用物理學找到美麗新世界–事物如何環環相扣

得獎紀錄：本書榮獲英國艾凡提斯科學圖書大獎（AventisPrizeforsciencebooks）「這是一本閃耀著知識光芒的書……，我可以保證，你一定會對書中的描述大為驚奇。」－比爾‧布萊森（BillBryson）「一本偉大的鉅作……鮑爾……是最傑出的科學作家之一！」－－英國《觀察家報》（Observer）「真是棒極了！……內容豐富且引人入勝……作者不僅敘述條理分明，更擁有驚人的見識」鮑爾的文筆深度遠遠超越了當今常見的浮泛標題。他的作品中充滿了紮實且無可挑剔的研究資訊，而且說服力十足。在

第七章

上路出發

無法改變的交通動態

一個社會規劃者會仔細地考量交通號誌的效用。他們提醒了我們，雖然人們通常都會把規劃跟控制聯想在一起，但是其中的關鍵因素卻往往在於事物之間是否具有協調性：人們必須在適當的時間做出正確的事情，以配合其他們人的行為。

湯瑪斯•謝林（Thomas Schelling）西元一九七八年


在任何一個知識領域的理論性研究中，其最主要的目標之一，就是要找出一個最佳的觀點以揭示出事物最單純的面向。

約書亞•威勒•吉布斯（J. Willard Gibbs）


不管是在煉獄，或是在天堂，
於孤獨的旅行者之中、他是最快的一個。

盧亞德•吉卜林（Rudyard Kipling）西元一八九○零年

如果要你每一年都要花一整個星期的工作時間坐在一個大紙箱裡，然後什麼事也不能做，不能站起來、不能伸伸懶腰、不能睡覺、不能看書、也不能看電視，你會覺得如何？如果你住在華盛頓特區、波士頓或是丹佛，那麼你或許已經嘗試過這種情況了。如果你住在洛杉磯，你或許每一年得花上一個半星期的時間來體驗它。

我說的是車子塞在車陣裡動彈不得的情況。隨著城市的擴展，通勤者的通勤距離就變得更遠。，此外，由於許多大眾運輸系統都很老舊，而且騎腳踏車又變成了一種會威脅生命安全的活動，因此越來越多人選擇自己開車上班，於是，「塞在車陣中」便理所當然地成為城市生活的一部分。平均而言，過去二十年來，居住在美國大城市的人，在這種很孤單、很煩躁的情況下所浪費的時間已經成長了三倍之多。在洛杉磯，你每年花在交通堵塞上的時間很可能會高達五十六個小時：這個時間是每週正常工作時數的一點五倍。而且，很肯定的是，塞車的情況肯定只會越來越糟。倫敦的居民會不厭其煩地告訴其他人（通常是當他們遇上塞車時），今天倫敦城裡的平均開車時速就跟一百年前的車速一樣慢（當時所謂的馬力就真的是指「馬的力量」）。有鑑於此，倫敦的管理當局最近已開始在最容易產生交通擁擠的地段開始徵收塞車費，試圖藉此看看是否能減少車流量。

寒暑假時，在歐洲看到超過一百公里長的塞車情況並不是什麼奇怪的事。由交通堵塞所造成的車輛運輸的隱性成本相當地驚人，如果這項成本反映在汽車或汽油的價格上，或許在買車或加油時我們就會再三地考慮。在德國，每年人民浪費在車陣中的時間經濟成本大約有六百億英磅，其中還不包括對環境的汙染。而在休士頓（這裡的汽油很便宜！），如果將每天塞車時所浪費的汽油加總起來，每人每年大概會多花八百五十美元左右（五百英磅）。

汽車所排放的廢氣是世界上最大的汙染源之一。在德國這種都市化程度很高的國家，排放到大氣中的有毒一氧化碳與氮氧化物，有百分之六十是來自於汽車。近年來，城市地區的兒童罹患氣喘的比例增高，其主要原因很可能就是源自於汽車所產生的汙染。因車輛過度排放二氧化碳所造成的溫室效應，或許正是導致兩極冰層融化的元兇。塞車時汽車引擎會空轉，導致汽油燃燒不完全，而這種情況就會讓上述的污染問題更嚴重。在西雅圖，平均每個人每年在塞車時（車輛靜止或幾乎靜止）所用掉的汽油就超過三百五十公升。

要解決塞車的問題，其中的一項方案就是建造更多的道路。但是，有了更多道路之後，必然會吸引更多的車輛，很快地，問題很快就會回到原點。美國國家歷史文物保存信託基金會執行長莫伊（Richard Moe）指出：「建造更多道路以疏解交通，就像是放鬆皮帶來解決肥胖問題一樣。」理想的解決方式，就是鼓勵民眾多多利用大眾運輸工具、多騎腳踏車、多走路。雖然這一類的事情都很容易做到，但是我們對內燃機的依賴還是很難消除，而這個問題不管在開發中國家或是已開發國家都越來越嚴重。如果減少車流量是很令人氣餒的一項任務，我們是否至少能以較有效率的方式來疏導它呢？簡言之，了解交通如何流動，、以及為何阻塞乃是我們最急迫的目標。

儘管目前我們大多利用電腦來進行交通流量控制以及街道網絡的規劃，但是每個城市還是有它自己的「黑色地帶」，在這些地點，交通規劃者或是道路工程師始終都沒辦法完善地解決其交通問題。或許對規劃人員和工程師來說，要用數十年前就已經存在的基礎建設來應付二十一世紀的交通流量，真的是一項不可能的任務。我們都知道交通流量很奇怪，例如有時候明明沒有發生什麼事情，但高速公路就是會「莫名其妙」的塞車。

現在，統計物理學能夠幫助我們找出交通流量移動以及堵塞的原因。世界各地的研究人員正努力地試著從有關液體與氣體的物理學概念中設計出模型，以便利用這種模型來預測交通壅塞情況會在何時、何地發生，以及會產生何種壅塞形式。我們已經知道交通有屬於自己的獨特行動法則，而這些法則時常令人感到驚訝，、甚至偶而讓我們惱怒。雖然交通物理學無法解決所有的運輸問題，但是它可以幫助我們找到更好、更安全的措施、改善高速公路的設計，並且更準確地預測到塞車情況。它將讓交通控制不再只是一項依據經驗的活動，而是變成一門嚴謹的科學。而且，交通物理學的出現時間來得正巧，因為在運輸規劃的領域中，自由放任再也不能算是一項解決方法了。


持續追蹤

在繁忙的路段上開車就像是在玩股票一樣，因為你總是根據不完整的資訊來做決定。地方電台的交通狀況報導以及車內的電腦路線規劃系統，只能提供駕駛人有限的訊息，而且這些資訊常常無法在你需要的時候即時地出現。但是德國杜伊斯堡（Duisburg）已經成功實現了我們未來的期望。你可以透過網際網路，看到整個城市的即時交通流量地圖，而且每一分鐘就會更新一次。

我們可以在道路旁邊裝設監視器、記錄通過的車輛，藉此計算出交通流量。例如環線感應系統（埋在馬路下的壓力感應線）這一類的監視器，就能記錄每分鐘經過的車流量。然而，最有效益的交通流量測量方法不是計算車子數量，而是計算車流密度。在一分鐘之內通過的十輛車，可能是彼此車頭車尾緊貼、速度很慢的十輛車，也可能是彼此相隔很遠、但速度很快的十輛車。上述例子中，排成一列、緩慢通過的十輛車，其車流密度比較高；而後者的車流密度則比較低。要推算出車流密度，我們不只需要知道每分鐘共有多少車輛通過，還必須知道車子的速度。另外，我們還必須在每個監視地點將兩個電磁迴圈非常靠近地裝設在一起。

原則上，只要在每條道路上各裝設一對電磁迴圈，就可以量測出一個城市的交通密度。但然而，這種做法一點也不實用。在杜伊斯堡，管理當局只在幾個重要路段測量車流密度；其它他街道大部分都沒有裝設偵測儀器。接著，研究人員會以一種有關移動粒子的電腦模型來模擬車流狀況（很類似我們在前面幾章所談到的模型），這樣一來，即使有些街道沒有進行實際偵測，還是可以根據電腦的模擬預估其交通流量。實際測得的資料則可以讓電腦模擬維持一定的準確度：研究人員會不斷地檢視並利用這些數據，以確保計算的結果符合實際測得的數據。他們假定這樣的運算方式將可以讓實際數據與計算結果之間的差距不會太大。

這個電腦模型是在一九九零○年代初期由史瑞肯柏格（Michael Schreckenberg）所研發出來的。史瑞肯柏格是一位物理學家，他與芮格爾（Kai Nagel）在杜伊斯堡大學共同進行研究，後來史瑞肯柏格則到科隆大學繼續進行研究工作而芮格爾則到美國進行類似的研究，並為德州的達拉斯以及美國其他城市設計了即時交通流量地圖（註一）。


波與粒子

芮格爾-史瑞肯柏格（NaSch）模型並非第一個嘗試以物理學來了解交通的模型。二十世紀其中一位偉大的流體物理學專家萊特希爾（James Lighthill，一九二四年到一九九八年）就曾經在一九五零○年代提出一個主張，他認為道路上的交通流動方式很類似液體在導管中的流動情形。而當萊特希爾跟惠瑟姆（Gerald Whitham）一起在曼徹斯特大學進行研究時，他則更進一步將這個洞見發展成交通流量的初步理論。

在萊特希爾-惠瑟姆的模型中，駕駛人的個人特色會被平均的駕駛行為所掩蓋，正如流體運動理論會忽略個別粒子的特異行為一樣，換句話說，此模型不會特別去考慮每個駕駛人的特性。諷刺的是，萊特希爾本身的駕駛習慣就非常特別。他開車常常超速，但是在法庭上，他則會對那些「不幸」遇到他的法官說，身為劍橋大學盧卡遜數學講座教授（Lucasian Professor of Mathematics at Cambridge，牛頓也曾在此擔任主席），他乃是因為同時深諳力學定律與不能浪費能量的社會責任，所以才不得不在下坡路段克制住煞車的念頭。看起來，法官似乎偶爾還是會採信他這種說辭。

或許，相對於行人物理學來說，這種在高速公路上單調、有如甲蟲一般的車陣，比較不會讓我們對「創立交通物理學」這種明顯的天真想法感到緊張。但是，在每個駕駛座上，都是一個操控著機器的個體，而他們則存在著做出奇怪行為的可能性。如果行人會因為一些因素而突然改變行為，那麼駕駛人又會有多少不可預料的藉口呢？想想看，這些藉口可能包括太過疲累或是車上有兒童在吵吵鬧鬧，或是因為吃了安眠藥或迷幻藥、甚至是荷爾蒙激增的影響。

無論如何，我們還是可以根據平均值與其上下波動的範圍來檢視問題。大多數的駕駛會維持著明顯而且可預測的行為，他們通常不會突然改變行車速度，也不會故意去衝撞路上的任何東西。此外，大部分跟平均值不一樣的偏差行為都不會太嚴重，例如有些人喜歡在高速公路上開慢一點，其車速大約比速限慢十公里左右，其他人則喜歡開得比速限快十公里左右。只有少數幾個駕駛人喜歡在伯明罕（Birmingham）到南開普敦（Southampton）的整段路程中都以三檔在高速行駛（雖然有人跟我說過，我祖父以前就這麼試過）。

許多研究人員都曾試著將駕駛人的實際反應納入考量，以改進萊特希爾的理論。一九五零○年代時，密西根州華倫市的通用汽車公司有一組研究人員設計出一種所謂的「汽車隨行」模型（這是其中一種最早開發出來的模型）。這種模型將每一部車輛視為一個獨立的物體，而不是將交通視為看似連續的流體，它並假設每個駕駛人會依據前方的車況來調整自己的行車速度。駕駛人會根據兩個狀況來加速或煞車（減速）：與前車的距離，以及與前車的相對速度（如果他們與前方車輛的速度都是每小時一百公里，那麼駕駛人急踩煞車的情況會比兩車速度都是每小時三十公里時還要常見。）在一九七四年，維德曼（Rainer Wiedemann）在卡爾斯魯大學（Karlsruhe University）進行了更進一步的研究，他設計出一個新的模型，在這個模型中，每個駕駛人都被一套複雜的「心理」規則所控制著。然而，當模型越複雜，我們就越難知道哪一種模擬結果才能真正顯示出交通流量的本質，同時我們也越難知道各種模擬結果所依循的規則。

