為什麼用數字說話的人很有魅力：任何人都可以學會的數學式邏輯思考

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洪萬生　國立台灣師範大學數學系退休教授

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丟掉常識，避免誤解的特效藥：確認定義

自古以來，日本就把「不靠言傳的默契」或「察言觀色」視為美德，換句話說就是「心領神會」的文化。不靠語言就能傳達心情或理解對方想說的話，確實會讓人心情愉快。

只是把「心領神會」視為美德的文化，其實也是誤解的溫床。尤其在全球化迅速發展的現代，文化背景相異者之間的溝通已成為前提。在這種情況下，期待「不靠言傳的默契」或「察言觀色」是非常危險的事。

事實上，即使說溝通問題幾乎都是從誤解而來的也不為過。

舉例而言，假設社團教練對某個新進社員說：「明天7點在操場集合，不要遲到了。」

隔天早上，新進社員按照教練的吩咐在7點準時抵達操場。不過穿著制服的只有新進社員一人而已，其他社員全部都換上了隊服。

當新進社員還來不及反應時，教練出現了，劈頭就罵：「混帳東西！你竟敢遲到！」

不用說也知道，原因就出在新進社員不懂那個社團的「集合」是什麼意思。教練與其他社員的「集合」是換好隊服後集合，新進社員的「集合」是穿著制服直接來集合，這就是他們各自對「集合」的不同解讀。

本節要介紹的就是避免誤解最基本且重要的觀念，關鍵字就是「確認定義」。

帕斯卡的說服術

「人是有思想的蘆葦」，說出這句名言的17世紀哲學家暨科學家帕斯卡（Blaise Pascal；1623~1662），曾提出兩種說服別人的方法。

一是建立邏輯性論述以駁倒對方，二是採取能夠討對方歡心的說法。

只是帕斯卡也說過，後者的方法「我自己是做不到的」，所以他僅針對前者的方法提出詳述而已。

在透過數學學習邏輯思考的本書中，的確也是以前者的方法為重。

帕斯卡的說服術建立在以下三種規則上。

規則一：與定義有關的規則

規則二：與公理有關的規則

規則三：與論證有關的規則

此處特別要介紹的是「規則一」的部分。帕斯卡提出的「與定義有關的規則」如下：

「帕斯卡的說服術～與定義有關的規則」

○1如果這個用語已經明確到沒有比這更清楚的用語，就不需要再加以定義。

○2如果這個用語有任何不清楚或模糊之處，一律必須加以定義。

○3定義用語之際，僅使用一般人充分認知或已說明過的詞語。

（出處：《數學序說（暫譯）》（吉田洋一・赤攝也著／筑摩書房））

彙總上述的內容，大概就是以下的意思：除非是任何人都清楚含意的詞語，否則所有使用的詞語都要明確定義。

問題是「任何人都清楚含意的詞語」，範圍究竟到哪裡？關於這一點，我想應該很多人會認為「只要是在常識的範圍內，就不需要再加以定義了吧。」

但是溝通之中最麻煩的，其實就是這個「常識」。

「常識」並不通用

何謂定義？定義就是「將事物的意義或內容，透過語言明確地加以限定，以與他者區別。」（參考《大辭泉》）

想要向人說明某件事情時，一開始應該明確地告知說：「我接下來要使用的這個用語是～意思，除此之外沒有他意。」在一般人的觀念裡，這應該是非常理所當然的事吧。但是實際上，正如最前面提到的社團案例，很多人常常因為抱持著「這種事情是常識（理所當然）」的心態，就不把定義當成一回事，結果就不斷地發生說話者與聽話者把同一個詞語解讀成不同意思的狀況。

這樣一寫，恐怕會有人說：「這都要怪沒常識的人。」但事情真的是這樣嗎？在前文的社團案例中，真的只有新進社員需要被指責嗎？

對方明明是新進社員，教練卻沒告訴他：「在集合時間之前要換好隊服過來。」所以教練自己應該也要負一部分的責任吧。

關於「常識」，愛因斯坦曾說過這麼一句話：

“Common sense is merely the deposit of prejudice laid down in the human mind before the age of 18.”

翻成中文就是：「常識就是人到18歲為止所累積的各種偏見。」

我一直將這句話銘記在心，當作一種自我警惕。因為自己所認為的常識，很多時候不過就是自己的偏見而已。當然，身為一名社會人士，具備常識是很重要的，但與此同時，也請不要忘記時時刻刻捫心自問：「這真的是『常識』嗎？」因為對自己而言是常識的事，對他人而言或許並不是常識，這種事情隨時都有可能發生。

再次回頭看前面的社團案例，對於新進社員而言，「集合」兩字完全就是字典上的意思，那就是新進社員所認為的常識；但是對於教練或其他社員而言，每次說到「集合」，「換好隊服後集合」才是「常識」。

類似這種在實際溝通之中，不同於「字典的定義（多數人所認為的常識）」，這種地區或團體特有的局部定義的情形其實並不少見。

無論是在向人傳達訊息時，或者是有人向自己傳達訊息時，若能不厭其煩地確認詞語的定義，應該就能避免掉許多不必要的誤解吧。

丟掉常識，避免誤解的特效藥：確認定義

自古以來，日本就把「不靠言傳的默契」或「察言觀色」視為美德，換句話說就是「心領神會」的文化。不靠語言就能傳達心情或理解對方想說的話，確實會讓人心情愉快。

只是把「心領神會」視為美德的文化，其實也是誤解的溫床。尤其在全球化迅速發展的現代，文化背景相異者之間的溝通已成為前提。在這種情況下，期待「不靠言傳的默契」或「察言觀色」是非常危險的事。

事實上，即使說溝通問題幾乎都是從誤解而來的也不為過。

舉例而言，假設社團教練對某個新進社員說：「明天7點在操場集合，不要遲到...

