微積分究竟在說什麼？：老師從不會教你這些

序 言 (一)

是超越他人也超越自己

內兄張之嵐(錚)博士自幼聰敏過人，思考事物總在「框架」之外。對於微積分的研究包含函數、極限、微分、積分甚至是複數等，他總是有其獨特而深奧的思維方式。沒有數學DNA 的考生和學子們，數學常是他們一生學途中的大業障。

上了大學，若是不需繼續學習數學或微積分，他們則視此為學業道途上的一大解脫。根據內兄的教學研究與方式，他以一貫的平易而近人的方式，論述《微積分》的根源，闡述《微積分》的道理，配合着大量而詳盡的圖表，讓每一位讀者有着玲瓏透剔、洞燭天機的感覺。這本書在寫法上，超脫了一般教科書教條式的寫法。

不再是刻板的、生硬的，或是毫無旨趣的「教條式」的教學。因為「教條式」的教學所導致的結果，必然就是教條式的「記憶」與教條式的「背誦」，而如果以「記憶」與「背誦」的方式學習《微積分》，那學習的過程將是一種苦難，而其所造成的後果也將是一種災難。

學習《微積分》需要的是說得清楚、講得明白的道理。唯有在真正明白其中的「微言妙語」，才能明晰透徹地解悟《微積分》的大道理，這時《微積分》的世界也會是世上最美麗的一種世界，也唯有如此，才能真正融入我們的生活方式，從而體悟宇宙的奧妙與人世間智慧的真理。

至於《微積分》究竟在探討的是什麼真理？究竟包涵有什麼驚人的智慧，又如何能代表偉大的生命曲線？這種種問題的答案，都在書中做了最平易也最詳盡的論述。配合各式精細的圖表，希望讀者能夠深入而詳盡地閱讀這本書中的每一個章節，進而體認《微積分》與生命科學是息息相關、生生不息的。研讀內兄的《微積分》，將會習得「超越」傳統的方法，並得以「超越」他人，而更進一步的是超越自己，這將是各位無比的的福祉與福報。是故，爰以為序。

康達維 (David Knechtges) 博士

美國人文與科學院院士 序於 2017 年6 月

序 言 ( 二)

超越性的思維

《微積分》真正的目的不是在教人們如何去微分？或是如何積分？當初牛頓爵士(Sir Isaac Newton，1643~1727) 和德國數學家萊布尼茲（Gottfried WilhelmLeibniz，1646~1716）為了要思考在極限狀態下的世界，各種事物的「因」與「果」之間的關係而發明《微積分》，但對於如何計算數值的問題並不是思考的重點。

尤其是到了近代，能夠計算與演算的工具太多了，而這些計算與演算的工具當然也比人類快得太多、太多，它不但是快而且精準無比。在極限的問題上，一般人可能是無感的。但事實上，它就在我們身邊，它與我們身邊的宇宙與生命有著極為密切的關係。所謂聚沙成塔，每一間房屋、每一棟大樓，乃至我們的身體，甚至是我們地球、宇宙的星球等等，都是由無數的微小聚集而成。所以它可以說是一門偉大的學問，這也說明了在大學的「理」、「工」、「商」與「管」等等院所的學生都必須要學習《微積分》的道理，並以此結合專業技能，才能展現更宏偉的實質意義與思維。所以，在面對「微分」與「積分」的時候，就必須要有超越性的思維，才能夠有超越性的成果，而本書則正是在於強調這種超越性的特質。

能夠徹底的把微積分說清楚、講明白，讓讀本書的人可以在一開始就能真正的懂得「微積分究竟是在說什麼？」這是本書的特色，也唯有把真相說清楚，把道理說明白，才是學問的真正起點。本書以特殊而精準的圖解方式，詳盡而深入淺出的方式，解說《微積分》的究竟與道理，更重要的是，書中使用了大量的「典範範例」，對於相關的問題以實例做成典範，配合精準的圖解，使每一個函數都以特性曲線圖的方式展現出來，並在完成微分或積分之後，再用特性曲線圖的變化，對於它的原因及道理做成更進一步與更詳盡的解說與分析，這才是最難能可貴的，也是讀者之福，是願為序。

張明文( 台灣首位光學博士)