芮格爾與史瑞肯柏格所共同提出的模型確實有著簡單明確的優點。基本上，它是一種「細胞狀」的自動機。在這個模型之下，道路被分隔成一長串的「細胞」（小空間），每個細胞中或者含有一輛車、或者空無一物。每過一段時間，車輛便從一個細胞移動到另一個細胞之中，就像是飛行棋（ludo board）中的棋子一樣。如此一來，車輛流動的變化就是由一連串靜態畫面所構成的。芮格爾-史瑞肯柏格模型就跟赫爾賓的行人模型一樣，其中的每個駕駛人也都會想要以某個他所偏好的速度移動：在毫無阻礙的道路上，每一輛車都會一直加速，、直到車速到達其預設的偏好速度為止。另外，駕駛人也會避免碰撞的發生，而為了避免碰撞，他們將會與前車保持一段安全距離（安全距離會隨著車速的加快而增加）。這個模型所包含的第三個要素則是隨機因子、或稱「雜訊」（noise）。沒有一個駕駛人可以完美地預估他們應該如何加速或減速，特別是當前方有慢速車輛出現時，他（她）很有可能會煞車過度。而路邊那些讓人分心的事物也時常會造成車速的上下波動（我們一定都曾經因為分心看道路兩旁的事物而頻踩煞車的經驗吧）。

這些就是所謂的道路法則。那交通又是如何依據這些法則來流動呢？芮格爾與史瑞肯柏格發現到兩種明顯不同的車流型態，其中的區別在於：當車流率（flow rate）增加時，兩種型態的交通密度（traffic density）將會各自產生不同的改變。交通密度是測量每小時有多少車輛會通過某一個定點（或是每分鐘，或是你任選的一段時間）。車流率則是指每一公里（或一英哩，或其他長度）的路上共有幾輛車子在行駛。當交通密度增加時（密度還不至於太大、且駕駛人仍可以輕鬆地依照自己喜歡的速度行駛），車流率會隨著交通密度的增加而提高，也就是說，讓每一公里的路上出現更多車輛，而且這些車輛完全不需要減速，如此一來，每小時就會有更多車輛通過監測定點。然而，當交通密度高達某個「臨界」密度時，這種井然有序的型態（「自由流動的流暢狀態」）就會瓦解。此時，所有車輛都會開始減速，以因應車輛之間的情況。然後，因交通密度增加而提高的車流率，會跟因行動減緩所減少的車流率互相抵銷。而當交通密度超過了臨界密度之後，隨著交通密度的繼續增加，車流率不但不會提高，反而會開始突然降低（圖7.1）。以交通研究的角度來描述的話，就是交通狀況已經從暢通變成阻塞了。


風險和偶然

在芮格爾和他的同事帕克如斯基（Maya Paczuski）於一九九九年所發展出的新版模型中，每個駕駛人都會盡量讓車速維持在自己所偏好的速度上，就像是某些車輛會提供的定速巡航功能一樣。在這個狀態下，車流從暢通轉變為阻塞的時間將會延後，也就是說，達到臨界密度時，車流不但沒有阻塞，反而依然暢通無阻，並且隨著密度的增加，車流率也會提高（如圖7.1的虛線所示）。這就好像當路上的車子變多時，所有駕駛人仍然決定「冒險」維持他們原來的車速一樣。

在這個定速巡航模型中，臨界密度就代表一個分歧點，在這個分歧點上，有兩種不同的做法可以選擇。一種就是著重安全性的保守做法：所有車輛都減速。另一種做法則是賭徒的選擇：所有車輛都保持快速行駛。只要每個駕駛人都集中精神與注意力，在這種密度下，所有車輛還是可以快速行駛，而且不會發生碰撞。但是，這其實是一種相當危險而且不穩當的狀態。如果其中有一個駕駛人踩了煞車，那麼緊接其後的車子就必須要跟著踩煞車，再後面那一台車子也要跟著煞車，就這樣連續下去……，於是，突然間，高速的車流狀態就這樣瓦解了，所有車輛就會處於阻塞、緩慢移動的另一種狀態下。當然，當這些虛擬的駕駛人繼續維持著快速移動時，他們並不知道自己正在冒險，就好像分子們不知道自己正處於氣體狀態或是液體狀態一樣。但無論如何，這其中的重點很簡單，就是即使交通密度達到臨界密度以上，集體快速移動的狀態仍然有可能出現。

然而，由於這個狀態非常脆弱，因此只要一個輕微的刺激，它就有可能瓦解。任何隨機的波動都會讓它產生轟然巨變，、並轉變成阻塞的狀態。換句話說，這並不是一種穩定的狀態。物理學家對這一類的狀態都有一定程度的了解：他們將這種狀態稱為亞穩（metastable）狀態，意思就是「次於穩定」。「亞穩」不等於「不穩定」，例如在臨界交通密度以上，只要沒有人搗亂，快速移動狀態就能繼續存在。氣體、液體與固體也同樣可以達到亞穩狀態。在某些情況下，就算有其他狀態更穩固，它們卻仍然可以繼續保持原有的狀態。當液體的溫度被降至其冰點以下，它還是可以維持液態，也就是說換言之，雖然根本沒有發生任何異常現象，但它還是可以避免產生相變。這種液體就是所謂的「過度冷卻」（supercooled）。

一種處於亞穩狀態下的液體能夠繼續保持液態，是因為結凍的過程必須要先從某個地方開始才行。舉例來說，「水」並不會立刻全部結冰：剛開始一開始的時候，只會出現一些小小的冰晶，然後，這些小冰晶會漸漸佈滿所有液體。一般而言，這些「種子」冰晶是來自於液體中所包含的那些「不規則性」，例如塵土顆粒或是容器壁上的刮痕。在這些地方的水分子比較容易聚集在一起、形成冰狀結構。如果小心翼翼地讓水維持在沒有雜質的純淨狀態，並遠離其他各種冰晶的「成核過程」（nucleation），那麼，唯一能讓冰晶開始成形的方法，就是讓某處正隨機移動的水分子碰巧地聚合成冰狀的結構。也就是說，必須透過一些隨機的波動來觸發型態的轉變。

原則上，當水溫降到冰點以下時，「成核過程」就有可能發生。但實際上，當水溫降到冰點以下，水仍可以維持一段長時間的液體狀態（儘管當溫度降至冰點、並持續下降時，形成冰晶的機會就會快速增加）。到目前為止，「過度冷卻」之液態水的最低溫紀錄大約在攝氏零下三十九度左右。若是低於此溫度，就幾乎不可能阻止水結成冰。

我們或許會認為成核現象就像是一大群觀賞足球比賽的觀眾之中，原本只有一些人在歡呼、唱歌，漸漸地，有越來越多人加入，最後整個球場裡的觀眾都一起唱或一起喊。跟「所有人都一起合唱」的情況比起來，有時候可能有人會覺得「只有一小群人在稀稀落落地喊叫著」就是一種亞穩狀態。但合唱總是必須得由某個地方先起頭，畢竟觀眾們不會在某一刻就突然地齊聲合唱起來。或許有很多一小群一小群的球迷會試著唱歌或歡呼，但是如果周遭的觀眾都沒有一起唱的話，歌聲就會停止。然而，一旦歡呼聲或歌聲擴展到某個臨界規模之後，它就會像有生命一般地迅速遍及整個球場，所有觀眾都會一起唱。

附帶一提的是，在馮內果的小說「貓的搖籃」（見本書第四章）中曾提到，當一小片的九號冰掉到海中時，整個海洋便會結成冰，而這個現象就意味著，小說裡呈現液態的水（海洋）乃是處於亞穩狀態（相較於那種虛擬的結冰狀態），也就是說，有機會的話，水也可能會結成「溫暖的冰」（warm ice）。在這幅景象中，海洋就像是正等著要結冰一樣，只不過，想要靠著海洋的隨機波動來產生像九號冰這樣的種子實在是太困難了。這時候，唯有在海中丟入一小塊事先準備好的九號冰，才有可能讓海洋結冰。在一九六零○年代晚期，一群俄羅斯的科學家認為他們發現了一種新的、「凝膠狀」的水，在日常的溫度與大氣壓力下，這種新型態的水比液態水更穩定。有些人害怕如果讓海洋接觸到這種所謂的「聚合水」（polywater），海洋就真的會凝結。幸運的是，聚合水只是一些實驗者虛構出來的東西罷了。

在這裡，我必須針對「亞穩性」提出一個小小的、技術上的說明，因為這跟接下來的內容有很大的關聯。在前面幾個章節中，我解釋了一階相變與臨界相變的不同之處。結凍、沸騰等情況是所謂的一階相變。而當鐵塊的溫度達到居里點時所產生的磁性變化，以及當流體溫度降至其臨界溫度以下後所產生的改變（呈現液態或氣態），則是所謂的臨界相變。結果呢，我們發現只有一階相變才有可能暫時地「忽略」改變，以呈現出亞穩狀態。另一方面，臨界相變則是無可避免的，因為當達到臨界溫度時，就一定會發生一些特別的事情，而這也是它難以讓人忽略之處。

在芮格爾-史瑞肯柏格模型中，交通由暢通變成阻塞的轉變，就是一種一階相變。而亞穩的「流暢」分枝狀態的之存在，則有著更深一層的涵義。假設隨著尖峰時段的逼近，街道上的交通密度跟著漸漸增加，接著，或許在沒有發生阻塞的情況下，交通密度就已經達到了臨界密度，於是交通就會維持一種亞穩的流暢狀態。然而不久之後，就會有一些緊張的駕駛人引發一股波動，這股波動就會造成亞穩狀態的瓦解、並形成阻塞。車流率會下降到趨近於零，而交通密度也會激增。

接下來，隨著尖峰時段的結束，壅塞的交通狀況也會隨之疏解，密度也會開始降低。但這時候，交通的變化無法立刻退回到暢通的分枝狀態，一直要等到密度降至臨界密度以下才會恢復暢通，因為在密度尚未降到臨界點之前，都會一直保持著穩固的阻塞狀態（圖7.2）。

換句話說，亞穩性是單向的。如果從交通密度還很低時，、就開始漸漸地增加密度，那麼我們就可以達到亞穩的車流暢通狀態；然而，如果從高密度慢慢降低到低密度，亞穩狀態就不會出現了。同樣的，我們可以藉著讓液體降溫以獲得過度冷卻的液態水，但如果把冰塊的溫度加熱到逼近（但仍低於）其熔點的溫度，過度冷卻狀態的水則不會出現。

因此，影響交通狀態的因素不只包括它的密度，還包括它的歷程（和之前的交通密度是較稠密或較稀疏有關）。當交通密度先提高、接著再下降時，車流率會呈現出一個循環（如圖7.2所示），但這個循環的環繞方向都一樣、不會發生逆向循環的情況。物理學家將這個單向的行為稱做「滯後作用」（hysteresis）。

在芮格爾-史瑞肯柏格模型中存在著一些線索，能幫助我們解釋那些「莫名的塞車情況」。假設有一列車輛正以暢通的亞穩狀態移動著，其中一個駕駛人卻突然踩了煞車。或許其中藏有一個真正的原因，例如有一隻狗突然衝出來，或是那位駕駛人的手機響了，當他伸手拿手機時，便直覺地踩了煞車。為了要理想地模擬上述的狀況，我們可以讓模型中的一輛車子突然降低速度，然後又迅速的回復到與其他車輛相同的速度，。雖然這樣的干擾非常短暫，但是究竟看看它對車流會產生多大的的影響有多大（圖7.3）。

在這張圖中，每一條由許多小點所構成的斜線（由左下至右上）都代表著一部車子如何在上述的情境下隨著時間而變動位置。而傾斜的直線就代表著等速運動的車子。在圖的左上區域，有一部車子在煞車之後又很快地恢復到原本的速度（繼續往圖的右上方爬升），但是在它之後的車輛（在其右側的那些線）則不得不降低速度以避免碰撞產生。斜線中出現的一波波阻塞代表的就是車子一輛接一輛突然減速的現象。從這幅圖中你可以看見，很多車子都受到了影響，其中甚至包括了那些很晚才進入車流的那些車輛（它們進入車流時，最初那台煞車的車子早已走得很遠了）。而那些交織的黑色網狀線條代表的則是交通阻塞的現象，線條越粗、阻塞就越嚴重。

除此之外，如果阻塞的地點一直維持在它剛開始發生的地方的話，那麼它所造成的波動將會在圖上形成一條向右延伸的水平線。但是我們可以看到，實際上這條線是往右下方延伸的，這也就意謂著：阻塞點會向上游移動（和車流方向相反的回堵）。換句話說，當阻塞的現象發生在車流中的某一點之後，它有可能自發性的移動到車流中的另一個地點。另外，最初那個煞車所造成的擾動還岔出了許多分支，也因此，後來在這段路上出現的車子將會遭遇到不只一次阻塞，、而是一連串的阻塞。這些阻塞一點都沒有消逝的跡象，如果其中有任何改變的話，阻塞情況也只會隨著時間而擴增。所以我們可以在這個例子中看到，一個單一、渺小、而且短暫的擾動，卻引發了一波又一波的阻塞。

