如果你在7-11 購物結帳時，聽到下一位顧客想買 10 張A4 的白紙，櫃檯小姐說不行，他們只有整包 100 張的。但是顧客說，真的不需要這麼多，寧願貴一點，只要 10 張。於是他們就僵在那裡，無法可想…………
那當時在現場的你，會如何處理這個僵局呢？
在這本新書中，作者為數學正名，寫出了數學教育正向積極的一面，帶領我們體會，數學是一種充滿趣味的生活學習。
數學原本來自生活的需要。所以，把數學的知識與技能用回到生活上去，應該是很自然的。但是，科技的進步，依賴慣了有電腦功能的機器，人反而變笨了。
其實，數學的學習最重要的是讓思考從混亂到具有決定性的解析思維能力，而不是計算。許多人誤以為數學的重點是計算，其實數學家是最不喜歡計算的人。現代人生活所需要的計算，已經可由電算機執行，他們比較需要的是「估算」。本書的用意是從日常生活透過理解問題的意義來解決問題
作者簡介：
黃敏晃
美國印地安納州普度大學（Purdue University）數學哲學博士。
國立臺灣大學數學系副教授（1998年退休）。
1974年及1993年小學數學課程標準委員會召集人，並在上述課程標準下國立編譯館出版之小學數學教科用書編輯小組擔任召集人。
2001年九年一貫國中小學數學課程暫定課綱委員會委員。
1972年及1985年國中數學課程標準委員會委員，並在上述課程標準下國立編譯館出版之國中數學教科用書編輯小組擔任組員。
1971～73年編寫《新編高中數學》教科書。
1992年和好友朱建正教授合力推展「數學步道」之概念與實務。
一般性著作：
《數學世界中的萬花筒》（牛頓，1986，已絕版）
《數學解題規則》（牛頓，1986，已絕版）
《數學年夜飯》（心理，1998，已絕版）
《規律的尋求》（心理，2000）
《人間處處有數學》（天下文化，2003，已絕版）
《讓我們來玩數學吧》（小天下，2005，已停版）
《資優數學的星光大道－玩弄數學問題》（翰品，2011）
《另類數學教室》（天下文化，2013）
《生活數學故事》（天下文化，2013）
《動手做幾何》（天下文化，2014）
《撞球檯邊的數學家:拉拉雜雜扯數學》（開學文化，2015）
各界推薦
名人推薦：
推薦序
華德．迪士尼（Walt Disney）公司在1959年曾製作一部以數學為主題的卡通動畫影片《唐老鴨遊歷數學幻境》(Donald in Mathmagic Land)，該片於同年並獲得奧斯卡最佳紀錄短片提名，片中描述外出打獵迷路的唐老鴨因緣際會，打開數學之門，進入了「數學幻境」，那裡有用數字形成的花草樹木、井字遊戲及會計算「圓週率（π）」的小鳥，還有許多色彩的數字，順著小河不斷流動。而在「數學精靈」（The True Spirit of Adventure）的旁白引領下，唐老鴨認識了古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）和他的朋友們手掌上的五角星形的數學秘密，接著介紹音樂、藝術、建築及自然界的「黃金比例」現象，還有隱藏在交通工具、生活器具、運動競賽場地中的數學概念，最後提到西洋棋及撞球等與數學相關的遊戲，本片期盼讓觀眾體悟到，原來數學不只是計算而已，「所有的事物都根據數字來運行」，生活中萬事萬物都與數學相關。
本書《撞球檯邊的數學家》作者黃敏晃教授，多年來從事中小學數學師資培育、參與國民小學數學課程標準修訂，發展實驗教材並編寫可普及應用的小學數學教科書等工作。自台大數學系退休後，黃教授仍勤於筆耕，從日常生活中親身經歷的人、事、物取材，發表許多數學科普文章，曾著有《人間處處有數學》、《讓我們來玩數學吧：當個遊戲大贏家！》、《數學年夜飯》、《規律的尋求》、《另類數學教室》、《生活數學故事》等數學科普書籍，針對台灣的中小學數學教育提出建言，並希望藉此提升社會大眾的數學素養。一如前段所提到的「數學精靈」，黃教授也嘗試透過書寫數學科普文章的方式，協助讀者打開腦子裡那扇獨特的數學之門。
延續先前著作的基調，黃教授堅持「人間處處有數學」、「把數學的知能用到生活上去」的理念，本書12篇文章以淺白活潑的筆觸，循序引導讀者思考數學教學方法與生活中的數學問題，習得重要的數學概念，諸如「購物結帳」、「空間大小」、「數學題目設計」、「運動賽事與數學」、「數學遊戲」等等，其中〈女兒的生日宴〉、〈香港之行〉、〈淺談數學題目中的資訊量〉、〈估算的意義〉、〈科學研究的模擬遊戲〉、〈加與乘的遊戲〉及〈福建友人來訪記事〉等文章曾於國立臺灣科學教育館《科學研習》月刊發表，現在連同其他文章集結成冊出版。
謹以此序，推薦各位讀者一同探索黃敏晃教授所建構的「Mathmagic Land」吧!