元智大學終生榮譽教授 2017 年6 月

自 序

《微積分》究竟是在說什麼？它究竟又能做什麼？這是絕大多數學理工商經管等科系的人應該要「問」而又「沒有問」的問題。事實上，《微積分》是一門處理與研究「瞬息萬變」的大學問。

所有凡是跟瞬息變化有關的現象，都與《微積分》有關，你說這是不是一門偉大的學問？否則就不會有那麼多的科系都將它列為必修科目。本書的宗旨與寫作的方式不同於一般形式的教科書，更不以「教條式」方式來教導所有想要學習《微積分》的人們。因為，「教條式」的教學，所導致的必然結果就是教條式的背誦與教條式的演繹，而如果以「背誦」與「記憶」的方式在教導數學或是學習數學，尤其是對《微積分》而言，那將是一種大苦難，也是一種大災難。也因此使得所有的學習者不知《微積分》之所云，當然也就不知所學的是什麼。它的結果也就是使得所有的人對《微積分》失去了興趣，也失去了知覺，最終則是選擇遠離了它。

所以，本書在寫法上也完全不同於一般教科書的寫法，教科書是刻板的，尤其是《微積分》的教科書總是刻板而生硬得讓人們食之無味、啃嚼困難而確切的是不知所云，故而也就不知所措。這也正就是絕大多數的學生在學完《微積分》之後，不知道它在講什麼？更不知道它能做什麼？這樣的教學方式其實是失敗的。我們實在是不應該浪費太多的時間去記憶與背誦公式。而身為人師者，更不應該為了考試而要學生去背誦生硬的數學，而是要講道理，要讓所有的要學《微積分》的人，人人都能懂得《微積分》的真正道理，只有在真正的明白道理之後，它才能為我們所用，也才是屬於我們的。否則，教科書式的刻板教學終將是徒勞而無功的。花費了許多心血而一無所得、一無所獲，那真是對生命的一種浪費。

生命是短暫的，我們不但要清清楚楚的明白所學的道理，更重要的是因而帶來的認知，如此，才能使我們的生命真正的受惠與提升。

在前面說過，我不反對在數學中使用記憶。「記憶」現象是人類，或者可以說是地球上所有的動物都與生俱來的本能。說得更深入一些，我們甚至可以說，凡是地球上所有的生命系統都具有「記憶」的本能。細菌不是動物，也不屬於植物，但是它是生物。細菌當然有記憶能力，能夠複製自己就是最佳的記憶證明。

不但如此，對於會傷害它的藥物，它也會記得住那些是對它有害的東西，並進而對那些藥物或抗生素產生了抗藥性。多次之後，它的記憶也越來越強。終於對這些藥物產生了足夠的記憶，並進而自身產生了抗體，下次再使用這些藥物來對付它就不靈光了，而這也正就是「記憶」的奇蹟。然而，記憶卻不是「無限大」，任何的生命系統它所存在己身的記憶細胞必然是極為有限的。我們不能全然的依賴「記憶」來處理數學或《微積分》的問題。數學是活的，而記憶卻是硬梆梆的。

我不反對「記憶」，但是，卻堅決的反對以「記憶」的方式來教導或學習數學，尤其是《微積分》。面對一門講道理的學問，若是捨真理而不講不用，只求能記得住文字內容，那是才是真正捨本逐末的行為，當然是失敗的，故而也就不會有所得或有所獲了。事實上，能夠徹底的明瞭數學中的道理與相關的意義，我們不必痛苦的強行記憶，自然而然的它就能強化我們內在的記憶，這才是能夠獲得「一舉數得」的便利與智能。

至於說到要「考試」的這個問題上，有許多人說會用「背」的最快。

事實上，就人類而言，也就是對人類這種族群的生物而言，天生的就有兩大能力不足的地方，也可以說是人類的一種通盤性的「勢弱」，也可以說是一種缺失。那就是「記憶」與「計算」這兩大問題。也就是說記性不好或是算不出來那才是天性。我曾說過，如果有誰敢說自己的記憶好，只要把今天的報紙讓他背，看他要到哪天才能通通記得一字不漏？人類的記性不太好，是天生的，也是一種無比的福祉與恩典。人類第二種通盤性的「勢弱」，那就是「計算」能力的不足。