這些事件或許聽起來都非常的真實，而事實上，它們也真的會發生在實際的交通之中。不過要注意的是，芮格爾-史瑞肯柏格模型並不是用來描述這些狀況的理想模型，研究結果顯示，這個模型不但太過簡單、也太容易受到微小擾動的影響。但無論如何，在為大家介紹更精確的交通模擬方法之前，我們先來看看是否能從實際觀察中發現真實世界裡的道路狀況吧！




交通的三種型態

在一九六五年，美國俄亥俄州立大學的一個研究團隊以高空拍攝的方式，追蹤了一些在高速公路上行駛的車輛。他們在實際的道路上觀察到芮格爾-史瑞肯柏格模型中出現的那種一波波往上游回堵的「莫名塞車情況」（圖7.4）。這種阻塞是駕駛人過度反應所造成的結果，也就是說，人們緊張地重踩了煞車，但實際上只需要輕輕地踩就好。

在一九九六年德國斯圖嘉的戴姆勒賓士實驗室（現在是戴姆勒克萊斯勒）中，當研究人員柯納（Boris Kerner）與瑞朋（Hubert Rehborn）進一步仔細地觀察德國A5南段高速公路（這條高速公路連接德國的基森與瑞士的巴塞爾）上的車流時，他們的發現為芮格爾與史瑞肯柏格所描繪的這種普遍情況提供了更實在的支持。這條高速公路在靠近法蘭克福的路段上，車流狀況會特別忙碌，因此，研究人員在這段道路上裝設了許多成對的環線感應偵測器，以測量每部車輛通過此路段時的車速。透過這個方法，柯納與瑞朋觀察到芮格爾-史瑞肯柏格模型所預測的行為。他們發現車流率會隨著交通密度的增加而不斷升高，當車流率達到某個數值之後，順暢的車流就會突然受阻、並產生壅塞現象。由柯納與瑞朋的實驗數據所描繪出的圖形，跟芮格爾-史瑞肯柏格模型的分叉圖非常的類似（圖7.5）。

對每一個駕駛人來說，這個圖形所代表的意思到底是什麼呢？在圖7.5中，一連串依序發生的數據點都被標上了連續的數字。這些點代表的是在高速公路上的某個定點、每隔三分鐘就測量一次的一連串車流數量。例如點一的情況，是交通很順暢地移動著，而且此時的交通密度已高於臨界密度（臨界密度大約等於每公里有二十輛車子）。緊接著，車流狀況開始減緩，這時的車流率進入了亞穩分枝狀態（點二和點三）。突然間，阻塞的情況發生了，所有的車輛幾乎都動彈不得。壅塞的情況持續了大約十分鐘（點四、點五以及點六），在車流再度緩慢地開始移動之前，交通狀況又重新回到暢通的分枝。值得注意的是，當交通密度接近臨界密度時（點十二），車流就再度恢復順暢。換句話說，車流擺脫壅塞狀況所需要的時間會比變成壅塞狀況所需的時間更長，而且車流擺脫壅塞狀況後的交通密度也會比變成壅塞狀況前的交通密度來的低：這就是所謂的「滯後作用」。這種現象又再一次證實了「時間歷程」是單向的：我們永遠不會看到點一到點十二的時間序列反向進行。

對芮格爾-史瑞肯柏格模型來說，柯納與瑞朋的研究結果看起來似乎是非常正面的。然而，在實際道路上的駕駛人行為，並非如此這麼簡單而已。圖7.6所呈現的是一套完全不同的車流數據，這些數據展現了行為的一個全新面向。一般來說，研究結果所呈現出來的形式都很類似：其中包含了一個分枝出來的亞穩暢通範圍，而這個亞穩範圍又會岔出一個阻塞的分枝狀況。但是這個阻塞分枝根本就是一片混亂！在實際的情況下，暢通車流中的車輛不會突然地停止不動、造成車流的堵塞，並在最後又很快地恢復暢通。相反的，一旦原本暢通的車流發生了堵塞之後，車輛的速度（以及整個車流率）變化就會非常大。

柯納與瑞朋認為，在阻塞的交通之中，可以區分出「兩種」不同的車流狀態。當交通整個癱瘓時，車輛的移動非常有限，交通密度也非常大，而且車流率也趨近於零。這種情況就等於是「阻塞」分枝狀態右邊最末端的現象：例如在圖7.5中的點四、點五以及點六。但是，即使交通密度很高，只要所有車輛（在所有車道上）都大概以相同的速度移動，那麼當車流率達到某一個數值之後，阻塞的交通也可以繼續前進。他們說，在這種情況下，交通狀況就會同步化（synchronized）。

也因此，柯納與瑞朋表示，其中不止包括兩種，而是有三種基本的車流狀態，那就是：暢通的車流、同步的車流、以及阻塞的車流。從暢通車流轉變成同步車流時，所有車輛仍然持續地移動著，車流率也維持在很高的數值範圍內，但是交通密度會迅速增加。然而，不管是從暢通車流變成阻塞、或是從同步車流變成阻塞，所有車輛的速度都會迅速地趨近於零，而交通密度還是非常稠密，幾乎一整排車輛都是車頭接著車尾。

這種情況是不是聽起來很耳熟呢？在氣體變成液體的相變過程中，粒子還是不斷地活動，但是密度會一下子提高許多。然而，當氣體或液體凝結成固體之後，粒子會密集地擠在一起，並且無法動彈。三種交通狀態看起來很類似物質的氣態、液態、固態這三種形態。此外，柯納與瑞朋指出，原本暢通的車流很少會直接轉變為阻塞的情況，而同步的車流一般都發生在暢通與阻塞車流之間；同樣的，物質從氣態變成固態的過程中，一般都會經歷液體狀態。

因此，研究人員表示，在一個平穩、暢通的車流之中，當交通密度超過某一個門檻之後，原本暢通的情況就會變成跟同步車流有關的亞穩狀態，而不是跟阻塞的情況有關。只要車陣中發生一陣擾動，就可以讓交通轉變成密集、而且移動更緩慢的同步狀態。研究人員認為，如果公路上有多個車道，那麼從暢通車流變成同步車流的過程中，變換車道的機率也會明顯地下降。在車流暢通的狀態下，駕駛人多少都會隨意變換車道。在同步車流的情況下，所有車道上的車輛幾乎都以同樣的速度在移動，因此，幾乎不太可能會出現變換車道的現象。



擾亂車流

研究人員對「暢通車流到底如何變成同步車流」仍然有許多的爭議。柯納與瑞朋相信同步車流是一種基本的交通狀態，就好像液態是物質的基本狀態一樣。其他的研究人員，例如赫爾賓，則認為同步車流或許是一種必須依賴外部影響力才會發生的狀況，外部影響力也就是對暢通車流狀態的干擾。換句話說，同步狀態不會無緣無故地自動產生，而是必須受到一些干擾，例如彎路、斜坡、狹隘的路段、或是交流道等。這些干擾對車流的影響，就像砂粒會讓過度冷卻的液體產生成核作用一樣，或是更貼切地說，就像讓過度冷卻的氣體產生液化作用一樣。

柯納與瑞朋也贊同同步車流似乎都會受到路上「雜質」的影響，例如讓車輛進入與離開高速公路的連接點，就會影響車流（這些連接點在交通學上通常稱為高速公路的入口（on-ramps）和出口（off-ramps））。他們認為，自發出現的同步車流只是一種短暫的現象，這種現象通常只會維持半小時或更短的時間，然而在高速公路的入口處，它卻可以持續好幾個小時。在某些模型中，同步車流本身就是一種亞穩狀態，而且一旦受到干擾，就很容易變成阻塞的情況。但是，在杜伊斯堡進行研究的史瑞肯柏格與他的同事都主張在實際的交通情況下，同步車流是非常穩固的狀態，而且造成這種同步車流的因素，是許多交通模型都沒有考量到的，那就是：駕駛人都喜歡流暢與舒適的行駛過程。

大多數的模型只考量到駕駛人的兩個狀況：他們會盡量以自己偏好的車速行駛，以及他們會藉由減速來避免碰撞。原則上，駕駛人的這些想法會讓行車過程變得很不平穩，因為一旦有足夠的行車空間，他們就會加速，但是只要有其它他車輛出現在視野之內，他們就會煞車減速。史瑞肯柏格與他的同事認為，實際上很少有人會以這種方式來開車；相反的，他們會盡量避免急劇的加速與減速。當我們把這個規則加進「細胞式自動機」模型裡面時，同步化的車流就會成為一種穩定的基本狀態，即使其中出現了向上游回堵的阻塞情況，這種同步車流狀態也會繼續維持下去。

這種精細的改進能夠提升交通模型的預測功能，同時它也讓我們對交通有了更深入的認識，那就是：這些集體式的車流模式是交通流動型態中一項不可化約的面向。如果模型能考量到更多複雜的心理因素，或許各種車流模式出現的精確條件就會跟著改變；但是，它無法改變一個事實，就是「交通就像原子物質一樣，似乎都具有一些基本狀態」。不過，這些基本狀態真的只有三種嗎？可以說對，也可以說不對。表面上看起來，似乎在任何時刻、任何一部車輛確實都會處在三種狀態之一：車流量少、且車輛之間沒什麼關聯的狀態，或是車子很多、且同步移動的狀態，或是稠密且幾乎動彈不得的塞車狀況。但是赫爾賓和他的同事卻發現，有許多方式可以讓這些車流模式隨著時間變動而彼此任意混合與變換。

一九九八年，當赫爾賓與崔柏（Martin Treiber）一起在斯圖嘉進行研究工作時，他設計出一個模型，這個模型中的許多特性跟芮格爾與史瑞肯柏格的細胞式自動機械模型、以及萊特希爾與惠瑟姆最初設計的流體車流模型十分類似。這些模型都不考慮個別車輛，並且都認為交通是一種平穩的流體。但它是一種最奇特的流體。在傳統的流體運動理論（也就是所謂的流體力學）中，每一小「批」的流體都會透過「黏滯曳力」（viscous drag）來影響周遭的其他流體：它會產生一種摩擦力，而這種摩擦力會減緩周遭流體的行動。而在赫爾賓和崔柏的模型中，每一批「交通流體」之間的互動方式則更為複雜，這種特性就跟芮格爾-史瑞肯柏格模型中那些擁有著駕駛人反應的粒子一樣。同樣的，這個模型也同樣假設駕駛人會依照行車狀況來加速或減速，並且會盡量以某個特定速度行駛，並盡量避免碰撞。這是一種有自己的想法的流體；更確切地說，是擁有許多種想法的流體。

這個模型在低密度時會產生暢通的車流。隨著密度的增加，暢通的車流就會變成亞穩狀態：微小的擾動會被吸收而後消散，但是，較大的擾動就會形成局部阻塞的現象，並且會向上游傳導。當密度繼續提高時，這些局部的阻塞現象就會逐漸引發一連串的反應，就像我們在圖7.3所看到的情況一樣（請見兩百零六頁）：一段段的阻塞波浪會夾雜出現在暢通車流中。對許多駕駛人來說，這種走走停停的情況想必非常熟悉。而且，當車流密度變得更高時，整段交通就會全部塞住，變成龜速移動的車陣。

赫爾賓、崔柏以及漢納克（Ansgar Hennecke）在斯圖嘉共同合作時，他們觀察交通流體在道路的不規則處（例如在高速公路的入口處）可能會產生怎樣的行為。他們在高速公路入口處前方挑起了局部的阻塞波浪，並且觀察當這波阻塞向上游移動至入口處時將會發生什麼事。對低密度的車流來說，這種阻塞很快就被打散。但是，當車輛很多、很密集時，這種阻塞會引發許多種行為：一段段的阻塞波浪夾雜在暢通的車流中，；或是讓人幾乎無法順暢移動的阻塞潮（「震盪式交通阻塞」（oscillatory congested traffic）），；也可能是只在入口處出現的阻塞，；以及只在入口處後方出現的阻塞等等。