國立臺灣科學教育館館長 朱楠賢
〈平亂之數〉──黃敏晃教授《撞球檯邊的數學家》觀後感 詩人 謝予騰
看了《撞球檯邊的數學家》一書，我的腦中竟浮現法國足球名將席丹，在他生涯的最後一場世界足球賽裡，用他那顆有名的大光頭，在義大利對手馬特拉齊的胸前狠狠地垂下去的那個畫面。
後來，法國在十二碼對決中，輸掉了那場冠軍賽。
所有的一切，不過比較和選擇的結果；而我多想請黃敏晃教授，幫我們寫出那張席丹所領到的，紅牌的算式與數據。
人生本來就是無止盡的參數與亂碼，沒有人可以知道未來如何，如同五十年前的那五個年輕的軍官，再也回不到那個響哨集合前的大樹下，解救他們心中年輕而漂亮，卻要被用天價賣掉青春年華的水餃店女孩。但這一切其實都不過數字，只是我們掌握到了多少罷了──無有一件事情沒有因果，像沒有一顆將射門足球與已擊發的一○五顆榴砲飛行的軌跡無法被計算，是一樣的道理。
那些夾雜於看似嚴謹的數據組合中的，是一次又一次生命沒有把握到的隱藏數質，如同港幣的匯率與臺灣的地價，都沒有辦法簡單地「＝」（彼此等於），畢竟太多的不確實，太多人為因素的暗湧波動，如同沒有人會想到當年以英雄之姿帶領法國殺入冠軍戰的席丹，竟如此輕易被馬特拉齊用嘴皮算計了。（所以英雄的結局雖然不等於，但也往往趨近於悲劇。）
而我們不禁要問，作者到底想要說出什麼？是那些發生在學校數學課裡簡單的錯誤？店家刻意貪圖的小便宜？又或者一切看似合理，實際上卻是大企業操縱社會的騙局？還是整個島嶼，在這個時代下思維的困境？
若撇除了人的因素，數字、乃至於整個宇宙，其實不過巨大無瑕的純粹。所有的渾沌不清，所有的靉靆不明，都成形於人類的大腦與眼睛。（如此說來，人類的靈魂除了21公克之外，是否還能用數字計算？）那些教育中簡單的題目，究竟封鎖了原來，能夠讓一個孩子探索到的多少可能性？
包括那些微小而相互磨蹭的生存空間，人擠人的餐館廁所，後殖民時代的寸土寸金，一桌繽紛的球路與出桿角度，以及隱身於食物氣味中，飄忽不定的人際關係，在作者的敘述裡，完全是一串又一串的數字組合，也是一圈又一圈的人生經歷。
Fisher、砲聲、尚義機場、世足賽、無緣的肥鵝、國小老師與學生、家中的女性主義、對岸老師的來訪……諸如此類巨大集合的最大公約數，我們可以從《撞球檯邊的數學家》一書中，看出些許端倪，自最感性的來往之中，涉入最理性的次元，那些漫天紛飛的一切故事，就這樣穩穩當當地，被安排在已然被證明過無數次的算式與表格之中：像一頭豢養了十多年的臺灣犬那樣，正忠心耿耿地，為你等在那裡。
名人推薦：推薦序
華德．迪士尼（Walt Disney）公司在1959年曾製作一部以數學為主題的卡通動畫影片《唐老鴨遊歷數學幻境》(Donald in Mathmagic Land)，該片於同年並獲得奧斯卡最佳紀錄短片提名，片中描述外出打獵迷路的唐老鴨因緣際會，打開數學之門，進入了「數學幻境」，那裡有用數字形成的花草樹木、井字遊戲及會計算「圓週率（π）」的小鳥，還有許多色彩的數字，順著小河不斷流動。而在「數學精靈」（The True Spirit of Adventure）的旁白引領下，唐老鴨認識了古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）和他的朋友們手掌上的五角星形的...