算不出來是天經地義的事，更不必難過。如果有人使用複雜的算式去考別人，這的確是不好的行為，也正因為人類計算能力的薄弱，才會有電腦(computer) 的發明。事實上，人類的這兩項缺失，卻正就是「電腦」的最強項。至於對付文史法學的科目，也許的確要多下一點人類弱項的「記憶」功夫。古人講求的是要下有「倒背如流」的苦功夫。我不曉得這種到背如流的苦功夫究竟有什麼用？一部「貝多芬」的第五交響樂就不能倒過來聽。任何一國家的國歌，也不能倒過來唱。

「微分」實際上是在計算事情微量的「因」與「果」的變化與關係！這是非常重要的一個觀念，也是一件非常重要的事情。當事情有着極微量的變化的時候，我們就要知道它對於結果會產生如何的影響？總不要等到事情鬧大了才知曉，那就來不及了。我承受過「背誦」《微積分》得痛苦。所以，我一直有一個心願，希望大家都能理解《微積分》，進一步的能因理解而喜歡它。故而，本書的宗旨，是希望以最容易讓人看得懂的方式，平易近人的，由淺而深，並能徹底的把問題說清楚、講明白。讓讀本書的人可以在一開始就能真正的懂得微積分究竟是在說什麼？我們遇上的是什麼問題？我們該如何去解決問題？而它所代表的意義又是什麼？該如何進一步的研究與分析？也正因為如此，本書完全以圖解的方式來解說我們究竟是在做什麼？也因此可以讓學習微積分的人，能夠懂得微積分究竟是在說什麼？

絕大部分的人會有一種不正確的認知，那就是認為所謂《微積分》就是在教人們如何進行微分？或是如何想辦法去求得積分的結果。事實上，正如我常說的:數學是在描述宇宙的真理。

我們該如何描述地心引力對地面上每一個物體所產生的重力現象與作用呢？

我想，除了數學之外，沒有任何的語言可以說得清楚。數學的本身並不在於如何計算數值。正如1+2=3 這種純數值的計算並不是數學本身的目地。數學是為了應用的需求而產生的，不是單純的在計算而已。同樣的，《微積分》它真正的目地也並不是在教人們如何計算求值，而它同樣的是用來表達與敘述宇宙的真理，並構思每一個問題所代表的意義與思維。

本書除了以平易直述的方式直接的敘述各相關的方法與學理之外，最主要也是最大的特色，就是獨創也是獨特的使用【典範範例】的方式，使用的是所有具有典範性質的範例來做說明，並配合實際的方法及理論，讓問題直接的凸顯在諸君各位的面前。

《微積分》的本身並不難，難的是有太多的人有着太多錯誤的認知，而這些錯誤的認知往往又是承襲上一代的沿襲，如此，不斷地構成惡性的循環，終於使得大多數的人們對於《微積分》懷著敬而遠之的態度。更可惜的是，在學習上面花費了多年而長期的時間，竟然是枉費的。而這也是本書的目的，希望凡是仔細的閱讀本書的人，都能夠有所豐收，也都能夠脫離對《微積分》的恐懼感，並以此為基石，增長知識，奠定日後所需要的更大的智能與超越自我。

☆ 本書同時由衷的感謝由十二位相關領域的各位博士先進們的推薦。

謝謝 ！

獻給

那些對於微積分

從沒有被真正的「好老師」教過

而只會被不講理的要求

記憶與背誦的人們

如今

我願意以最誠摯的心

對那些迷惑在數學中的人們

讓他們

懂得真道理、真知識、真覺醒

並獲得更高的人生智慧

重要的

則是

在懂得這些知識的背後

所表達的宇宙與大自然的真理之後

的那份喜悅與自我超越

才是

真正的無價之寶

序 言 (一)

是超越他人也超越自己

內兄張之嵐(錚)博士自幼聰敏過人，思考事物總在「框架」之外。對於微積分的研究包含函數、極限、微分、積分甚至是複數等，他總是有其獨特而深奧的思維方式。沒有數學DNA 的考生和學子們，數學常是他們一生學途中的大業障。

上了大學，若是不需繼續學習數學或微積分，他們則視此為學業道途上的一大解脫。根據內兄的教學研究與方式，他以一貫的平易而近人的方式，論述《微積分》的根源，闡述《微積分》的道理，配合着大量而詳盡的圖表，讓每一位讀者有着玲瓏透剔、洞燭天機的感覺。這本書在寫法上，超脫了...

