茶水間的數學：熟用這些數字觀念，你一生富足

名人推薦：◆這是一本能增強數學力的書，對個人而言，數學力就是競爭力，對國家來說，數學力就是國力。

─李家同／暨南大學資訊管理系教授

◆過去的偉大學學家是怎麼創造出他們的理論？數學是怎麼產生的？現在在學校學習的數學是怎麼出現的？這是解決數學最基礎疑問的一本書。

─曾志朗／台灣聯大校長

◆無論什麼科系畢業，經營管理者一定要有解讀數字的能力。數學能力是職場晉升時不可輕忽的核心能力之一。

─戴勝益／王品集團董事長

沒數學，日子怎麼過？
今日的文明社會，再怎麼愚笨無知的人，也都知道100、1000的計數單位。這全拜幾千、幾萬年以來，人類祖先費盡苦心研究數字之賜，才找出許多計數的方式及寫法。不過在現代仍有一些未開化的民族對於數字毫無概念。

在二次大戰前，日本統治台灣時期，在深山的原住民部落裡設有日本人的村辦公室。有事需要請村民到辦公室時，最大的問題是不知該如何向村民約定幾月幾日前來辦理，因為村民根本不知道是哪一天。例如向村民說3天後或是4天後來辦公室，村民不知道3、4怎麼算。

於是村辦公室的人想了一個方法。村辦公室的聯絡人先到需要聯絡的村民家裡，將庭院的一棵大樹在大約視線高度的地方把樹皮削平，然後在上面畫上四條線。他們教導村民在夕陽西下的時候擦掉一條直線，第二天日落時分再擦掉第二條線，第三天再擦掉第三條線，到最後剩下一條線的那一天也就是該到村辦公室報到的日期。

太平洋戰爭期間，日本軍隊的士兵曾命令某個印尼村落的酋長從事整備工作，這位酋長的手下約有50人，但是酋長並不知道到底手下實際有多少人，也完全不會計數的方式。話雖如此，酋長卻能在沒點名的狀況下知道每天早上出去工作的人數，與傍晚從工作現場回來的人數一致，到底這位酋長是如何管控人數呢？原來每天早上酋長會先在一個地方集合手下，發給每人一個拳頭大小的石頭，出發前往工作場所時，將石頭投入酋長面前的一個箱子裡，換句話說這個方式與出勤簽到簿有同樣的功用。晚上收工回來時，每個人再從酋長那邊領取一個石頭以及當天的工作酬勞，隔天重複同樣的方式。日本士兵看見酋長以這樣的方式來管理手下的出勤狀況，終於解開了心中的疑惑。

古代的記數法——1.4 = 64
南洋有一個部族在計算物品時，10個以內的東西以指頭計算，稍微多一點的數目則以硬如核桃的樹果來計數，每10個樹果用一根椰子梗表示，每10根椰子梗就以更大的椰子梗或其他樹木來表示100。先前也提過其他未開化的部落也用類似的計數法，所以這種方法不是南洋人才會，只是有的憑藉手指進行10進位的計算，或藉手指與腳趾進行20進位計算，或以單隻手的手指運用5進位計算等等，大抵任何時代、任何地方的人類，計數的依據大致上都相同。

至於12支為1打、12打為1籮，這種以12為單位的計數方式似乎也是自古以來就存在了。巴比倫人主要使用60進位法，60的因數有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，在運用時十分方便，因此他們廣泛使用60進位的計算方式，進一步使這個地區的民族很早就發展出整數及分數的概念，孕育出有系統的數學。

當然那時候還沒有像現代一樣方便的阿拉伯數字可用，一切數目都以特殊符號表記，計算 12、22、32、…、n2 時，12=1、22=4、…、72=49都還可以，82不是以64表示，而是表記為1.4（意指60 + 4）， 92= 81則表記為，102=100則表記為1.40，112=121表記為2.1。

這很顯然是運用60進位法的證據，據說這是在巴比倫某地所挖掘出的泥板上發現的。

零打哪兒來的？
印度人除了創造阿拉伯數字，還用0表示空位，並藉由10進位表記一切大數目的方法，據說就是在紀元5∼6世紀的時候。

印度人將0稱為sunya，表示空白的意思，這種記數法後來被阿拉伯人所採用，將sunya譯為sifr，這個字在阿拉伯文裡也是空的意思。

之後在13世紀初，拉丁文將0稱做Zephirum，自此之後0在各國有了不同的名稱，又過了大約100年之後，0又成為義大利文中的Zero，於是各國才統一稱為Zero。

