微積分導論

微積分是理、工、商、醫學門所需的一項基本數學素養，幾乎所有的大一學生都必須學習這個科目，根據我們多年的觀察，發現部分學生帶著高中以前對數學的印象，有的畏懼、有的厭惡，甚至根本就放棄學習微積分，造成未來求學過程中的困擾。基於這個理由，我們希望編寫一本讓大家輕鬆學習微積分的教材，奠定良好的基礎，增加學生的數學基本素養。
為了要方便讀者閱讀，我們儘量以較簡捷的方式表現各種概念及方法，不做多餘的敘述，各章節中利用具代表性的範例，解說該處的重要觀念，並提出簡短的練習，讓學生做進一步的演練，完成最基本的訓練，若需要更多的練習，我們將再提供另一部進階教材，以補不足。
本書總共有十二個章節，基本上分成五個部分：
第一部分：討論單變數函數極限以及連續的概念
第二部分：討論單變數函數的微分及其應用
第三部分：討論單變數函數的積分及應用
第四部分：討論函數分析的另一種技巧---級數
第五部分：討論多變數函數的微分、積分及應用
若要對進度做更精簡的安排，可以省略第四部分，直接進入多變數函數的學習。

郎正廉、施俊良、葉建寧
義守大學應用數學系

第一章 極限與連續性 5
1.1 函數（function） 5
1.2 一些基本函數簡介 8
1.3 極限概念： 11
1.4 極限的運算 12
1.5 連續 16
1.6 與無窮相關的極限 21
1.7 極限的嚴謹數學定義 25

第二章 微分 31
2.1 導數和變化率 31
2.2 導數函數 35
2.3 可微和連續性 38
2.4 微分基本公式 40
2.5 變化率的應用 46
2.6 連鎖法則 48
2.7 隱微分 51
2.8 反函數（inverse function） 54
2.9 相對變化率 55
2.10 線性近似與微分 58

第三章 微分的應用 61
3.1 極大和極小值 61
3.2 均值定理 64
3.3 遞增／遞減檢定 65
3.4 圖形的凹凸姓 66
3.5 最佳化問題 68

第四章 積分 71
4.1 定積分 71
4.2 定積分的性質 74
4.3 反導函數 75
4.4 不定積分 76
4.5 微積分基本定理 78
4.6 變數代換積分法 80
第五章 積分的應用 83
5.1 兩曲線間的面積 83
5.2 體積 86
5.3 弧長與旋轉表面積 90

第六章 反函數：對數、指數與反三角函數 93
6.1 反函數 93
6.2 自然對數 95
6.3 一般對數及指數函數 101
6.4 反三角函數 104
6.5 不確定型及羅必達法則 107

第七章 積分技巧 113
7.1 分部積分法 113
7.2 三角函數的積分 116
7.3 三角代換法 122
7.4 部分分式 126
7.5 瑕積分 130

第八章 參數方程式與極座標 137
8.1 極座標（Polar Coordinate system） 137
8.2 極座標函數圖形 139
8.3 極座標中之面積與曲線長度問題 142

第九章 無窮級數與收斂性 145
9.1 無窮數列 145
9.2 無窮級數 150
9.3 積分檢驗法 154
9.4 比較檢驗法 158
9.5 交錯級數 162
9.6 絕對收斂與條件收斂 163
9.7 比值和根值檢驗法 165
9.8 冪級數及函數之冪級數表現 167
9.9 泰勒級數與麥克勞林級數 172

第十章 向量值函數及參數式 177
10.1 向量值函數 177
10.2 曲線長度 181
第十一章 多變數函數 183
11.1 多變數函數 183
11.2 偏微分或偏導數（Partial Derivatives） 187
11.3 極限與連續 195
11.4 鏈鎖律（The Chain Rule） 202
11.5 梯度與方向導數（Gradients and Directional Derivatives） 216

第十二章 多重積分 231
12.1 在長方型區域的雙重積分 231
12.2 一般區域的雙重積分 238
12.3 極座標下的雙重積分 244
12.4 三重積分 248