研究人員以相圖來說明這種多樣化的行為，這個圖形顯示出各個每一個狀態是在何哪種情況下形成的（圖7.7）。這種圖形很類似描繪細菌成長型態（請見一百三十九頁）的「型態圖」。，畢竟，交通流量就跟細菌成長一樣，都是一種非平衡的過程。當模型中的「控制參數」（在高速公路主要車道上的車流以及入口處湧進的車流）改變時，不同車流狀態之間的轉變會發生的相當突然。如此看來，交通似乎也無法掙脫一系列非平衡相變的命運（註二）。

明天也會塞車？

這些不同的模型真的能模擬出實際的交通行為嗎？或是他們只不過是花俏一點的電腦遊戲罷了？只有當模型有效地模擬出真實的狀況時，它才會被當做能準確預測交通的方法。赫爾賓、崔柏以及漢納克抱持著這種想法，將他們的預測拿來與在德國、荷蘭的高速公路上經由感應線圈所測得的實際交通數據做比較。他們發現自己預測的各種交通狀態都能夠在實際的交通狀況下找到，他們也因此受到很大的鼓舞。甚至，他們還發現到，如果在模型中加入實際交通狀況的一些基本特性（例如一般汽車與卡車的比例），即使車流型態相當地複雜、多變，但該模型仍能準確地預測出交通狀況如何隨著時間的變化而發展（圖7.8）。

這種成果讓赫爾賓他們對自己的交通模型更有信心，因為他們不必在模型中加入許多複雜的條件，就能獲得相當準確的預測結果。他們假設駕駛人具有一些普遍特性，例如在開闊的道路上以自己喜歡的速度行駛，依據前方車況、減低車速以維持安全車距，以及可能會不完美的動作和過度反應，在這些各式的情況下，我們都可以發現一些常見的車流模式，至於研究人員是否有在模型中增設一些細節，例如反應時間、路況或是有幾線車道，則跟預測的結果沒有太大的關聯。赫爾賓和他的研究團隊看到觀察結果之後，認為大多數的壅塞都是路上的一些異例所造成的，例如狹窄的道路、高速公路入口、斜坡、或只是某個駕駛人的奇怪行為。在他們所研究過的超過一百件的真實塞車案例中，最多只有四件不是因為一些原本就存在的狹隘路段所引起的。

在城市街道上的交通狀況跟開闊道路上的交通狀況是不一樣的；特別是在，城市裡有許多十字路口會影響車流。百翰（Ofer Biham）與他的同事在以色列的耶路撒冷希伯來大學（The Hebrew University of Jerusalem）研究了一種細胞式自動機模型，在這種模型中，車輛會以從南到北、或是從西到東的方式在方形的格子裡移動，這跟美國任何一個城市的實際道路狀況都非常接近。百翰的研究團隊固定了十字路口的車流行動時間，以模擬紅綠燈所造成的車流交替現象。他們發現到，當交通密度增加時，一種突然的相變就會宛如命中注定的噩運般而產生，讓原本暢通的車流變成動彈不得的阻塞情況，換句話說，也就是交通會整個癱瘓堵住，、沒有任何車子可以移動。

交通物理學已經證實了它的價值。芮格爾的運輸分析與模擬系統（Transportation Analysis and Simulation System），是以他的細胞式自動機模型為基礎，這個模型在歷經了美國新墨西哥州洛塞勒摩斯國家實驗室（Los Alamos National Laboratory）的進一步發展之後，最後被用來規劃德州達拉斯的街道網絡。在了解知道十字路口、道路的交會處以及車道縮減等情況對交通的影響之後，應該就可以讓規劃者做出更好的道路規劃。此外，史瑞肯柏格還曾經想要在杜伊斯堡擴大他自己的交通系統規模，以便將整個北萊茵-西伐利亞州的高速公路網絡都納入系統之內，並且每小時就做一次交通預測。

針對高速公路交通狀況所做的模型式研究，也能對行車規則提供有用的資訊。由赫爾賓和任職於加州帕洛阿爾托（Palo Alto）全錄研究實驗室（Xerox’s research laboratoryes）的休伯曼（Bernardo Huberman）所共同發展出來的模型，顯示出汽車與卡車同時在多線道公路上行駛時，將會出現所謂的「一致性車流」（coherent flow），在這種「一致性車流」中，所有車輛都是以相同的速度在移動，也不會出現變換車道的行為。這種情況讓人聯想到同步車流，但是它跟同步車流仍然有些不同。「一致性車流」是一種十分穩固的狀態，面對擾動時，它的狀態仍然相當穩定，而且即使在這種狀態下，所有駕駛人都不能以自己偏好的速度行駛，但是整個交通狀況還是非常有效率：很高的交通密度以及適當的行車速度，就表示其車流率幾乎能達到最高點。此外，一致性車流是一種安全的狀態，因為它減少了造成高速公路事故的兩個主要原因：不同的車速與變換車道。因此，當車流量很大時，讓整個交通變成一致性車流是避免阻塞的一個好方法，例如設定適當的行車速度，以及禁止變換車道。

赫爾賓和休伯曼認為他們的模型也揭露了美國的道路規則，美國沒有區分不同車道的行車速度，跟歐洲的道路規則比起來（歐洲的車道是以慢速到快速來劃分），這種規則會讓美國道路的運輸效率更高。在歐洲的高速公路上，卡車多半會行駛在慢速車道上，因此，一般汽車的駕駛人會刻意避免行駛在慢速車道上，即使他們的前方還暫時沒有卡車的蹤跡，而這種做法最高能讓高速公路減少約百分之二十五的容量。在此同時，赫爾賓和崔柏還發現到，只要依據交通密度來設定車速限制，就能減少德國高速公路的阻塞以及延誤狀況。換句話說，只要在尖峰時段限制行車速度，就能夠防止壅塞並減少所有車輛的平均行車時間。

在高密度的車流中引發壅塞現象的其中一個主要原因，就是擾動。遇到干擾時，駕駛人會沒辦法專心開車，以至於與前車的距離太過靠近，於是他們就必須緊急煞車。如果這種隨機干擾可以被消除的話，那麼阻塞的威脅就會大大地降低。要消除干擾，其中一種方法之一就是訂定交通規則，這種做法能強迫駕駛人在行駛到容易發生阻塞的路段時（例如狹隘的道路）多加注意。另一種可能的方法，就是在高速公路的入口實施閘道管制，以改變交通密度。

另一種更有遠見的方法，就是以永遠不會疲倦、或永遠不會估算錯誤的機器來取代一般的駕駛「人」。幾乎所有的交通模型都不會產生碰撞的現象，因為其中的規則一開始就明確地設定為避免碰撞。這些模型不必為了避免車輛碰撞，而特別賦予「虛擬駕駛人」任何精細的反應或能力；這些「虛擬駕駛人」只需要知道他們跟前車的距離有多遠，以及他們自己正以多快的速度靠近前面的車輛就夠了。有了這些資訊，那些自動駕駛裝置似乎就能夠很安全地行駛車輛，這就是真正的機器人啊！

有些汽車製造商已經開始研發自動駕駛裝置了。他們正在發展「駕駛支援」（driver assistance）系統。這種系統是採用雷達或其他偵測器來追蹤汽車周圍的情況，並根據偵測到的情況做出適當的反應。其中一個主要目標，就是藉著自動煞車或是任何一種可以比任何人類做出更都能更快產生的反應的煞車系統，來避免撞擊、或是避免與行人或騎腳踏車的人發生碰撞。除此之外，一旦汽車裝上了這種系統，它們也能為更多的駕駛任務提供協助，例如變換車道與定速巡航。

正如我們所看到的，駕駛人在交通繁忙時產生的過度反應，很就有可能引發造成阻塞的擾動。而駕駛支援系統將能夠減少上述的情況。崔柏與赫爾賓所做的交通模擬結果已顯示出，只要有百分之二十的車輛具備自動駕駛系統，這些車輛就能在變動的車流中做出最佳的反應，這樣一來，就能疏解交通繁忙時段的某些阻塞情況。

試想一下，如果把這些自動駕駛裝置跟衛星導航系統聯結起來，那麼這些數位道路地圖以及依據實際資料所做的每分鐘更新的交通預測，就能夠讓你既安全又有效率地從甲地開到乙地，你甚至不需要把手放在方向盤上。總是鼓吹著更多「行車自由」的汽車組織，也不得不承認有時候這種過度的自由會讓行車狀況變得很糟糕。自動駕駛裝置不只會考慮得更周到、更遵守交通規則、駕駛技術也更熟練，同時，它也能獲得更好的資訊，對交通狀況也能做出更準確的預測，簡單地說，就是能更有智慧地在道路上行駛。




註一：請參考http://www.traffic.uni-duisburg.de/OLSIM/以及http://www-transims.tsasa.lanl.gov/

註二：赫爾賓的研究團隊曾經發現，在以粒子為基礎的模型上（每一部車子都被個別模擬出來）也會產生基本上相同一樣的交通狀態「相圖」。因此，這些狀態似乎跟模型的細節沒有太大的關聯。

圖7.1 車流從暢通變成阻塞的情況，可以從車流率與交通密度的座標圖中看到。當交通密度達到特定的（臨界）密度以上時，隨著密度的增加，車流率會開始降低，因為車子太多，所以所有車輛都不得不減速。但是其中有個例外，也就是當達到臨界密度以上時，有可能會出現一種亞穩的「流暢」狀態（如圖中虛線所示）。
圖7.1圖中文字如下：
Flow rate：車流率
Critical density：臨界密度
Density：密度
Free：暢通
Congested：阻塞
Jam：癱瘓
Speed：車速


圖7.2 如果暢通的車流進入亞穩狀態，就有可能在任何時刻、經由隨機波動的觸發而轉變為阻塞的狀態。雖然後來車輛會越來越少，但是一直要到達到臨界密度時，暢通的車流才能再度出現。因此，增加交通密度跟減少交通密度所產生的結果是不同的：在車流歷程中存在著一種「循環」，該循環只能朝著一個方向流動。
圖7.2圖中文字如下：
Flow rate：車流率
Critical density：臨界密度
Density：密度
Initial and final state：起始與最終狀態
Jam：癱瘓

圖7.3 在亞穩狀態的車流中，由單一的偶發擾動所引發的交通阻塞。此圖為某個有關交通流量之電腦模型的模擬結果，它顯示出車輛在高速公路上的行駛距離（x）如何隨著時間（t）而變化。那些往右上方傾斜的陡峭直線代表的是等速前進的車輛。每一台進入高速公路的車輛都會在圖的最底部（行駛距離為零處）開啟一條新的直線。黑色的帶狀線條（由左上往斜下方移動）反映出阻塞的情況。在這裡我們可以看到，當某一輛車的平順前進過程受到阻礙之後，它的「時間線」上就會出現一個糾結處，而圖中左上角所出現的單一擾動事件（起因於某輛車的緊急煞車），則隨著時間的經過而產生了一連串的阻塞點。

圖7.4實際的交通數據中所呈現出來的一個自發阻塞情況。這張圖跟圖7.3是同一種圖形，每一條線就表示一輛車子的行駛時間線。延伸至右下方的糾結現象，就是移動中的阻塞狀態。
圖7.4 圖中文字如下：
Time (seconds)：時間（秒）
Distance along road：與道路起始點之間的距離

圖7.5這是一九九六年，研究人員在德國高速公路上所實際觀察到的暢通、阻塞以及亞穩的暢通車流。他們從高速公路上某個定點處量得每分鐘的平均車流數，而圖上的十二個數字點就代表了十二個分鐘數的車流資料。
圖7.5 圖中文字如下：
Traffic density (vehicles per km)：交通密度（每公里道路上之車輛數目）
Traffic flow (vehicles per hour)：交通流量（每小時汽車數量）

圖7.6車輛從「暢通車流」的分枝狀態中岔開之後，有時候反而會循著更缺乏規律的時間線前進，並會在一個廣泛且無法預測的範圍中經歷各種不同的交通狀態。
圖7.6 圖中文字如下：
Traffic density (vehicles per km)：交通密度（每公里道路上之車輛數目）
Traffic flow (vehicles per hour)：交通流量（每小時汽車數量）


圖7.7 赫爾賓團隊發展出來的「流體」模型中之各種交通狀態。「同質性交通阻塞」（homogeneous congested traffic）指的是持續穩定的綿延阻塞。「震盪式交通阻塞」（oscillatory congested traffic）一樣是綿延的阻塞，但它以一種波浪狀的形式出現，在這樣的阻塞區域中，車子會間歇性的停停走走。「移動式的區域聚集」（moving localized clusters）指的是一波又一波往上游方向（與車流方向相反的回堵）平穩移動的擁擠車潮。「誘發式暫停即走」（triggered stop-and-go）與「移動式的區域聚集」非常相似，它在引發新一波的回堵之前，其阻塞處偶爾會先產生一小群往下游移動（與車流方向相同）的塞車潮。「定點式的區域聚集」（pinned localized clusters）指的是發生在道路上某個特定位置的阻塞，車子只有在經過該處時會才停下。
圖7.7 圖中文字如下：
In flow on main road：主要道路上的汽車數量
In flow from on-ramp：來自幹道上的汽車數量
homogeneous congested traffic：同質性交通阻塞
oscillatory congested traffic：震盪式交通阻塞
moving localized clusters：移動式的區域聚集
triggered stop-and-go：誘發式暫停即走
pinned localized clusters：定點式的區域聚集