【導讀】數學式邏輯思考的意義 / 洪萬生　台灣師範大學數學系退休教授

在日本的數學普及書寫中，永野裕之的著作風格一直都相當獨特。比方說吧，他的《天哪！數學原來可以這樣學》及《喚醒你與生俱來的數學力》，就結合了學校數學的解題技能與數學普及的博雅素養，大大地豐富了我們對數學普及敘事進路的另類想像。

在本書中，作者除了延續前兩書的風格之外，還特別強調「數學式邏輯思考」對於網路時代的重要性。這種思考在溝通、解題以及充當概念工具等三個面向上，都不可或缺。儘管作者注意到這些問題時，主要是由於他身處日本這個特別的文化環境所激發，然而，邏輯思考卻已成為全球性浪潮席捲下，人際溝通的必要條件。這是普世的認知，絕對不只是日本社會的特定需求。

至於「邏輯思考」所以加上「數學式」這個形容詞，是因為作者認為「要培養邏輯思考所代表的兩種能力，亦即『(1)溝通能力』和『(2)問題解決能力』時，最合適的工具就是數學。」這也難怪，作者就讀中學後期時，曾經非常狂熱地投入數學學習，他深知數學知識活動的實作，是嚴格邏輯思考訓練的不二法門。這尤其在他創辦（個別指導補習班）「永野數學塾」之後，體驗更加深刻。事實上，早在《喚醒你與生俱來的數學力》中，他就曾向那些逃避數學的（高中）文組學生喊話，指出邏輯思考能力是不分文組或理組，所有人都應該具備的一種能力。這是因為誠如上一段指出，這是一個早已邁向國際資訊化社會的時代，「當一群成長環境不同、想法不同的人聚在一起，試圖解決各種以往未曾碰過的問題時，自然而然必須具備理解他人想法、用自己的想法說服別人的表達能力，以及任何情況下都能將問題抽絲剝繭、解疑釋結的能力。」因此，為了鍛鍊邏輯力，他大聲疾呼：所有人都必須學習數學。

這些也足以解釋作者在本書中，為何會以數學為例，來說明邏輯思考如何有助於溝通、如何有助於解題，乃至於如何運用數學這個十分有力的工具。顯然由於這些相關數學內容與方法的解說，讓本書除了可以定位為一般人的知識普及讀物之外，也適合作為高中數學特色課程或是大學數學通識的絕佳參考書籍。以下，我將大略介紹本書內容，並藉以推薦本書給愛好數學普及的讀者。

對於一般讀者來說，本書第一章內容最具有邏輯思考的一般性參考價值。譬如說吧，本章的主題如整理與分類、圖表的恰當使用、PM矩陣、Will-Skill矩陣與SWOT矩陣如何解讀，以及簡報力之提升要件等等，對於企業公司主管或一般上班族，都是不可或缺的邏輯思考素養。當然，如何深刻感受冰冷數字的「意在言外」，更是不容忽視的數學素養，而這若能從數學課堂就開始培養，當然是更理想的學習策略。

在本書第二章中，與一般讀者非常相關的主題，就是第三節的「必要條件與充分條件」（necessary and sufficient condition）。一般的數學命題主要依賴這兩個條件來建立，只是目前「邏輯」單元已經從高中數學課程刪除，因此，在課堂上或許分配不到應有的教學時間 – 這是升學評量使然，不能責怪老師。然而，針對邏輯思考能力之提升，在口語或書寫中，學會正確的表達或釐清至為重要。誠如作者所指出，如果無法正確掌握這種邏輯思考，那麼，給定「若A則B。所以為了B，你必須做到A。」與「若A則B。所以為了B，你只能選擇A。」如何判斷這兩者等價但卻都是無效的推論，恐怕就「理未易明」了。

在本書第二章第三節中，作者還針對命題（proposition），介紹如何活用必要條件與充分條件，來準確判斷其真偽的方法。為了進一步說明這些方法，作者在本章第五節引進「否（定）命題」與「對偶命題」的概念，利用邏輯推論的等價性（equivalence），提醒我們「碰到難辨真偽的命題，試著用對偶去思考。」不過，他也非常明白地指出：在日常語言中，「即使『若P則Q』為真，P與Q之間也不見得存在因果關係。」因此，對偶命題的邏輯思考，還是要明辨，小心使用才好。