章節試閱
淺說數學題目中的資訊量
題目考什麼？
參加台師大數學系林福來教授主持的，由教育部和國科會一起資助的，國中小學數學科輔導的亮點計畫後，退休多年的筆者多了許多在教學現場走動的機會，碰到不少想要精進教學能力的老師。
和他們的談話中，難免討論到數學教育現實的事務，諸如考試卷的命題，批改給分等的種種問題。有次和一些教授及老師一起喝咖啡時，對這方面議題竟然談出一些共識，於是商量合作寫幾篇文章。
無奈教授們忙著寫論文，老師們不善於寫文章，寫科普文章的工作就落在我頭上了。這篇文章就是頭次的嘗試，希望得到讀者的肯定，才會有第二篇文章。順便也在此聲明，本文的點子是很多人共同討論出來的結晶，我只是負責把想法用白紙黑字呈現出來。
當我們這些數學老師命一道題目，將它放在考試卷上給學生做答時，都有其特定的目的，譬如說，下面羅列出來的，都可能是其原因或部分原因：
1.學生對某個特定的概念如質數，知識如畢氏定理等，是否有某種程度的瞭解？
2.學生對某些運算、技能是否能夠執行，或已經熟練到某種程度？
3.在某些學生算是熟悉的情境中發生之問題，學生能否應用已經學過的知識和技能加以解題嗎？
4.在數學內部的知識之間，或是和別的科目的知識，常會有些關係，這些結構成學生腦海中的知識網路。這些上述的某些局部連結，學生腦中是否存在？
5.學生在展現上述能力的過程中，邏輯是否清晰，想法思路是否合理？
這些條列當然可以分得更細，列得更長。不過，如此就得要寫很長的文章，討論更深沉的課題。第一篇就這樣，實在不符合本文標題「淺談」的旨趣。不談這些，又該說些什麼呢？不如從一些實例說起。
我們這些合作的夥伴，找了一些題目，商量下做了一些小實驗，即借用了某些台北附近的學生做了一些測試。分析後，得到了一些初步的結果。不如就寫些這樣的實例吧！以下就是一道可以考四、五、六年級的題目。
題目1小明拿一張500元大鈔，到附近的一家早餐店替家人買5份早餐。媽媽說，每份早餐都要有餐點和飲料，每份的組合不能相同，且合起來的價錢每份不得超過70元。此點的點選單如下：
問小明可以買怎樣的5份早餐？請填入下表中。
5份餐點共要多少元？可找回多少元還給媽媽？
資訊知多少？
親愛的讀者，你覺得這道題目如何？很簡單嘛，是不是？它是附在生活情境中的四則應用問題，所牽涉到的數學內容是整數的加、減（也有人可能會用到乘法），這方面應沒問題。但是，由於題目用文字呈現，也許會造成某些學生因閱讀不良，而產生解題困難。這是我們在做測試前的自我評估，結果並不完全如我們所想的那樣。
此題在台北市某小學的四年級某班測試時，十八位學生中只有兩人全對，四人零分，其他人則得到部分分數。下面，讓我們概略地分析這些學生的錯誤原因。很遺憾，我們無法附出學生的答案卷（會佔太大篇幅），只能單純的敘述如下：
1.四人完全空白，表示什麼？讀不懂題目的意思？還是不會解題？或者是他們覺得這個測試不算學校成績，故不屑做答？最後這個原因，我們在問過他們班導師後，立即排除—他們四人沒聰明到如此地步。
至於，前兩個原因，我們懷疑是前者。因為只要湊出一組合起來不超過70元的早餐，就會得到一些分數。除非他沒上街買過早餐，這樣的小孩（總是在家裡吃過早餐才出門，真是幸福）現在應該很少了。他們因缺乏實際的經驗，很難期望他們能形式地購買早餐。
2.被扣去部分分數的一位學生，被扣分的原因是，他沒寫出餐點和飲料的名稱，只在表格上填出個別項目的價格。他這樣子不耐煩（學會耐煩似乎應該也是人生中很重要的功課），我們可以理解。之後命題，也許會加上餐點和飲料的編號，學生在答題時圓要寫出這些編號即可。如此也比較合乎數學裡講究形式抽象的精神。
3.很多被扣分的原因，竟然是計算錯誤。讀者也許會歸因於學生計算能力之薄弱。可是，我們並不認同如此的理由，譬如說有位學生在計算5份早餐共要多少元時，無端端地多加了1份65元（前面已經加過）。類似這樣的錯誤並不少，為什麼？原因請看第4.點的說明。
