這些成就便足以讓牛頓光榮躋身頂尖科學家之列。但讓他登上魔術師殿堂的最高寶座，留給史上最偉大的科學家的，是他在萬有引力方面的貢獻。這個成果彌合了天空與地球的間隙，熔接了天文和物理學領域，更將整個宇宙置於一把數學的大傘之下。數學原理這個傑作是如何誕生的？

我開始想像重力延伸至月球軌道

儘管牛頓無疑是在一六六九年以前就寫下第一份探討重力理論的手稿。他卻不必親眼見到蘋果墜落才明白地球會把物體吸至地表。他在制訂萬有引力定律上不可思議的卓越見解，也不可能來自區區一顆蘋果掉落的畫面。事實上，有些跡象顯示，一些牛頓在詮釋萬有引力時不可或缺的概念，是遲至一六八五年才構思出來。這般浩大的理念在科學紀錄中實在太過罕見，就連像牛頓這樣聰明絕頂的天才，也必須通過一長串需高度智力的步驟才能完成。

一切或許從牛頓青年時期，他與歐幾里得的幾何學鉅作，《幾何原理》的完美邂逅開始。據牛頓自己的說法，他第一次「只讀了那些命題的標題」，因為他覺得那些非常容易理解，使他「不禁納悶怎麼會有人以撰寫那些東西的證明為樂」。第一個促使他提筆，在書中寫下幾句解釋的，是「在直角三角形中，斜邊平方等於其他兩邊的平方和」的命題─畢氏定理。或許多少有點令人意外的是，儘管牛頓在就讀劍橋三一學院期間，確實看過一些有關數學的書籍，但他卻未讀過許多當時已十分普遍的著作。他顯然也不需要！

事實證明，對於牛頓的數學及科學思想影響最深的，莫過於笛卡兒的〈幾何學〉。牛頓在一六六四年第一次讀，之後又溫習數次，直到「自己能全盤掌握為止」。函數觀念及其自由變數值的觀念所呈現出來的彈性，似乎為牛頓開啟了無限的可能。解析幾何學不僅為牛頓的微積分鋪路，有助於相關函數、切線和曲線的探究，牛頓內心的科學精神更因此發光發熱。於是，尺和圓規的呆板作圖再見了─它們被可用代數表現的任意曲線（arbitrary curve）給取代了。然後，在一六六五年間，一場可怕的瘟疫肆虐倫敦，當每星期死亡人數都達到數千之多，劍橋的大學必須關門大吉。牛頓被迫離校，回到偏遠村落伍爾斯索普的家中。在那裡，在靜謐的鄉間，牛頓首次嘗試證明，讓月球待在繞地球運行軌道上的力量，與地球的重力（就是使蘋果墜落的力量），其實是同樣的力。牛頓在一七一四年前後所寫的一份備忘錄中這樣描述這些早期的努力：

同一年（一六六六年）我開始想像將重力延伸至月球軌道，也找出如何評估，環繞甲星球運轉的乙星球，會對甲星球表面施加多大的力量，我從克卜勒的「行星軌道週期的平方與其距軌道中心的立方成正比」的定律推斷，使行星繞既定軌道運行的力，必定與它們和軌道中心距離平方成反比：依此我比較了使月球繞其軌道運行的力量，與地球表面的重力，結果發現答案相當接近。以上成果是在一六六五年瘟疫期間，我的創造力達到顛峰，也是最在意數學和哲學的年代出爐。

這裡牛頓指的是他（從克卜勒行星運動定律）所做的推論：兩個星體之間的萬有引力，與兩者距離的平方成反比。換句話說，如果地球和月球的距離是現在的三倍，那麼月球承受的地球引力就剩下目前的九分之一（32 = 9）。

數學原理

哈雷在一六八四年的春季或夏季赴劍橋拜訪牛頓。哈雷曾和胡克及知名建築師克里斯多福．瑞恩（Christopher Wren，1632-1723）討論克卜勒行星運動定律。在這些喝咖啡聊是非的對話，胡克和瑞恩都自稱已在數年前推論出重力的平方反比定律，但兩人皆未能替演繹過程建立完整的數學理論。哈雷決定問牛頓一個關鍵問題：他知道行星軌道因為受到隨平方反比定律變化的引力影響，會呈現何種形狀嗎？令他大吃一驚的是，牛頓回答他在多年前即已證明軌道會是橢圓形了。數學家亞布拉罕．棣美弗（Abraham de Moivre，1667-1754）在一份備忘錄中說了這則故事：