本書所有這些有關邏輯推論的說明，對於我們精確運用語言或文字助益甚大，只是當我們以數學為演示例（demonstration）時，要是缺乏（與一般文字論述）連結之提醒，大概就難以想像數學訓練可以提升或強化邏輯思考能力吧。因此，在本書第三章中，作者引進了許多相關的數學問題，一點也不令人感到意外。

第三章的數學問題之相關主題依序是概算（費米推論法）、賽局理論（game theory）、圖論（graph theory），以及統計學（標準差、（統計）相關及迴歸分析）。顯然，作者是運用這些問題的求解過程，來說明數學如何被充當成一種邏輯思考工具來使用。譬如說吧，在概算主題（第三章第一節）上，作者所討論的問題就有：

・地球以外有多少外星文明？

・東京有多少人孔蓋？

・芝加哥有多少位鋼琴調音師？

・日本人1年有多少葡萄酒消費量？

至於如何概算這些問題？作者則是採用所謂的「費米推論法」，其中數學當然是主要的工具。此外，相親派對問題就是基於圖論來建立模式（pattern），而得以輕易解決。至於葡萄酒價格的預測問題，則是經濟學家亞森費特（Orley Ashenfelter）基於統計學所建立的多元迴歸式，這種「透過資料的解析推導出有益的（或出乎意料的）事實就叫做資料探勘（data mining），而亞森費特的葡萄酒方程式可以說是相當好的實例。」所有這些問題的解決，除了教育成規所重視的數學能力之外，還需要一種「綜合性的數學力」，那是東京大學錄取新生的重要指標。

因此，本書的書寫動機之一，應該也是作者試圖呼應東京大學的新生篩選條件，那就是，高中生藉由學習數學必須培養的三種能力：

・數學式的思考能力

・數學式的表現能力

・綜合性的數學力

如果學校數學課程難以或無法滿足這個需求，那麼，研讀本書絕對是值得認真考慮的選項之一。另一方面，針對一般讀者，如果打算在職場提升表達能力，那麼，本書的例題及其求解說明，也相當具有啟發性，值得參考借鏡。

【導讀】數學式邏輯思考的意義 / 洪萬生　台灣師範大學數學系退休教授

在日本的數學普及書寫中，永野裕之的著作風格一直都相當獨特。比方說吧，他的《天哪！數學原來可以這樣學》及《喚醒你與生俱來的數學力》，就結合了學校數學的解題技能與數學普及的博雅素養，大大地豐富了我們對數學普及敘事進路的另類想像。

在本書中，作者除了延續前兩書的風格之外，還特別強調「數學式邏輯思考」對於網路時代的重要性。這種思考在溝通、解題以及充當概念工具等三個面向上，都不可或缺。儘管作者注意到這些問題時，主要是由於他身處日本這個特別的...

推薦序 數學式邏輯思考的意義／洪萬生
序章 數學式邏輯思考的建議
何謂邏輯思考
為什麼需要保持邏輯性？
「數學式」是怎麼一回事？
本書的使用方式

第一章 「用於溝通」的數學式邏輯思考
1 使用架構，讓論述條理分明：MECE分類
2 掌握圖表，讓資料清楚傳達：四種基本圖表
3 簡化思考，讓局勢判斷更輕鬆：矩陣
4 丟掉常識，避免誤解的特效藥：確認定義
5 善用數字，提升你的簡報力：賦予數字意義
練習問題
練習問題的解答與解說

第二章 「用於解決問題」的數學式邏輯思考
1 一家店的營業收入是由什麼決定的？：函數與因果關係
2 為什麼哆啦A夢不能算是生物？：演繹法與歸納法
3 如何戳破不實廣告的謊言？：必要條件與充分條件
4 運用「逆向思考」反向解決問題：餘事件
5 名人說的都對嗎？：對偶與反證法
練習問題
練習問題的解答與解說

第三章 「作為工具使用」的數學式邏輯思考
1 外星人究竟在哪裡？：費米推論法 168
2 為什麼無法杜絕送禮歪風？：賽局理論181
3 如何在相親派對中湊出幸福佳偶？：圖論 198
4 雷曼兄弟事件稱得上是「極端特例」嗎？：標準差 218
5 如何得出葡萄酒的最佳年分？：相關與迴歸分析234
練習問題 252
練習問題的解答與解說 255

結語 保持邏輯思考最重要的事──用心培育邏輯力 269
參考文獻 271

推薦序 數學式邏輯思考的意義／洪萬生
序章 數學式邏輯思考的建議
何謂邏輯思考
為什麼需要保持邏輯性？
「數學式」是怎麼一回事？
本書的使用方式

第一章 「用於溝通」的數學式邏輯思考
1 使用架構，讓論述條理分明：MECE分類
2 掌握圖表，讓資料清楚傳達：四種基本圖表
3 簡化思考，讓局勢判斷更輕鬆：矩陣
4 丟掉常識，避免誤解的特效藥：確認定義
5 善用數字，提升你的簡報力：賦予數字意義
練習問題
練習問題的解答與解說

第二章 「用於解決問題」的數學式邏輯思考
1 一家店的營業收入是由什麼決定的？：函數與因...