圖7.8 赫爾賓團隊的交通流動模型可以預測出，不同的交通狀態在數個小時之間的演變過程。他們在這個模型中輸入了某段道路上某個定點處的交通密度與速度，透過這些資訊，他們計算出這條道路前方數個地點可能出現的交通密度與速度。這張圖中顯示出A5南段高速公路（法蘭克福附近）上兩個不同地點的交通流量（密度與速度），其預測的變化過程約略涵蓋了兩個半小時。阻塞是由這個路段上某個被封閉的車道所造成。黑線代表的是感應線圈所測得的真實數據；灰線代表的是模型對該路段的交通預測結果。這個模型雖然沒辦法模擬出精準的細節，但是它可以正確的預測出交通流動的基本輪廓（例如阻塞會在什麼時間地點發生以及消失）。
圖7.8 圖中文字如下：
Section D12：D12區段
Section D11：D11區段
Time (hours)：時間（小時）
Flow (vehicles per hour)：流量（每小時汽車數量）
Speed (km per hour)：速度（每小時行駛公里數）


第八章

市場的節奏

隱藏在經濟背後那隻不穩定的手


商業行為是最需要透過哲學來闡釋的現象。
山繆爾•強森（Samuel Johnson）


如果把所有的經濟學家都湊在一塊兒，他們就會各持己見，、沒辦法獲得結論。
蕭伯納（George Bernard Shaw）


只有了解財富的人才能獲得財富。
歌德（Wolfgang von Goethe）


當蘇格蘭人亞當史密斯（西元一七二三年到一七九零○年）開創了政治經濟學這一門哲學時，他並沒有站在任何前輩巨人前輩的肩膀上。以前，從來沒有人會去思索「市場經濟是如何維持的？」因為，商業行為被認為一種世俗的事務，幾乎跟哲學沾不上邊。不過，霍布斯的《利維坦》則可以說是亞當史密斯的中心寶典，因為《利維坦》的理想社會藍圖，是建構一個穩固的共和國家，而要建立這樣的一個國家，就絕對不能忽視商業的經營與管理，也不能忽略財富與土地的分配。（同樣的，霍布斯也曾經因為忽視「經濟是權力的真正基礎」而飽受批評。西元一六五六年，霍布斯的競爭對手哈林頓（James Harrington）在《海洋國》（Oceana）一書中，主張英國的內戰乃是起因於十七世紀初期土地與財產所有權的改變。）

然而，亞當史密斯撰寫《國民財富的性質和原因的研究》（又稱為《國富論》（An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations），西元一七七六年）時的世界，跟一個世紀以前、霍布斯所處的世界是截然不同的。在亞當史密斯生長的年代，整個社會已經有了新的秩序，而且當時最有權力的就是「財富」。對霍布斯來說，財富與生產製造是來自於土地與農業；但是對亞當史密斯而言，它們則乃是來自工業。儘管霍布斯也認為商業可以成為統治者的資產，但是對他來說，真正能代表國家財富的是一個國家所擁有的黃金數量，不論這些黃金是靠著偷、搶、侵略別的國家、或是王室聯姻等手段取得的都沒關係。反觀亞當史密斯，他則已經知道，「重商主義」下的政經系統乃是讓商業行為變成主宰國家財富的首要因素。

亞當史密斯對人類天性的看法，並不像霍布斯一樣樂觀。他認為，人類基本上是貪得無厭的，只要他們有能力，他們就會想盡辦法獲得一切。也因此，他在霍布斯的政治模式中發現了市場體系運作的理論基礎。正如霍布斯筆下的每個人都不斷地尋求權力累積一樣（主要是透過購買他人的權力），亞當史密斯所描述的商人也以積聚財富為最大目標。

對霍布斯而言，只有將所有的權力都交付給一位至高無上的君主，才能控制人們對權力的渴望；否則要不然這個世界就會充滿著卑劣、殘酷並且短暫的生命。但是，沒有人可以統治整個市場，因為它是自由、開放的，任何人都可以在市場上自由運作。而「自由」，就是亞當史密斯試圖要解釋的問題核心。當社會各地都充斥著貪婪，並且缺乏任何能管理市場的中央集權時，一般人如何可能買得到不讓他們破產的商品呢？如果不是至高無上的權力，到底有什麼方法能阻止商人漫天喊價呢？

答案就是「競爭」。如果商人抬高售價，他們的顧客就會跑到其它他價格較合理的地方購買，他們也會因此而關門大吉。史密斯認為，在自由市場經濟中，競爭所帶來的壓力將能確保商品永遠會以它們真正的價值或是「自然價格」（natural price）出售（所謂的自然價格，指的就是對「製造商品所需的材料與人工之品質與數量」的誠實估量）。任何抬高售價的商人，永遠都會遇到對手的削價競爭。史密斯認為，這種自我管理的市場將可以保證人們需要的每樣東西都不虞匱乏。這樣一來，就不需要中央集權來指派人們工作，以確保社會上有適當數量的裁縫師、製鞋匠、糕點師傅、酪農業者等等。只要有需求，就代表有利可圖，因此，自然就會有人跳進去做。

亞當史密斯的經典著作乃是分析啟蒙時代新市場經濟運作之濫觴，而且他在書中提出的觀念，不僅對今日的經濟理論影響深遠，也在前面幾章所提到的物理學中引起了深刻的回響。其中不只闡述了市場的真正法則，還包括這些法則如何從同業之間的競爭以及無數代理商之間的互動中「浮現」出來。這些市場法則並不是外界強制賦予的，而是由兩股力量（自我圖利與競爭）互相對抗之下所產生的一種自律平衡狀態。依照亞當史密斯的用語，維持市場規律的乃是一隻「看不見的手」（hidden hand）。正如同經濟學家海伯納（Robert Heilbroner）所說的：「有人可能會想要訴諸規劃委員會的裁決……不過，在市場機制的不知名壓力下，是沒有任何上訴與特赦可言的。」在亞當史密斯的觀點之下，「利益」（good）（意指一個公平且包羅萬象的市場）可以從自我圖利中產生。《國富論》所要傳達的是一種自由放任的訊息：不要干預市場，它將會自己運作的很好。這樣的看法與霍布斯所主張的那種用來箝制人類權利慾望的獨裁式束縛恰好相反，而亞當史密斯的這種觀點，也成了工業資本家在擴張版圖時，用來阻止政府干預的最佳藉口。

雖然現今的世界可以說是源自於亞當史密斯的世界，但是這兩個世界還是不太一樣。當時的在當時，資本家仍然為數不多，只有一些小店舖的老闆、商人以及中小企業家。在一七七零○年代，一家工廠如果有十二個員工，就已經算是大工廠了。中世紀的時時候，同業公會會訂定規章來管理企業的營運，但是到了亞當史密斯的時代，這樣的制度已經漸漸瓦解，而能取代公會規章的外部規則或法則也不多。當時既沒有勞工組織、也沒有工會或是大型的股份有限公司，更不用說跨國公司了。那是一個相當分散的市場，甚至有人稱之為「原子論式」（atomistic）的市場。無論如何，史密斯的經濟理論還是太過簡單，以致於無法涵蓋整個範疇。他的理論只能算是一個開端，它仍然缺乏牛頓力學帶給物理學的那種真確性。

但是，儘管如此，在這個早期的經濟理論中，我們已經可以看出它渴望成為偉大科學理論的企圖。啟蒙時期的知識分子早就已經預料到史密斯的理論對日後經濟學的發展將會有非常重大的影響；狄福（Daniel Defoe）在一七零○六年就曾經說道：「交易行為與因果一樣，都宛如晝夜般不斷地循環，它們乃是這個世界上最遵守自然規則的事物。」雖然亞當史密斯從來沒有這樣描述過市場力量，但是，從他的偉大著作中，已經可以明顯的看出一種類似牛頓重力的市場因果動力概念。從塔克（Josiah Tucker，跟亞當史密斯同一個年代，當時為英國格洛斯特區的教長）的說法中，我們更可以清楚地看出與其同一期時代之學者的看法：「商業的運行受到兩種不同的社會運作原則之影響，就像是行星系統中的離心力與向心力一樣。」到了十九世紀初期，人們心中已經有了一種穩固的想法，他們認為「經濟和物理學一樣，其中必存在著根本且恆久不變的法則」。從這時候開始，這種信念就牢牢地延續至今。

史密斯的「看不見的手」，變成了商業學說中的一部分，而很多人都認為，如果社會想要阻止這種力量，就必須自行承擔風險。愛默森在一八六零○年就曾經說道：

「財富」自有一套檢驗與協調的標準。政治經濟學的基本法則就是不要干預。只有在供給與需求的自我調節表中，我們才能發現唯一的安全規則。不需要去立法規範。如果你強加干涉，就等於是在畫地自限。

史密斯的經濟原則已經開始閃耀著奪目的光環，宛如是不可撼動的市場物理學一般。，同時，這些經濟原則也似乎也能能允諾人們一個平穩、安定的迷人經濟景象。如果市場沒有遵循這些經濟原則，一定是有人故意在背後搞鬼。愛默森又寫道：

自然法則在商業行為中所表現出來的影響，就像玩具裡的電池所顯示出電力的作用一樣。透過需求與供給的自我調節機制，讓社會能保持著一種連海平面上都不會輕易出現的平衡狀態：而且，不管是想用騙人的詭計、或是以正當的法律來干涉社會經濟，都會適得其反地造成不良反應、過度供應以及倒閉等現象，讓自己自食惡果。同樣崇高的法則也一視同仁地在原子與銀河之間扮演著相同的角色。

問題是，到現在都還沒有人找出這些隱藏在經濟背後的法則。雖然愛默森以優雅的文字描繪出經濟的面貌，顯然，然而，很明顯的，「供給與需求」仍不足以解釋偶爾會在市場上出現的瘋狂行為。人們曾經不斷地對各種經濟模型加以強化、精煉，並用各色華麗的裝飾品來點綴修飾它們。現在，有些經濟模型在數學上的複雜精密程度甚至可以跟物理學家們的理論模型相抗衡。然而，它們仍然缺乏「牛頓式」的首要原則，、缺乏那種每個人都認同的基本法則。

這並不是因為經濟學家們的能力不足。相反的，經濟跟任何一種自然科學一樣，都能發展出極為精密的想法。但是到目前為止，經濟模型確實還不夠完備，因為它們沒辦法像一般的科學模型一樣、每次都做出準確的預測。不只是有科學家指出這種缺失，就連許多經濟學家也不得不承認這一點。正如倫敦商學院的約翰•凱（John Kay）所說的：「經濟觀測學家們或多或少都會在同一個時間說些同樣的事情；而且其一致程度相當驚人。（然而）他們的言論幾乎都是錯誤的。」而且這種情況從以前一直延續到今天。在史上最嚴重的「一九二九年十月股票大崩盤」（Great Crash of October 1929）發生前一個星期，耶魯大學的費雪（Irving Fisher，他可能或許是當代最優秀的美國經濟學家）指出，美國經濟已經達到「永不會再改變的高點」。但是三年之後，美國國民所得的降幅超過百分之五十。沒有任何一個經濟學家預料到這種情況。

過去十年來，統計物理學家已經開始建議經濟學家要重新考慮一些用來建構經濟模型的基本假設。物理學家表示，如果經濟學家可以將一些物理學的觀點引用到經濟學上的話，他們就可以開始理解全球市場那些無規則可循、且目前仍無法預測的行為。這項努力甚至為自己創造了一個新的名詞，那就是：經濟物理學（econophysics）。看到物理學家對經濟領域的侵佔，經濟學家們又是如何反應的呢？有些經濟物理學家覺得自己除了不時地受到經濟學家們惱怒式的抨擊之外，其實是一點都不被重視的。 同時，有些經濟學家認為經濟物理學家這種明顯的自我孤立現象根本是咎由自取；他們指出，經濟本來就是一種兼容並蓄、包羅萬象的學門，至於有沒有專業的加持則一點都不重要。經濟學家說，真正重要的，並不是學術上的證書，而是新的想法是否真的能「發揮作用」。他們很懷疑物理學家對經濟又能有多少貢獻。