一六八四年哈雷前來劍橋拜訪他（牛頓），在碰面一段時間後，哈雷問他，既然行星所受太陽的引力與兩者的距離平方成反比，他認為行星會畫出什麼樣的曲線？以撒爵士不假思索地回答，是橢圓形，博士又驚又喜，問他怎麼知道，牛頓說，是他算出來的，哈雷毫不遲疑地向牛頓要計算過程，以撒爵士翻閱了他的論文，找不到，但答應哈雷會重寫一份並寄給他。

哈雷在同年十一月再次來訪。在這兩次見面之間，牛頓發狂似地工作。棣美弗給了我們一段簡短的敘述：

為實現諾言，以撒爵士再次埋首於工作，卻無法得出他以為先前仔細檢查過的結論，但他試了一種不比原來費時的新方法，得出先前的結論，然後他小心檢查，為什麼他之前進行的計算無法證實為真，然後……他讓兩種計算方式殊途同歸了。

起初，牛頓以為這本書不過是他《旋轉星體》論文的擴增版或詳細版。不料他一開始撰寫，便發現有些主題需要進一步的思考。有兩個論證尤其不斷在牛頓腦中翻攪。其一如下：牛頓剛開始闡述其萬有引力定律時，是把太陽、地球和行星當成數學的點質量（point mass），沒有任何維度。他當然知道事實並非如此，因此在應用於太陽系時，僅將他的結果視為近似值。有些人甚至揣測他之所以在一六七九年後再次放棄重力主題的研究，是因為他對這種情況感到不滿。至於蘋果所受的引力，情況又更糟了。地球直接接觸蘋果的部分，與蘋果的距離顯然遠小於地球的另一面。要怎麼計算淨引力呢？天文學家賀伯．霍爾．透納（Herbert Hall Turner，1861-1930）在刊於一九二七年三月十九日倫敦《泰晤士報》（Times）的一篇文章中這樣描述牛頓心裡的掙扎：

他在當時想出引力與距離平方成反比的整體概念，但他發現要將之徹底應用在凡夫俗子渾然未覺的事物上，十分困難。其中最重要的一點，他直到一六八五年才克服……那就是如何把地球對於遠在天邊的月球的引力，與地球對於近在表面的蘋果的引力連結起來。前者，組成地球的各個粒子與月亮之間的距離，無論在量或方向上都沒有太大的差異；但它們與蘋果的距離，無論大小或方向均相差懸殊。就後者而言，不同的引力要如何加在一起，或結合成單一合量（resultant）呢？它們可以聚集於何種「重力中心」呢？

一六八五年春天，終於出現突破性進展。牛頓證明了一個基本定理：就兩個球體而言，「一個球體吸引另一個球體的總力與球心的距離平方成反比」。也就是說，球體在行重力作用時，就像是聚集於中心的點質量。數學家詹姆士．惠布瑞德．李．葛萊夏（James Whitbread Lee Glaisher，1848-1928）再三強調這個美妙證明的重要性。在一八八七年牛頓《數學原理》兩百周年慶的演說中，葛萊夏說（1888）：

牛頓一證明這個宏偉的定理─而從他的字裡行間，我們知道他原無預期會有這麼美妙的成果，直到它自個兒從他的數學研究中冒出─全宇宙的所有力學立刻攤開在他眼前……他原本以為這些結果應用在太陽系時只是接近事實，當他發現它們完全正確的剎那，所有論證一定都改頭換面了！……我們可以想像從近似到真確的驟變是如何令他振奮，也刺激他繼續投入更偉大的研究。現在，他可以盡情將完全精確的數學分析應用在天文問題上了。

在牛頓撰寫《旋轉星體的運動》的草稿時，另一個明顯令他苦惱的事實是他忽略了行星吸引太陽的力量的影響。換句話說，在他原本的規劃中，他將太陽歸為那種「幾乎不存在」的不可移動的力量中心。這個概念與牛頓本身的第三運動定律相牴觸：「物體的作用力與反作用力同時發生，量值相等。」太陽對行星有多大的引力，行星對太陽就有多大的引力。因此，他補充道：「如果有兩個星體（諸如地球與太陽），無論是吸引或被吸引的星體皆不可能靜止不動。」這個看似不起眼的領悟實為建構萬有引力概念的重要踏腳石。我們試著猜測牛頓心裡怎麼想：如果太陽吸引地球，那地球一定也吸引太陽，引力相等。也就是說，地球不僅繞著太陽運轉，而是兩者皆繞著共有的重力中心運轉。但這還不是全部。所有其他行星也吸引太陽，而且每顆行星不僅感受到太陽的引力，也感受到所有其他行星的引力。同樣的邏輯也適用於木星和它的衛星、地球和月球，甚至蘋果和地球之上。這個結論的驚人之處在於它的簡單─只有一種萬有引力，它會在任兩個物質之間，宇宙任何地點起作用，這就是牛頓需要的東西。《數學原理》─五百一十頁密密麻麻的拉丁文─在一六八七年七月出版。

