數學是什麼？（上）

名人推薦：

推薦序 無比吸引力的歡樂源泉

有人在精品店血拼時，全身血脈賁張，因慾望得到滿足而快樂。但也有的人歡樂泉源來自別處。

像是數學，數學能夠帶給學生的最大影響，應該是學生在多年數學學習過程的激勵下，所培養出來那種主動迎向問題，細細思索及嘗試，意圖能征服阻礙，到達撥雲見日之欣喜階段的態度。如果我們問別人：「學習數學的樂趣是什麼？」大多數人都會回答：「在一個困難問題經過苦苦思索後豁然開朗，那樣的快樂無與倫比。」

數學所提供的歡樂源泉，不同於大血拼，是具備如下的特質：(1)當我們每日在真實世界探索時，回頭瞧，會發現數學抽象思維和實象之間那種若即若離的微妙關聯，人類生活、自然需求激勵數學研究；(2)在數學領域中，即使其版圖仍在繼續成長，舊的發現卻鮮少變得過時。所以接近數學的人，不須面臨底下的心靈惆悵——拿起筆記本，將從前所學猛然塗改，並對心得進行縫補。

在《數學是什麼？》這本書中，透過作者極具洞察力的思維及眼光，技術性細節與走彎路的舉措被避免了，數學看來更像是非凡的故事，比課堂知識有趣得多。裡面有數學家的冒險歷程，「找到不尋常的發現」是對勇者的犒賞。想想看，如果學生鎮日鑽入考試與補習的痛苦輪迴中，兩相比較起來，對數學的瞭解似不能同日而語。學習在各種程度的學生身上展現，但真正用心挖掘數學深層關聯的人，有機會領略數學之美。

讓我們由書中擷取幾例，先來看繆畢烏斯帶。德國數學家繆畢烏斯（August Ferdinand Mobius，1790~1868）在其一篇關於「單側」表面的學術報告中，提出一些直至今日仍會令初識者大為驚奇的論證。所謂的繆畢烏斯帶，它是把一條細長的長方形帶子的一端扭轉到另一側之後，同另一端貼在一起而形成。第一，常見的雙側表面是由細長形帶子沒有經過扭轉而把它的兩端貼起來形成的，而繆畢烏斯帶只有單側面，一隻沿著帶子而始終維持在帶子中間線爬行的小蟲將會左右倒置地回到它原來的出發點；第二，如果沿著繆畢烏斯帶的中線剪開，會發現它依舊是一條完整的帶子。就如書中作者所言，「對於任何一個不熟悉繆畢烏斯帶的人來說，很難預知這種變化，它與我們在直覺上認為『應該』會出現的事情竟是如此地背道而馳。」我們可以藉由閱讀這本書的第四、五章之幾何篇章，來加強直覺，抓住事物的可構性，或說是「開啟幾何之眼」。

還有，認不認識紐結（knots）？只要是迴圈就可以被扭曲或打結，它們是可以被串連起來──用任何一種方式──包括在一般意義上彼此完全不連接在一起的情況在內。而紐帶是三維空間中一個或多個閉合的迴圈的集合，如果紐帶只有一個迴圈，那麼它就被稱為一個紐結。紐帶理論的核心問題是尋求有效的方法，以判定兩個已知的紐帶或紐結是否在拓撲上有等價關係──就是說，按照連續變形使彼此能夠變成對方。關於這方面的研究，我們一定要提到一個有意思的五組研究。

1984 年紐西蘭數學家鍾斯（Vaughan Jones）正從事關於所謂跡函數（trace functions）在算子代數（operator algebras）方面的分析，意外發現其多項式可為紐結理論做出貢獻。由此作為開端，接著由數學家組成的五個不同的小組各自同時發現，具有兩個變數的鍾斯多項式的普遍形式，在辨別紐結上甚至更有效，通常被稱為荷姆弗利多項式（HOMFLY polynomial）按發明者的姓Hoste-Ocneanu-Millett-Freyd-Lickorish-Yetter的第一個字母拼湊而成。有意思吧！不僅如此，巧手的人對這種自成迴圈的三葉結、「8」字形結、平結等會很有興趣，而這些「手藝品」其實是數學拓撲分支的研究對象，數學家一群一群地不停挖掘出大量解讀資訊。