另外，有好幾位小朋友用350元去減5份早餐的總價額，我們相信350元的出現（題目中沒有），是70元5得到的（每份早餐不得超過70元）。有位學生更是離譜，竟然用700元去減5份早餐的總價額。700元如何來的？我們能想得到的唯一連接，是350元的2倍。但為什麼會有如此奇怪的連接？我們完全摸不著頭緒。
4.基於上述證據，我們認為對四年級的小學生而言，本題的資訊量太多了—餐點（及其單價）有5個，飲料（及其單價）又5個，500大鈔，以及每份早餐之價額之上限70元。這12個資訊的掌握，是小孩解此題的前置。這樣的要求，對還不到十歲大的小孩，真的負擔稍重。
我國有些成語，透露了人類對隨機資訊量的掌握限度，諸如亂七八糟、七手八腳、七嘴八舌、七上八下、七零八落等等。這些說法總結了我們前輩的寶貴經驗—七、八常是太多了，同時處理腦袋會亂掉。這件事可以找到一些佐證：一星期為什麼是七天？很多地方的電話號碼是七或八個數碼的，為什麼？親愛的讀者，你認為這些是不相關的嗎？
解題運作量
現代社會越來越趨複雜，逼使我們人類的腦袋持續進化，同時要處理八個以上的亂碼。譬如說，台北和台中地區的電話號碼是八碼，手機通通十碼，我們為了記住這些而努力，久而久之，記憶力和連接力就變強了。
當然，腦袋瓜進化這種事情，以往都是以長時間為單位來計算的，沒有萬年也需幾千年以上。人類有史最多不超過三、四千年，所以一種說法是史前人類的腦袋和現代人的其實相差並不是那麼多。
另一種說法則是，進入二十一世紀之後，社會運作的複雜程度，已到了逼使我們的腦袋到了不調整進化就很難存活的地步。我和老婆大人學用3C產品時的困難（只要碰錯一個按鈕就滿盤迷失，回不到想要的介面，被迫找年輕人求救），其實就是最佳的案例—現代的年輕人比我們年輕時候優秀才行。
若是如此，下一代的教育中應該加入一些新的元素，使他們的頭腦能順利掌握複雜事物裡的眾多訊息。數學科能在這方面幫忙的有兩樣：一是讓學生學會剝開重重的情境障礙，看到事物的基本結構；二是訓練學生在擁有一大堆資訊（也許會有多餘的，甚至矛盾的）狀況中，釐清並掌握有用的資訊，進一步運用來解決問題。
本文想討論的是上述方向中後者之最前端。我們選擇的是小學生所生活的真實情境，裡面的資訊剛好很豐富（我們已經刪去一些如包子、酥餅等）。我們以為這樣的資訊量，應該對四、五與六年級學生適合，但測試結果，四年級學生可能在維高斯基所說的近測發展區。在此狀況下，能做的事情是先調整資訊量，並藉機會討論，使學生學到掌握資訊的手法。
5.若是12項資訊太多，該如何改變呢？我們認為，給三年級學生題目中的餐點和飲料各3項，買2人份的早餐；四年級的餐點和飲料各4項，買3或4人份；五年級的則保持原題就行了；六年還可更多些。
6.如果學生融入情境沒問題，又能掌握題目中的資訊，則解題的難度並不高，運算的數量計有—每份早餐加一次（條件限制，不得超過70元），總額加1次（或是4次？），用500元減去總額1次。算是不多。若如5.之建議，三、四年級的版本，運算量還會少些。所以，這裡不是障礙。
7.解題運作最困難的部分在組成5份早餐。題目中的條件有三項，即每份早餐含一個餐點及一杯飲料，合起來不超過70元，每份早餐的組合不能相同。所以，餐點和飲料並不能隨便配，例如，豬排堡不能配咖啡，雞腿堡只能配豆漿等等。這是隱藏在題目裡，沒寫在考卷上的運作，在解題時要記住這些，肯定增加了不少心理負擔。
8.「每份早餐的組合不能相同」的意義，許多學生的解讀不盡相同。命題者本來的意思是，只要餐點和飲料中的一項不同，就算是不同的組合了。但這個意思全班只有得滿分的二人懂（其中一人餐點重覆，另一人飲料有重覆）。正確解讀題目的意思，會使餐點和飲料的配對簡單許多，譬如說，只要飲料選豆漿，配任何餐點時價額都不會超過70元。