牛頓採用準確率僅百分之九十六左右的觀察和實驗，建立了事實證明誤差不到百萬分之一的重力數學定律。他憑藉著對於觀察結果的「預知」力，首度統合了自然現象的「說明」。物理學和數學從此永遠焦不離孟，而科學與哲學分道揚鑣已成定局。

牛頓和笛卡兒的數學家上帝

對牛頓來說，世界的存在和宇宙的數學規律性都是上帝存在的鐵證。最初提出這種因果推理的是神學家湯瑪斯．阿奎那（Thomas Aquinas，1225-1274），而這類論證相繼被貼上「宇宙論」或「目的論」的哲學標籤。簡單地說，宇宙論主張，既然物理世界必定是以某種方式成形，那麼就一定有一個「第一因」（First Cause），也就是「造物主」。目的論，或曰設計論，則試著以世間的顯著設計來提供上帝存在的證據。牛頓在《數學原理》中表達了這樣的想法：「完美的太陽、行星及彗星體系能夠行進，必定是一個具有無比智慧與力量的『存有』在背後計畫、管轄。而如果恆星是其他類似體系的中心，這些設計得同樣睿智的體系，一定全都受到『唯一』（One）的管制。」千百年來，宇宙論和目的論等類似論證（做為上帝存在的證明）的精確性，一直是哲學家爭辯的主題。我個人的感想始終如此：有神論者不需要這些論證便深信不疑，而無神論者怎樣也不會被它們說服。

牛頓還以其定律的普遍性為基礎，增添了另一個轉折。他認為全宇宙皆由同樣定律支配，且看似穩定的事實，也是上帝「操縱之手」的證據，「尤其恆星發出的光和太陽光具有同樣的性質，而光會從每一個體系傳送到其他所有體系，而唯恐各個恆星體系會因重力之故相互撞擊，祂特地讓這些體系彼此隔著遙遠的距離。」

在《光學》一書中，牛頓清楚表明他不相信單憑自然法則就足以解釋宇宙的存在─上帝才是所有組成宇宙物質的原子的創造者和支撐者：「因為是祂（上帝）創造了它們（原子），並讓它們井然有序。而如果祂這麼做了，那麼要追尋任何其他世界的起源，或妄稱宇宙可能是起於純自然法則造就的渾沌，就與哲學無關了。」換句話說，對牛頓而言，上帝是數學家（也是其他種種的專家）─這不僅是比喻，而是名副其實─造物主上帝建立了一個由數學定律支配的物理世界。

(摘錄自第四章)

光明乍現

英國十八世紀詩人亞歷山大．波普（Alexander Pope，1688-1744）曾以一段聞名於世的對句來濃縮牛頓的成就：

自然與自然定律，在黑夜裡隱藏；

上帝說，讓牛頓來！於是，一切化為光。

在牛頓逝世近一百年後，拜倫在史詩《唐璜》（Don Juan）中加了下面兩行：

而這是自亞當以來，唯一能

理解墮落或蘋果的男人

在往後世代的科學家眼中，牛頓確實曾經是，也仍然是帶有傳奇色彩的一號人物─就算有人駁斥這些神話。牛頓的名言「如果我看得比別人遠，是因為我站在巨人的肩膀上」，被視為大器與謙遜的典範，科學家要提出偉大的發現時...

作者自序
第一章 謎
第二章 神秘主義者：數字學家和哲學家
第三章 魔術師：大師和異教徒
第四章 魔術師：懷疑論者和巨人
第五章 統計學家和或然論者：不確定的科學
第六章 幾何學者：未來的衝擊
第七章 邏輯學家：思考推理
第八章 不合理的有效性？
第九章 論心智、數學及宇宙

作者自序
第一章 謎
第二章 神秘主義者：數字學家和哲學家
第三章 魔術師：大師和異教徒
第四章 魔術師：懷疑論者和巨人
第五章 統計學家和或然論者：不確定的科學
第六章 幾何學者：未來的衝擊
第七章 邏輯學家：思考推理
第八章 不合理的有效性？
第九章 論心智、數學及宇宙