數學可帶給人驚奇感受。「兩個看來是毫不相干的數學觀念事實上竟然如此緊密連繫」，多奇妙！在「利用對數功能可詮述質數分布的平均變化」這個發現上，已經讓我們對這件事留下深刻印象；但還可以再添一筆——高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855，德國）的「最小平方法」（method of least squares）。從一切有可能出現的測量值中選出一個可作為u的最優值，就是它足以使各個偏差的平方值之和儘可能成為最小，這個作為u的最優值恰好就是算術平均數。上面這個事實可經由最小平方法確認，而較為複雜的問題，例如，假定我們測量出來的各點並非剛好是在一條直線上，我們該如何把一條最適合於這些已被測得的n個點的直線描繪出來？還是最小平方法發揮效用。每當問題注定要從稍為不一致的測量值中，擇定一個貌似有理的結果，「最小平方法」就位居指導原則的地位，當然它也許會被基於相同推理的其它變體來替代。

這樣的關聯也發生在數學與物理兩個學科身上。因為數學觀念與自然界之間是和諧的，所以數學、自然界、物理的鐵三角被建立起來。作者於書中揭示一個觀念：物理現象的實際存在象徵數學問題的解答，在許多為這觀點所付出的努力中，最引人注目的，應該是書中在極限方面進行的「柏拉托（Joseph Plateau，1801~1883，比利時物理學家）肥皂膜實驗」。三面肥皂膜120度相交或四面交角近似109度，應該再再令實驗者流連忘返。好玩、富啟發性的實驗，居於一個永不匱乏的源泉地位，提供數學許多的意義。

現在再來看微積分（calculus），專門談變化率與積累功效這類問題，一個和物理力學無法切割的數學分支。生活中這樣的問題屢見不鮮，當牛頓想要分析運動中的質點，因時間而帶動在速度方面的現象，也就是牛頓口中所稱的「流量」（fluent quantities）時；或是德國外交官萊布尼茲在夜晚空閒時刻，自我苦思不規則邊界下的面積，該如何引進適切的符號標誌時；對這兩個歷史時間點，我們也許能同等感受作者的評論，「數學家之應該對這類問題感興趣，只不過是出於自然。」書中如是說。

面對幾個典型的物理力學問題，我們見識到數學的根本力量——一個抽象的數學公式化表述，它把許多看來似乎相當不一樣而且毫不相干的個別現象的深層結構一舉揭露出來，在書裡的第七、八章有許多精彩的論述。

微積分的魅力不只於此。牛頓（Sir Isaac Newton，1642~1727，英國）和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646~1716，德國）對微積分的長時期演化，扮演了具有決定性的角色。誠如書中作者所言，牛頓與萊布尼茲的巨大功勞乃在於他們清楚確認到下述兩個問題彼此之間的密切聯繫。古老的求取面積與十七世紀時才表述之導數（萊布尼茲稱之為「微商」），是微積分的兩個基本問題，這兩個看來似乎相當分岐的概念之間，存在一個不可分割的相互聯繫性。萊布尼茲和牛頓率先清楚地辨識出此點，繼而開發出精準有效的微積分基本定理（fundamental theorem of the calculus），於是在他們手中，把兩者統一起來的各種新方法遂成為科學上強大的利器。

這本書被評為「一個數學珠璣的大採集」，而它也當之無愧。當故事已栩栩如生地帶到你的眼前，就讓我們泡杯茶，好好開始數學奇妙之旅，盡情享受這一切吧！

北一女中　許秀聰 2009年1月

媒體推薦：

「明白易懂……把整個數學領域的基本概念和方法清晰地呈現出來。」 ——愛因斯坦

「毫無疑問，本書將有巨大的影響力。對於喜歡從事科學思考的人來說，不管是專業或非專業，都應該人手一本。」 ——紐約時報

「高度完美的上乘之作……以各種最簡單的例子，成功地把我們數學家視為我們這一行的命根子的基本概念和方法變得清清楚楚，其涵蓋範圍之廣令人驚訝。」 ——赫曼．外爾

「太好了……應該是體驗極大的樂趣和滿足感的一個源泉。」 ——應用物理學期刊(Journal of Applied Physics)

「本書就是一件藝術作品。」 ——美國數學家莫斯(Marston Morse)

「一個非同尋常的完美著作。」 ——數學評論(Mathematical Reviews)