嘆為觀止的印度人
發明數字0、1、2、3、…的印度人，有優秀的數字頭腦，很早就知道今日所謂的無限大的概念，而且也研究極限理論、各種級數、質數等等。例如：佛教經典中的百千萬劫的「劫」字，有許多解釋，其中一種解釋為「有一塊60里見方的磐石，天上的天女每一千年到這塊磐石上跳舞一次，用衣袖撫摸這塊石頭。袖子很薄很輕，直撫摸到石頭都平了，沒有了，才算一小劫。」可見一劫有多久，而百千萬劫更是超乎想像的時間長度，時間無窮的例子能表現得這麼淋漓盡致，真是嘆為觀止。

另外，印度人還有一種形容空間無垠的方法，那就是有一位如來佛背後發出三千個光圈，照耀三千個世界，而每一個光圈裡都有一個如來佛，也各自發出三千個光圈照耀宇宙，之後每個光圈又有一個如來佛，又各自發出三千個光圈，用這種方法說明宇宙的廣大無邊。像這樣創造無限大空間與無限長時間的印度人，對於表達這類的數字，當然會特別深感興趣而進行研究、思考。

尼羅河氾濫催生了幾何學
考古學者研究發現，早在五、六千年前的埃及和巴比倫，便已發展出高度的文明，有宏偉的宮殿、美麗的寺院、各種型態的陵墓、規劃整齊的廣大耕地等等，不難想像當時在埃及、巴比倫地區，是多麼精通幾何學。希臘歷史學家希羅多德（Herodotus）在其著作《歷史》一書中，描寫到：「埃及每次尼羅河氾濫都會破壞耕地界線，因此經常需要測量土地，幾何學自然會成為發達的學科。」

幾何學的英文是geometry，geo在希臘文中是土地的意思，metry則是測量之意，因此合起來就是測量土地、「測地術」的意思。而漢字「幾何」一詞，最早是出現在中國徐光啟的著作中，幾何的中文發音和英文的「jio」、德文的「geo」發音相近，而且幾何的意思為多少，與物品的測量有關。

埃及人及巴比倫人都只是基於生活上的需要或靈機一動，才零零星星地發現數學或圖形，後來希臘人將這些零星片段的知識整合成一門有系統的學問，建立了今日幾何學的基礎。其中有名的泰勒斯（Thales of Miletus）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐多克索斯（Eudoxus）、亞理斯多德（Aristotle）等大數學家輩出，前後經歷三百多年的時間，發展出了十分精粹的幾何學。最後，由幾何學權威歐幾里德（Euclid）有系統地編纂了《幾何原本》一書，奠定了後世幾何學的基礎。

阿拉伯：數學強、國家就強
埃及、希臘的輝煌文化由於西元638年的戰禍，亞歷山卓城被攻陷，從此陷入黑暗期，直到16世紀中葉文藝復興時代前，數學的研究都處於毫無進展的狀態。但是，當時的阿拉伯商人頻繁地與埃及和希臘商人往來貿易，將文物傳至歐洲各國，同時也與印度往來，將當地物資輸入歐洲各國，因此阿拉伯數學受到印度數學相當大的影響，而且阿拉伯人將埃及、希臘的古老幾何學翻譯成阿拉伯文，致力於傳播至各地，因此留下不少獨創的研究。

在印度發展出與埃及和希臘數學全然不同的獨特數學，其中有以對角線垂直相交的內接四邊形定理聞名的婆羅摩笈多（Brahmagupta, B.C.598∼660左右），他是知名的數學家及天文學家，著有《印度天文學系統》一書，還有婆什迦拉（Bhaskara, B.C.1114左右），是將算術、代數學有系統地組織起來的名數學家。

阿拉伯本身也出現多位數學家，巧妙地把從亞歷山卓城學得的幾何學、三角學運用在測量上，簡化計算程序。阿爾巴塔尼就是其代表人物，還有1038年客死於開羅的海桑（Al-Hazen），他是以關於圓的弦及弧的海桑定理聞名，是《光學》的作者。

在阿拉伯、印度，代數、算術等關於量的計算的研究十分盛行，更勝於幾何學的相關研究，與此相關的著書也不在少數，其中被稱為阿拉伯數學始祖，9世紀的數學家阿爾•花拉子米的《代數書》（Hisab al-jabr wal-muqabala）是最重要的著作，備受後世推崇。阿爾•花拉子米的數學與現今的代數學相似，將該作品從阿拉伯文譯為拉丁文後，就成為代數（Algebra）的語源了。