的確，物理學家們並不總是能使能他們的任務變得更簡單。當物理學家們發現其它他研究人類事務的領域具有哪些缺點時，他們自以為機智與不謙遜的態度總是為人所詬病。而且，那些讓物理學家們感興趣的事務，並不一定能引起經濟學家們的注意。此外，物理學家比較習慣面對那些具有放諸四海皆準的基本法則之系統。但是，經濟法則幾乎完全不是這麼一回事；這也正是經濟學比單純的物理學更複雜的其中一個原因。（經濟學家克魯曼（Paul Krugman）曾經以「幸好經濟學沒有困難到像社會學一樣」的想法來安慰自己。）然而，這種緊張的局勢似乎注定會慢慢消失，其中的誤解也終將獲得澄清，雙方終將摒棄成見、共同合作。如果你仔細地觀察，還會發現有幾位重量級的經濟學家已經開始重視物理學家的建議了。大部份的經濟物理學家仍然過於急切，以至於無法平和地參與討論，、以致於無法調整自己不夠精準的經濟原則與概念，他們也因此無法與其它他領域的學者共同合作，、找到一條通往成功的康莊大道。

物理學家的主首要本能，乃是一種經濟學家不一定會具備的態度：從實驗中學習。物理學家們首先想要知道的就是：「有哪些基本的經濟現象是需要被解釋的」。而在經濟學中，實際上能用來與各種理論相對照的就只有一個實驗，這個實驗很龐大、且仍然在持續進行當中。那就是：「在真實的市場之中，到底發生了什麼事？」


鋼鐵般的法則

史密斯的市場模型純粹是描述性的。但是到了十九世紀時，由於人們普遍對科學已經相當有信心，特別是當科學家以力學來解釋世界上的各種現象時，他們充滿自信的模樣總讓人覺得：只要有力學，就可以解決所有困難。於是，經濟學家也積極地想找出這種數學上的精確性。邊沁（Jeremy Bentham，西元一七四八年到一八三二年）是最先提出「只要依據單純的數學概念，就能解釋商業與生產的衰退與流通」觀點的其中一位經濟學家之一。跟史密斯或霍布斯的理論比起起來，邊沁的功效主義（他稱之為「幸福計算法」（Felicific Calculus））採取了一種較為善良的人性觀。他主張：人類的目的不在於將權力或利潤提升到最大值，而是在於把將他們的「幸福」（pleasure）最大化。不過，很多人倒是覺得邊沁這種強調利益與損失的觀點有點太過冷酷無情。

一八八一年，愛爾蘭經濟學家艾吉沃斯（Francis Edgeworth，西元一八四五年到一九二六年）採取了這種把人類當作「幸福機器」的觀點，並將經濟數學方法推向初期的高峰。儘管現在聽到《數理心理學》（Mathematical Psychics）會覺得這個書名很奇怪，但是艾吉沃斯的這一本書，乃是一本試圖要發展出精確的政治、社會與經濟行為理論的著作，裡面不僅充滿了深奧的微分方程，還包括大量的統計分析。在各式各樣嘗試以複雜的計算來歸納出人類行為的理論中，、以及在眾多漂離了人類真實世界基礎的想法中，這本書可以說是開山鼻祖。根據克魯曼的說法，這項傳統在現代經濟學中仍然十分活躍：「我這種說法雖然有點憤世嫉俗，但卻是一點都錯不了，畢竟在學術領域之中，最能吸引到忠實追隨者的理論，就是能讓一個聰明但不是非常具有原創性的年輕人充份表達自己的聰明才智的理論。」

然而在十九世紀時，最具影響力的「科學化」經濟理論（至少以政治觀點來看），乃是由一個酗酒而且幾乎窮困一生的德國猶太人馬克思（Karl Marx，西元一八一八年到一八八三年）所提出的。

在亞當史密斯的世界觀之中，「勞力」只不過是市場上的另一項商品罷了。勞工是一個商人，他賣的是自己的時間與汗水。這種商品化的勞力是工業革命的一項產物，因為如果跟中世紀那些受過訓練、有技藝的工匠比起來，在工業革命的時代中裡，某些一個社會階層的人幾乎都不具備什麼技術，只是空有雙手的勞力罷了。這些手可以操作機器、鏟煤、或是在工廠裡面做一些數量越來越多的低技術性、但非常專化的工作（為了提高生產率，工廠會將所需勞力劃分為好幾個區塊）。也就是說，這些「無產階級」（proletarian）的工人將他們的勞力賣給工廠，以換取工資。

史密斯認為，工資會達到他們的「公平」價格，就像其它他的市場價格一樣，因此，最廉價的勞工就能佔有市場。這就表示「真正的」或「基本的」勞力價值是一種恰好足以維生的「生存最低工資」（subsistence wage），也就是說，如果報酬低於這個標準，工人就不願意去工作；相反的，工廠也不願意付更多的錢來雇用工人。因此，正如經濟學家李嘉圖（David Ricardo）在十九世紀初期所說的，產業資本家總是可以在僅需支付少量薪水（讓工人足夠生存）的情況下，就能夠雇用到所需的人力：這就是李嘉圖無情的「工資鐵則」。一般而言，一般說來，雇主做的事正是如此；但事實際上，有時候雇主付給工人的報酬，還不夠他們維持基本的生活開銷（註一）。

而馬克思則是考量到這種資本體系的未來發展。他的結論為這些受壓迫的工人帶來了希望，也讓他們的雇主喪失了信心。他說，資本主義注定會讓自己消耗殆盡，而且注定會被無產階級的革命所推翻。這並不只是一廂情願的想法，也不是任何道德上的渴望；他認為他已經透過嚴謹的科學證明了自己的預測結果。馬克思的方法可以說是一種以科學方法來建構模型的典範：他先將概念理想化，、再將它簡化，、最後移除所有無關的事物。他的經濟願景只包含兩個社會階層，也就是工人（出賣他們的勞力以換取工資）以及擁有工廠的資本家（購買勞力並出售貨物）。

資本家尋求利潤。但是，正如史密斯曾說過，利潤總是會因為工資的提高或同業的競爭而不斷地受到侵蝕，而貨物的市場價格也會不斷地降低直到趨近於製造成本。工廠要維持利潤的方法只有一個，那就是不斷的擴展。因此馬克思因此說到，工廠要擴展，就必須不斷的買進更多勞力。這種對勞力需求的增加就表示工人可以要求更高的工資，這樣一來，就會壓縮資本家的利潤空間。為了脫離這種循環，馬克思認為工廠老闆將會做出對自己有利的決定：引進可取代人力的機器。馬克思的經濟模型也因此考量到技術的改變。後來，在往後一些現代經濟理論中，這種觀念被認為是一項重要元素，而且事實也的確是如此，因為新的技術不斷地改變市場的勞力需求，而其變化的步調至少都不會小於馬克思時代的變化步調。

但是這裡隱藏了一個圈套。在一個工作天之中（在十九世紀中期，一個工作天可以長達十六小時），工人生產出的貨物價值可以超過「生存最低工資」。這種「剩餘勞動」（surplus labour）就是資本家利潤的來源。相較對之下，機器就無法提供剩餘勞動，因為在一個競爭的市場中，企業家購買機器時所支付的價格會和該機器所能生產的貨物價值相等。也因此，機械化在造成工人失業的同時，並不見得可以挽救資本家的利潤。

而這樣的結果就是經濟衰退：工資低廉且失業率高。到了十九世紀中葉，人們已經逐漸開始明白，市場經常會出現蕭條的現象（例如「南海泡沫事件」（South Sea Bubble）在一七二零○年所引發的經濟蕭條）。但是，經濟蕭條的現象仍然多半被解釋成是外在力量對「正常經濟」的影響結果。當時的信念是，如果市場能夠在不受外界力量影響的情況下運作，那市場將會出現史密斯所預測的平衡狀態。而相較之下，馬克思則認為經濟衰退乃是市場運作機制中一個不可避免的結果。

不過，馬克思認為經濟衰退是短暫的。當工資下滑時，資本家的邊際利潤會回升，而此時的資本家也比較有能力較能夠再度重新聘僱工人並擴張事業。依據同樣的邏輯，這種自我限制的現象也會出現在經濟繁榮的時候，因為當經濟好轉時，工資的上揚將會削減利潤。因此，我們再一次地看到了一個自律的市場。只不過這個市場並不像亞當史密斯口中那樣的穩定平衡，而是一個不斷進行著景氣循環的市場。

物理學家或工程師會立刻看出，馬克思所指出的市場機制正是所謂的「負回饋」（negative feedback）：一種會受到自身結果影響的過程。一般來說，負回饋機制會讓穩定度提升，因為當系統受到擾動而偏離了穩定狀態時，負回饋機制就會幫助系統回到穩定狀態。因此，如果有人主張馬克思的經濟結構不會出現景氣循環（他本人正是這麼主張的），科學家們將會徹底的感到不以為然。景氣循環若要消失，只有在負回饋機制對改變作出過度的矯正時才會出現，當這種情況出現時，平衡狀態將會回盪至另一個相反的方向。而馬克思的理論之中似乎沒有辦法保證這種狀況必然會出現。

然而，馬克思對經濟的看法中的確包含了一個重要的市場概念，那就是市場具有潛在的不穩定性，而且會在繁榮與蕭條之間來回震盪。此外，這種震盪並不是來自於外在力量的影響，而是系統本身所具有的一種內在的、不可化約的要素。那麼既然如此，為什麼處於這種震盪中的市場注定將會朝向蕭條衰退的一方，而不會恆久的處於循環震盪之中呢？在這裡我們無法不承認，馬克思的政治傾向似乎壓倒了他的理性分析。馬克思認為，由於每一次的經濟衰退都會讓一些更大的公司倒閉，因此經濟蕭條將會一次比一次更加嚴重，而當經濟衰退到谷底的時候，失業與低工資將會促發一波無產階級革命。馬克斯說：「到頭來，資產階級只是在製造他們自身的掘墓者罷了。」

當革命來臨的時候，私有財產將不復存在，而生產方式也將會變成一種共有的管理與控制。在馬克思與恩格斯所共同撰寫的《共產主義宣言》（Communist Manifesto）中，他們為了加速這個結果的到來而吹起了戰鬥的號角：「讓統治階級在共產革命中顫抖吧！無產階級沒有什麼好輸的，因為他們身上只剩下一條鎖鏈，而當勝利來臨時，整個世界都將成為他們的戰利品。」但是事實上，無產階級可以輸的還很多，正如他們在法國、奧地利、與德國的歷史中所發現的：一八四八年試圖發起的革命遭到了殘暴地鎮壓。至於俄羅斯，那當然又是另一個故事了。


市場能否穩定？

即使馬克思的歷史預測是有缺陷的，但是他仍然發現了資本主義經濟的脈動。那是一種結結巴巴的脈動。這一種難以駕馭的市場波動似乎是一種對經濟學家的嘲諷，嘲笑著他們試圖要建立貿易與商業的運作模型。這些發生在景氣循環之間的混亂變化，比其它他任何方法更能揭露經濟理論與實際情況之間的不同之處。從這樣的角度來看，馬克思之後的眾多理論都可以被直率地形容成是一種徒勞無功式的努力，因為它們乃是在試圖駕馭一個不可馴服的事物。

沒有任何其它事情會比不斷地強調「景氣循環」更讓人感到絕望了。對物理學家來說，這簡直就是一種冒犯。讓我們以「平均每人國民生產毛額」每一年的變動率（percentage change）為指標，來回顧過去一百年來美國經濟情況的改變。以「變動率」（而不是以絕對的數值）來估量經濟的「規模」或「健全度」有個優點，那就是它可以消除那些會讓生產量普遍上揚的通貨膨脹以及企業擴張的影響。如果是在一個穩定的經濟情況之下，其相對變化率會停留在零。而實際上，這種相對變化會在百分之二十左右波動（圖8.1a）。

當經濟學家談到景氣循環（business cycle）時，他們講的就是經濟情況好轉（圖表上的高峰）之後便緊接著衰退或下降的情況（註二）。循環確實會以相同的間隔不斷地重複發生，也就是說，這種變化是週期性的，就像季節的變化或是鐘擺的擺動一樣。在這張圖中，出現很多的高峰，而達到高峰之後又會緊接著出現低谷，但是你可以說服你自己在這裡看到的是一種擁有韻律的東西嗎？這張圖看起來比較像是示波器接收到的隨機靜電干擾訊號，就好像是沒有調好頻道的收音機所產生的雜音一樣。換句話說，它看起來很像雜訊。事實上，它甚至比雜訊還要糟糕。圖8.1a上面的資料是年度性的，也就是每年只有一個數據點。而圖8.1b所顯示的則是每一季的美國國民生產毛額變動率（同樣都是用來預估美國經濟規模所用的指標）。在圖8.1b中，這些數據點是每三個月出現一次，因此我們可以看到靜電干擾以更細密的隨機形式出現。在這些圖中，你有看到所謂的景氣循環嗎？景氣循環到底在哪裡？