9.若認為「不同組合的早餐」是餐點和飲料都要不相同，則要多做一些功夫。首先，每樣餐點和飲料都會被用到，故較高價的餐點只能配便宜的飲料—雞腿堡只能配豆漿，豬排堡只能配紅茶或果汁，其他就可以隨便配了。讀者不難看到，這些運作的先後順序之確立，也會造成解題的困難。這就是我們在5.裡建議的，減少題目中的資訊量和運作量的原因。
能力的提升
近年來在台灣倍受爭議的數學素養議題，首先提創的是歐洲的數學教育界。他們認為，學生單單學會數學內部的知識和技能是不夠的。完整的數學教育目標，一定要讓學生學會，把學到手的數學應用到數學之外的世界去。理工方面的人才當然會把數學用到他們的本業上，一般人則要把數學知識用來解決，他在日常生活遇到的問題。
大多數制式科目的學習，都依賴紙筆測試來檢驗其學習的成果，數學當然不例外。要將數學題目所依附的生活情境寫清楚，有時候題幹的文字會稍長。若學生不習慣這樣的命題方式，又沒學會如何掌握題目中的關鍵資訊，以及它們之間的數學結構（這是閱讀理解的重要功能），他們的數學考試成績絕對不會令家長滿意。
10.所以，我們在命題時有考慮過，對「每份早餐的組合不能相同」的意義，是否要舉例方式加以解釋，但這樣不是又增加了「文字說明」的長度了嗎？對學生解題的難度是增加了，還是減輕？當然，我們也可以故意將餐點或（和）飲料少列幾項。如此，學生就沒那麼多選項來進行配對，因此降低了配對運作的工作量，解題成功率就會大幅提升。
「配對」的能力，雖不是重要的數學內涵，但卻是本題隱含的數學運作（除了加、減、乘和與生活相接外），而且若沒那麼多項，好像無法強迫學生理解「選項可以重複選用」的意義。我顯然失算了。
11.這裡考讀者一下，這道題目中有個漏洞，請你花幾分鐘找找看！這個漏洞並非有意設計，而是打字後校對的疏忽。為了減輕讀者尋找的負擔，特別指出，漏洞在 的部分。這下應該不難找到了吧！
沒錯，就是「5份餐點共要多少元？」這句話了。在題幹中「餐點」指的是如三明治、蛋餅之類的食物，不包含飲料在內。故此題本來的意思，是要學生能把5份早餐的價錢總加起來，然後，再算能找回多少錢。
有趣的是，14位有作答的學生，都算了5份「早餐」的和，而我們也是在閱卷後，無意間發現的。這讓我們警覺到，不但是學生，連我們做老師的在「閱讀理解」這方面的能力，真的很有成長的空間。在我國目前的數學教育領域中，這方面的講究還是空白，迫切需要研究和實驗。
考試的目的並非對學生的能力加以評等，而是要發現學生學習上的錯誤，或是不是之處，事後進行反省與檢討，再作進一步的補救教學。本文的目的，就是做這方面的分析，也希望能對考試提供一些改進意見，以及進一步研究的課題。只是，我們大多數是退休人員，沒有長期帶班，故補救教學的細節，就有待現職老師們去努力啦！
淺說數學題目中的資訊量
題目考什麼？
參加台師大數學系林福來教授主持的，由教育部和國科會一起資助的，國中小學數學科輔導的亮點計畫後，退休多年的筆者多了許多在教學現場走動的機會，碰到不少想要精進教學能力的老師。
和他們的談話中，難免討論到數學教育現實的事務，諸如考試卷的命題，批改給分等的種種問題。有次和一些教授及老師一起喝咖啡時，對這方面議題竟然談出一些共識，於是商量合作寫幾篇文章。
無奈教授們忙著寫論文，老師們不善於寫文章，寫科普文章的工作就落在我頭上了。這篇文章就是頭次的嘗試，希望得到讀者的...
目錄
推薦序—朱楠賢(臺灣科學教育館館長)
女兒的生日宴
香港之行
淺談數學題目中的資訊量
估算的意義
傳統砲兵中的數學
科學研究的模擬遊戲
加與乘的遊戲
福建友人來訪記事
世足賽中的數學
撞球檯邊談數學
花式撞球的數學聯想
閒話點算—從頭談起
推薦序—朱楠賢(臺灣科學教育館館長)
女兒的生日宴
香港之行
淺談數學題目中的資訊量
估算的意義
傳統砲兵中的數學
科學研究的模擬遊戲
加與乘的遊戲
福建友人來訪記事
世足賽中的數學
撞球檯邊談數學
花式撞球的數學聯想
閒話點算—從頭談起
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