還有現在所用的數字1、2、3稱為阿拉伯數字，但這其實原本是從印度傳來的數字，印度數學全都經由阿拉伯人之手流傳至歐洲各國，由印度文翻譯成阿拉伯文的數學普及歐洲各國，導致數字名稱變成阿拉伯數字，而非印度數字了。

黑暗時代：數學差、成就更差
數學由上古的巴比倫人、埃及人或印度人創造，而紀元前7世紀後，主要由希臘人發展，誕生了許多有名的大學者，但後來到了中世紀，進入歐洲的黑暗時期（一般認為是從476年西羅馬帝國滅亡到14世紀文藝復興時代之前），曾盛極一時的數學也完全荒廢，停滯不前，更慘的是，研究數學的人都被當成占卜師或騙子，受到極大的迫害。

拜占庭帝國（東羅馬）的查世丁尼大帝於529年公佈查世丁尼法典，條文當中有條標題為：「取締騙子及數學家」，內容規定「占卜師或運用數學之術者，必須處以最嚴厲之處罰」。
同樣地，在費歐多西亞大帝的的法典中也規定：「禁止任何人求教占卜師或數學家」，由此可以想像當時的人對科學抱持多麼昏庸的看法。

這個時代是羅馬教宗全盛時期，教宗認為：「人類是神創造的，唯有神是宇宙的造物主，是至高無上的，但科學家卻胡亂捏造理論，是違背神意，迷惑人心的不法之徒，罪不可赦。」因此容不下科學，而且此股迫害科學的風潮延續了很久。

在這種背景之下，著名的大學者伽利略（1564∼1642）（發現鐘擺等時性、自由落體法則）等人也受到基督教徒強烈的迫害，其中一位名為卡其尼的主謀公布一封聲明書說：「伽利略是擅立異說，違逆神意的不法之徒，必須即刻燒死。」若是古代未開化的蠻荒時代尚可理解，但這事件卻發生在17世紀，實在令人驚訝。

此外，波蘭的大天文學家哥白尼（1473∼1543）批評自古以來的「地球中心體系說」，完成《天體運行論》，主張「太陽繞著地球運行的說法完全是錯誤的，實際是上地球繞著太陽運行」，因此，當時一直以阿基米德的天動說為絕對真理的人們，對此說法強烈抨擊，認為他危言聳聽、迷惑民心，因此依照神的旨意，應當立即處以極刑。後來哥白尼在異端審問所被拷問，強迫他發誓今後絕對不再主張地動說後，終於獲得暫時的釋放，但據說哥白尼在步出法庭時，仰望天空自言自語道：「地球仍舊是繞著太陽轉」。

當時許多優秀的科學家，陸續被頑固愚昧的基督教徒拷問或是燒死，而且延續了很久。中世紀長期踐踏科學的萌芽、迫害科學家的結果，當然使數學家以及所有學者都消失無蹤，歐洲社會陷入極度衰退的情況，於是後代史學家把歐洲這段時期稱為黑暗時期。

然而另一方面，在中亞的各民族中，陸續出現致力研究古代文化的人，在科學復興方面，留下偉大功績。尤其是7世紀至9世紀左右的阿拉伯民族，他們展開大規模的征戰，陸續征服古文明先進的國家，而他們深感不僅戰爭，還有航海、工業、商業方面，都需要科學知識，所以很流行研究被征服民族的古文化，因此希臘數學以及數學家的事蹟，大多被譯成阿拉伯文。

阿拉伯民族的作為，對現今我們在瞭解古代數學的樣貌上有很大的幫助。後來進入文藝復興時代，長期不見天日的科學突然遇上這種盛況，終於得以為今日的發展奠定根基。

沒數學，日子怎麼過？今日的文明社會，再怎麼愚笨無知的人，也都知道100、1000的計數單位。這全拜幾千、幾萬年以來，人類祖先費盡苦心研究數字之賜，才找出許多計數的方式及寫法。不過在現代仍有一些未開化的民族對於數字毫無概念。在二次大戰前，日本統治台灣時期，在深山的原住民部落裡設有日本人的村辦公室。有事需要請村民到辦公室時，最大的問題是不知該如何向村民約定幾月幾日前來辦理，因為村民根本不知道是哪一天。例如向村民說3天後或是4天後來辦公室，村民不知道3、4怎麼算。於是村辦公室的人想了一個方法。村辦公室的聯絡人先到...