然而，景氣循環是標準經濟教條的一部分，而且這個專有名詞透露出一種想在混亂中找出秩序的渴望。有些經濟學家宣稱他們找到經濟變化的週期性，也就是景氣循環之中的規律性。他們希望能藉此預測出下一個經濟崩盤的發生時間，以便能防止類似一九二九年橫掃股市並且害死了多條人命的股市大崩盤再度發生。奧地利經濟學家熊彼得（Joseph Schumpeter）在一九四零○年代時曾宣稱至少有三種景氣循環：一種是短期的，、一種是每七年到十一年循環一次，、另一種則大約每五十年左右循環一次。他說，這種明顯的隨機波動現象，是上述三種週期沒有協調一致的結果。而一九三零○年代會發生「經濟大蕭條」（Great Depression），則是因為那段時間剛好是三種週期的低谷期（註三）。

看到經濟學家們巧妙地從市場中找出週期性行為，就算我們不讚美他們，也應該稍微為他們鼓個掌。舉例來說，一九三零○年代的一位退休美國會計師艾略特（Ralph Elliott）主張，市場盈虧乃是照著八個步驟的形式來進行，其中包括了五個「發展」波與三個「衰退」波（註四）。他說，這種形式可以在各種不同規模的時間範圍中被發現，小至每天的波動，、大至可持續超過兩百年的「超級循環」（supercycles）。根據艾略特波段，每一個景氣循環都可以被區分為不同的階段，而這些波段的結構則反映出著名的「費布那西數列」（Fibonacci sequence）。在費布那西數列中，每一個數都是其前兩個數的加總：「一」個循環可以被區分成「兩」個主要部分（衰退波與發展波）（註五），這兩個部分又分別是由「三」個與「五」個小波所組成，而這些引號中的數字，剛好就是費布那西數列「1，1，2，3，5，8……」。當我們再更精細的去區分這些波段時，費布那西數列後段的數字就會一一出現。這種「數字命理學」（表面上看起來，「數字命理學」似乎是由華爾街分析師查爾斯•道（Charles Dow）的多頭與空頭市場理論中所衍伸出來的），讓當時（甚至是今日）的許多市場觀察家都在把玩著費布那西數列以及其中所蘊含的「黃金比例」，他們相信，其中可能隱藏著某種近乎神秘的模式。

熊彼得列出了一大串據稱是週期性的經濟循環，包括基欽週期（Kitchin cycles）、尤格拉週期（Juglar cycles）、庫茲涅茨週期（Kuznets cycle）以及康德拉季耶夫週期（Kondratieff cycles）。上述的經濟循環週期中，以最後兩種最為聲名狼藉。一九二六年，俄羅斯經濟學家康德拉季耶夫（Nikolai Kondratieff）斷言，資本主義經濟每隔五十年到六十年就會經歷一次高低峰的循環。不論這種說法是否真能找出資本主義體系中的致命缺點（這乃是經濟學家們所一心期望的），當康德拉季耶夫提出「共產黨應該將沒收的土地還給農民」這種「反動」觀念時，他的經濟觀點仍然沒辦法幫助他逃離史達林政權的迫害。他被流放到蘇聯的古拉格集中營，並因受不了嚴苛的迫害而發瘋，最後死於一九三八年。一些經濟學家堅信，從長期的歷史角度來看，「康德拉季耶夫波」的確存在於西方市場中，他們宣稱他們所找到的幾個例子包括了：工業革命時期（一八四三年到一八四二年左右）、「中產階級」（bourgeois）時期（一八四三年到一八九七年）、第三階段是在十九世紀前葉的電力與汽車工業成長時期，以及戰後至今的這個階段。然而，由於長期的歷史資料實在是過於欠缺，以致於我們無法透過統計來確認這一類的長期經濟循環。在這樣的時間規模之下，大家一定會懷疑這種循環模型會不會成為一種系統化歷史的工具，而無法真正的被用來了解經濟現象。

真正的事實是，經濟景氣的上升與下降堅決地拒絕以任何可預測的形式出現，而這也使得許多嘗試著要建構經濟循環理論的努力，都一一地步上了托勒密（Ptolemy）的後塵（托勒密為了要維持一種以地球為中心的宇宙觀，只好提出一個非常複雜的理論架構來預測行星的運行軌跡。不過，和經濟現象比較起來，至少行星的運行軌跡之中還有某種韻律可言）。費雪曾經在一九二五年承認，景氣循環或許註定有著某種不可預測性，不過四年之後，他似乎很快地就忘了自己曾經有過這種想法。

這種試圖要以週期性來「馴服那些凌亂的不規則」的努力，終究還是失敗了，在此之後，經濟學家們便嘗試著要將它們排除在傳統的經濟理論之外。儘管馬克思在針對景氣循環的開創性分析中，找出了經濟系統運作的驅動原因（以經濟理論的術語來說，馬克思的理論是一種「內生型」（endogenous）理論），但是後世的經濟理論很快就轉變了目標，它們開始去尋求那些能夠讓一個大致上穩定的市場週期性「發作」的外在因素。對當今眾多的傳統經濟理論來說，這樣的描述基本上仍然十分貼切，畢竟「市場具有本質上的不穩定性」這種想法，實在是太令當今學者感到不安了。

我們舉幾個例子來說明這一類強調外在因素的經濟理論好了。例如熊彼得就曾經主張，五十年為一期的康德拉季耶夫循環正好和主要的科技發展事件相呼應，這些科技創造了新的生產技術，並因此改變了它們所支撐的經濟系統。這種「把科技視為一種能夠影響經濟系統的外在因子」的經濟觀，現在又重新在當下最正統的一個經濟理論之中浮現（我們將在第九章討論之）。另外，英國的經濟學家杰馮（Stanly Jevon）也曾經在一八七零○年代主張，景氣循環乃是太陽黑子週期變化的結果（這個理論實際上並沒有像它聽起來那樣怪異，但無論如何，它是錯的）。由於太陽黑子的數量每十一年左右會增加，而這個現象正是太陽輻射週期性改變的象徵，杰馮因此認為，這種改變將會影響農作物的產量及價格，並同時會牽動市場中的其它他部分（註六）。

經濟學家們有時候會賦予那些市場驅動力一種超然的穩定影響力。他們提出了一種「市場均衡」（market equilibrium）的概念：在「市場均衡」的穩定狀態之下，所有的經濟指標都會處於理想且平衡的位置。也就是說，供給會自動進行調整、並精確地符合需求，因此，市場總是會處於一種「潔淨」的狀態。四處都不會有出現浪費的現象，而所有的貨物也都能被分配到社會的各個角落以達到最大的效益（註七）。如果世界上不存在那些「外來的」（exogenous）分裂性因素以及政府的干預，那麼上述的狀態（就是所謂的「巴瑞圖最適境界」（Pareto optimum），以義大利社會學家巴瑞圖（Vilfredo Pareto，一八四八到一九二三年）為名）將可以讓資本主義世界平順且有效率地運行。然而，即使世界上真的不存在這些外在的擾動力量，傳統的經濟模型仍然得先預設許多與真實世界大異其趣的假設，才有可能達到巴瑞圖最適境界。

在數學上一項無人能出其右的成就中，法國的經濟學家瓦爾拉斯（Léon Walras）為市場均衡的概念建立了形式化的基礎，而他的研究則演變成所謂的「一般均衡理論」（general equilibrium theory），並主宰了整個二十世紀的經濟思想。然而，這個理論所面對的困難在於，它仰賴了一些非常荒謬的假設（關於交易如何進行、以及商人的行為），當這些假設被放寬了之後，這個理論也將隨之瓦解。儘管如此，「將均衡狀態視為聖杯」般的信心仍然充斥在實際的經濟情況之中，同時，它也讓人們（尤其是最近的一些美國經濟政策顧問）產生了一種強烈的信念，那就是唯有「解除管制」（deregulation），才能讓經濟狀況永遠保持健全，社會也才能不斷的成長與創造財富（所謂的「解除管制」，指的就是解除所有對市場的合法阻礙與負擔）。

著名的經濟學家凱因斯（John Maynard Keynes，西元一八八三年到一九四六年）就曾經響應馬克思所提出的概念，他主張市場波動乃是經濟系統的一個內在要素。一九三零○年代，凱因斯曾經試圖透過對「所得流動」（flow of income）的分析，來解釋一再出現的景氣循環現象。他指出，一個經濟體的活動力並不是取決於它的富有程度，而是根據有期流動資金的多寡。在一個蕭條的經濟環境中，仍然可能有一些鉅富存在，他們和那些排隊等待食物救濟的大批工人以及居高不下的失業率是可以並存的。在這種情況之下，有錢人會傾向於嚴守他們的財富，而不是去進行投資。相對的，只要資金是能持續流動，經濟便會保持繁榮熱絡：在能夠吸引到投資資金的情況下，商業將會擴張，高就業率與高所得也將得以維持，而這樣的榮景也將會刺激到更多的儲蓄、投資與成長。

凱因斯認為，如果「凍結」他們一部分的收入（囤積而不投資），那麼這些資金就等於是被吸出了循環之外，而這樣持續下去之後，經濟將會轉而蕭條。在凱因斯的心中，所謂的商業就是必須不斷的透過借貸與擴張來保持資金的流動，唯有如此，經濟才能維持在一個良好的狀態之中，生產與消費也才會增加。在這種觀點之下，一個經濟體的穩定度乃是依賴於它的活力：就像是《愛麗絲夢遊仙境》（Alice’s Adventures in Wonderland）中的紅心皇后必須不斷地跑才能留在原地一樣（註八）。


隨機漫步

費雪並非第一個對「景氣循環」裡的混亂現象感到懷疑的人。在西元一九零○零○年時，有一位名為巴舍利耶（Louis Bachelier）的法國人曾經提出一種主張，他認為股票與債券的價格波動以及它們背後的基本市場經濟結構，實際上都是隨機變化的。通常，巴舍利耶的名字通常不會出現在經濟學的教科書上，因為他並不是一位經濟學家。巴舍利耶是一個物理學家，當年當時，他在巴黎大學（École normale Supérieure）攻讀博士學位時，他的指導教授是非常傑出的數學物理學家龐加萊（Henri Poincare，他的研究為現代混沌理論（chaos theory）奠下了穩固的基礎）。巴舍利耶的論文相當特別，其名稱為《投機理論》（Théorie de la spéculation），其內容則是一個根據物理概念所發展出來的經濟學模型。對同時期的學者來說，巴舍利耶的論文實在太奇怪了，因此，當他發表這篇論文之後，對於科學或是經濟學都沒有造成什麼影響。

然而，巴舍利耶的這篇論文中卻對經濟學有著非常卓越的貢獻。為了能用以數學的方式來描述隨機的經濟波動，巴舍利耶構想出了一個關於隨機漫步問題的理論，這個理論比愛因斯坦著名的「布朗運動」（Brownian Motion）研究報告還要早了五年（見五十二頁）。由於隨機活動的粒子，其移動方向是無法預測的，因此，巴舍利耶假設證券的價格也會隨機變化。換句話說，波動乃是一種雜訊。正如我們在第二章裡面看到的，飄忽不定的粒子行為所造成的隨機背景「雜訊」可以滲透到每個地方，而粒子的振幅則可以用來測量溫度。此外，當氣體的溫度越高，氣體分子的波動幅度就越大。這也就是說，有一種特別的方法可以用來測量隨機運動的粒子所產生的波動，那就是典型的偏差值大小。

隨機漫步過程有個很明確的數學特性，這個特性是對該過程進行統計分析之後得來的。無論在什麼情況下，我們都無沒辦法預料在下一次產生隨機的方向變化時，其變化程度會有多大。但是，如果我們把在一段充裕時間之內所產生的波動幅度完整地記錄下來，就可以清楚地看出它的變化型態。如果我們將波動的幅度以及波動的發生次數畫成一個圖表，就可以發現一個很熟悉的鐘型曲線，也就是由棣美弗最先發展出來的誤差曲線（後來被奎特雷用來解釋社會統計學中隱藏的規律性，現在則是眾所周知的高斯曲線）。正如十九世紀的統計學家所發現的：任何一組數值，只要其值是隨機決定的，它們就能夠符合鐘型曲線。

因此，巴舍利耶就假設證券價格的波動情形將會符合高斯統計的結果。這個假設聽起來似乎是正確的，特別是當我們看到高斯行為充斥在社會科學的每一項研究之中時，幾乎沒什麼人會對這個假設感到奇怪。巴舍利耶不斷地努力，試著建立一個可以將所有價格的隨機波動元素都納入考慮的經濟模型。他認為波動是數據的既有特性，因此他並沒有試著去解釋造成波動的原因。

在巴舍利耶的時代，雜訊與波動在物理學上仍算是很新的概念。大部分的科學家都對背景雜訊以上的層級比較感興趣。他們只需要知道氣體對容器壁施加了多少壓力，而不必了解這一微秒與下一微秒之間，、因不同數量（差異極小）的氣體分子撞擊容器壁時所產生的細微壓力變化。事實上，由於這些變化波動實在太過微小，以致於當時的技術根本沒有辦法偵測得到，就連麥克斯威爾也不得不在他的氣體理論中默默承認這項事實。

時至今日，雜訊與波動都被認為是統計物理學中最細微、最值得注意的層面。從這些研究中，科學家發現到許多重要現象，其中一個就是：並非所有的雜訊都是呈現高斯分佈。如果有一系列的數據點看起來像是毫無規律性、也無法預測的，並不表示它們就一定會符合高斯統計的結果。如果巴舍利耶曾經仔細地測量過證券市場的波動，他將會發現到自己的假設是錯的。只要我們知道如何善用原始數據，我們就可以發現到這個現象。圖8.2是記錄證券在一段時間之內所產生的價格波動，以及一張高斯雜訊圖表。從圖中可以明顯看出，市場的變動並不符合高斯統計，因為其中可看到幾個大幅度的起伏，而所有的高斯波動（Gaussian fluctuation）都只發生在一個有限的範圍以內，因為高斯波動有一個典型的幅度，大約就是這些尖峰起伏所構成之帶狀圖形的寬度。然而，在實際的證券價格波動之中就沒辦法找到這種明確的變化幅度。

還有一種更精確的方法能夠顯示出這兩者的差異，那就是畫出各種波動幅度與該幅度出現機率的對應關係，也就是所謂的「機率分佈函數」（probability distribution function）。在圖8.3中，虛線代表高斯波動的機率分佈函數，而由空心圓所連成的曲線則代表了非高斯型態的市場變化（也就是圖8.2a中的數據）。我們可以看見，在市場變化的機率分佈函數中，小波動發生的機率比大波動發生的機率要來的高。很明顯的，這些機率分佈函數可以明確地告訴我們它們究竟有多麼不同。

即使是那些小幅度的波動，其統計分析的結果分佈仍然跟高斯分佈有著不小的差異。而至於那些大幅度的波動，其中的差異就會更加明顯：高斯分佈明顯的低估它們的出現機率。在巴舍利耶的高斯模型中，出現大幅度的波動（例如證券市場崩盤或是暴漲）的機率很低，因此我們在模型中幾乎看不到它的蹤跡。在這個模型中，市場會在持平狀態上下震盪。但是，其中當然也會出現崩盤的情況。一般認為，這些特殊的情況就是機率函數的末端，也就是機率逐漸降到零的曲線兩端。你或許會想，如果市場上很少發生大幅度的波動，那我們為什麼還要努力地找出能與這些大波動相符合的理論呢？既然市場上發生的大多是小幅度的波動，而且，根據這些小波動所描繪出來的曲線跟高斯曲線也很接近，這樣的分析結果難道還不夠好嗎？

不，這一點都不好。而不好的原因就在於，「股市大崩盤」正是經濟觀測家們最擔心的那些特殊情況。試著以無法預測崩盤的模型來了解經濟情況，就像在針對水面上經常產生的細微變動來擬訂河川計劃，、但是卻忽略了那些偶爾會發生的災難性大洪水一樣。而且，並不是只有一九八七年與一九九七年發生的這一類股市大崩盤才算是偏離高斯分佈的事件，事實上，就連變動幅度頗為普通的經濟波動，都明顯的偏離了高斯分佈。一言以蔽之：市場行為並不是隨機產生的。



寬大的尾巴

如果市場上的波動不是以高斯型態來分佈，那它們到底是什麼？在一九六零○年代，當被視為「碎形理論之父」的數學家曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）看到棉花價格的波動時，就知道巴舍利耶的隨機漫步理論並不能用來解釋這種情況。他主張這些波動的機率分佈乃是以一種寛尾（fat-tailed）的方式呈現，在這種形式的機率分佈中，小幅度波動的出現機率跟高斯分佈很接近，但是，大幅度波動的出現機率則會劇增、宛如脹大的尾巴一般。這種情況讓我們在分析與模擬市場動態時，需要做出很大的改變。一九六四年，麻省理工管理學院的庫特納（Paul Cootner）就曾經說道：

曼德布洛特……強迫我們以腳踏實地的態度來面對那些令人困擾的實際情況，在這之前，我們之中大部分的人幾乎都一直試圖在逃避這些事實。現在，曼德布洛特已經證明這個經濟世界比經濟學家所認為的世界更複雜、更令人不安。

曼德布洛特指出，市場價格的變動並不是隨機產生的，而是以一種「萊維飛行」（Lévy flight）的方式產生（這是法國數學家萊維（Paul Lévy，西元一八八六年到一九七一年）於一九二六年所發表的機率分佈方式）。

「萊維飛行」非常類似隨機漫步分佈，只不過其中偶爾會發生一些巨大幅度的波動（註九）。有些動物的覓食方式就是以「萊維飛行」的方式呈現。牠們會先在某個小區域內以隨機的方式亂逛，但當牠們發現那個區域中沒有食物時，牠們就會快速地移動到一個新的地點，並在新地點重新以隨機的方式開始亂逛。跟從頭到尾都採用隨機亂逛的方式比較起來，這種「萊維飛行」式的覓食方法會比較有效（因為它可以讓生物比較有效率地脫離一個沒希望找到食物的地方）。能夠表現出這種動態行為的系統，我們稱之為「萊維穩定過程」（Lévy-stable processes）。曼德布洛特認為，經濟市場的波動正是這一種過程，而那些過程中偶爾出現的大變動，則可以用來解釋經濟市場波動之機率分佈函數中的寬尾現象。曼德布洛特的這個說法中最值得我們欣賞的重點就在於，它跟巴舍利耶的隨機漫步理論一樣都是一種對事實的描述。換句話說，它是一種描述波動的方式，它不需提出任何有關波動如何發生的解釋。

在當時，這一類純粹的描述性理論與主流的經濟學格格不入。當時大多數的學院派經濟學家所著重的並不是真實世界中的資料，而是所謂的「第一原理」（first principles）。他們會根據一些有關市場應該如何運作的假設來建構模型，然後看看這些模型的預測結果會是如何。他們甚至很少把模型的預測結果拿來和真實世界中的資料作比較。經濟學家奧默羅德（Paul Ormerod）就認為，「收集資料以測試理論」的這種科學傳統一直沒有滲透到經濟學之中，這樣的情況一直要到最近這幾十年才有所改變。因此我們可以知道，對過去的經濟學家而言，「處理真實資料」一直都是一個陌生的概念；如果要他們把「資料」當成研究的起點，那實在會是一件非常的奇怪的事。


改變的形狀

從一九六零○年代中期開始，曼德布洛特所提出的「萊維穩定市場波動描述方法」已經開始逐漸被學院派經濟學家所接受。但另一方面，那些希望能夠用經濟模型來做出真正預測的業界交易員及其上司們，則仍然傾向於維持著「波動符合高斯型態分佈」的想法。他們之所以會維持這樣的想法，部分的原因來自於其實用性：純粹隨機的高斯雜訊和「萊維飛行」比較起來，前者比較符合直覺且容易理解，在經濟模型中也比較容易以數學來處裡。這些注重實作的經濟學家們相信，市場波動的細部特質並不會對他們的計算有太大的影響。

然而事實上，「萊維飛行」事實上也無法對市場波動作出完美的描述。一九九五年，波士頓大學的物理學家曼泰格拉（Rosario Mantegna）與史坦利（Gene Stanley）對超過上百萬筆的標準市場指數（相當於五年的經濟資料）進行了一項分析，以試圖找出其中的統計規則。他們對市場指數的「回報」（returns）值進行了統計分析。所謂的「回報」值，指的是某個特定時間間隔的指數差異，這個間隔可以是一小時或一星期等等。「回報」值可以反映出市場的指數波動，例如，當指數在經過了某個時間間隔後卻沒有發生變化時，其「回報」值便是零。曼泰格拉與史坦利採用了史坦普五百（Standard & Poor’s（S&P）500）指數，該指數是美國排名前五百家大公司的公司市值總合（排名的標準取決於公司的發行股數、股票流動性、以及公司的商品多樣性）。理論上，這個指數應該可以作為一個總結美國經濟狀況的單一指標。

圖8.3便是曼泰格拉與史坦利的發現。市場指數的變化顯然並不是隨機漫步。那些小幅度的市場波動與「萊維穩定過程」十分的契合，但是大幅度的波動則偏離了「萊維飛行」曲線，他們大致上坐落在高斯分佈與「萊維飛行」曲線之間。換句話說，巴舍利耶的波動描述法低估了大幅度波動出現的機率，而曼德布洛特的寬尾描述法則高估了它們。看起來，市場波動似乎是兩種過程交互作用下的結果，其中一種過程是決定著小幅度波動的「萊維穩定過程」，而另一種則是決定著大幅度波動的某種未知過程。

不管市場指數的採樣時間間隔是多少（在某個相當寬的範圍內），市場波動的統計分佈型態似乎都大致相等。例如，曼泰格拉與史坦利發現，史坦普五百指數每分鐘的「回報」值統計結果和每小時以及每天的「回報」值統計結果都大同小異。換句話說，市場行為在不同的時間「縮放」規模之下（這個規模有其限制，我將會繼續說明）看起來都差不多。這種說法就意謂著市場波動並沒有特定的幅度，也就是說，市場波動與高斯波動的不同之處就在於，前者的波動幅度有其特定的大小，而後者則是一種「無幅度限制」（scale-free）的波動。如果我們把圖8.2a中曲線的某一部分放大來看，我們將會看到一條和原曲線一樣曲折的曲線。同樣的，無論我們放大某一天的曲線、或該天中某一小時的曲線、或該小時中某一分鐘的曲線，我們都會看到非常類似的波動圖形（註十）。

這種存在於不同「縮放」規模之中的型態（或形狀）相似性，正是我們在第五章中所提過的碎形結構之特色。在很多自然型態中，像是山脈和海岸線等，都可以發現這種特性。曼德布洛特不但為這些碎形取了名字，他也是第一個推論出經濟市場波動中存在著碎形特性的人。只可惜他的「萊維穩定分佈」過度簡化了這些碎形特質所具有的精確數學型態。

那麼，這到底是怎樣的一種型態呢？我們看得越仔細，這個問題似乎就會變得越微妙。似乎沒有一種單一的曲線能符合整個市場波動的統計分佈，舉例來說，統計分佈情況會根據你所觀察的變化幅度（單位為百分比）、以及時間間隔的大小而有所不同。雖然圖8.3所顯示的分佈情況在許多不同的時間間隔下都會出現，但是如果把觀察時間拉的很長（例如以數個月為單位），整個分佈就會開始很像是一條高斯曲線（而這也就是為什麼我們必須對任何宣稱可解釋市場運作的單一理論抱持著懷疑態度的原因之一）。雖然這個統計現象不是很明確，但它卻非常一致地出現在各種市場之中，也就是說，史坦普五百指數所顯示的統計分佈與日經平均指數（Japanese Nikkei index）以及香港

第七章上路出發無法改變的交通動態一個社會規劃者會仔細地考量交通號誌的效用。他們提醒了我們，雖然人們通常都會把規劃跟控制聯想在一起，但是其中的關鍵因素卻往往在於事物之間是否具有協調性：人們必須在適當的時間做出正確的事情，以配合其他們人的行為。湯瑪斯•謝林（Thomas Schelling）西元一九七八年在任何一個知識領域的理論性研究中，其最主要的目標之一，就是要找出一個最佳的觀點以揭示出事物最單純的面向。約書亞•威勒•吉布斯（J. Willard Gibbs）不管是在煉獄，或是在天堂，於孤獨的旅行者之中、他是最快的一個。盧...