第1章 緒 論 18
☆ 1.1 超越的思維 ........................................ 20
☆ 1.2 不要用計算來困住自己.................................. 23
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？.................................. 25
☆ 1.4 近代文明的基石 ........................................ 28
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論(Paradoxes of Zeno ).................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ........................................ 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代........................ 33
☆ 1.8 把數學口語化 ........................................ 34

第2章 數學是宇宙的真理 36
☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？.................................... 38
☆ 2.2 數學是一種偉大的思維.................................. 40
☆ 2.3 在「答案」背後的意義...................................... 42
☆ 2.4 數學是美也是真理...................................... 43
☆ 2.5 數值在歷史上的迷思.................................... 45
☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧.................................... 46
☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理.................................. 48
☆ 2.8 數學之唯美 ........................................ 52
☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大.................................... 54
☆ 2.10 世界上最美的方程式.................................... 56
☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式............................ 57
☆ 2.12 思維的特質使人成為天才................................ 61

第3章 大自然的曼妙哲學與原理 64
☆ 3.1 脫離傳統的制度 ........................................ 66
☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她................................ 68
☆ 3.3 偉大的生命曲線 ........................................ 72
☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係............................ 75
☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ........................................ 79
☆ 3.6 【典範範例】集錦....................................... 81
【★★★典範範例3-01】.................................. 81
【★★★典範範例3-02】.................................. 85
【★★★典範範例3-03】.................................. 88
【★★★典範範例3-04】.................................. 89
【★★★典範範例3-05】.................................. 91
【★★★典範範例3-06】.................................. 92
【★★★典範範例3-07】.................................. 94
【★★★★典範範例3-08】[ 研究與分析].................... 95

第4章 從微積分的思維說起 100
☆ 4.1 人們自古就喜歡算命................................... 102
☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問....................... 103
☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道........................... 106
☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問................. 110
☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了............................. 113
☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？............................... 114
☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析......................... 116
【★★★問題與研究】................................... 118
☆ 4.8 直線的積分會是什麼？................................. 120
【★★★問題與研究】................................... 122
☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？............................. 123
【★★★問題與研究】................................... 125

第5章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 130
☆ 5.1 人類因幻想而偉大..................................... 132
☆ 5.2 來到那「極限」的地方................................. 133
☆ 5.3 你知道1=2 的悖論嗎？................................. 135
☆ 5.4 極限(limits) 的問題與思維............................ 137
☆ 5.5 【典範範例】集錦...................................... 140
【★★★典範範例5-01】................................. 140
【★★★典範範例5-02】................................. 141
【★★★典範範例5-03】................................. 142
【★★★典範範例5-04】................................. 144
【★★★典範範例5-05】................................. 145
【★★★典範範例5-06】................................. 147
【★★★典範範例5-07】................................. 149
【★★★★典範範例5-08】 [ 研究與分析]................. 151
【★★★★典範範例5-09】 [ 研究與分析]................. 155

第6章 微分究竟想做什麼？ 158
☆ 6.1 讀書的學問之道 ....................................... 160
☆ 6.2 事情永遠都在變化..................................... 162
☆ 6.3 微分是求微量的因果之道............................... 164
☆ 6.4 進一步的談導數與微分................................. 166
☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道....................... 169
☆ 6.6 數學中的微分方法..................................... 170
☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道....................... 171
☆ 6.8 【典範範例】集錦...................................... 177
【★★★典範範例6-01】................................. 177
【★★★典範範例6-02】................................. 180
【★★★★典範範例6-03】 [ 研究與分析]................. 182
【★★★★典範範例6-04】 [ 研究與分析]................. 185
【★★★★典範範例6-05】 [ 研究與分析]................. 188
【★★★★典範範例6-06】 [ 研究與分析]................. 192

第7章 奇特的三角函數微分 196
☆ 7.1 世界上最實用的科學................................... 198
☆ 7.2 基本三角函數的微分................................... 200
☆ 7.3 為什麼sin(x) 的微分是cos(x) 呢？..................... 201
☆ 7.4 為什麼cos(x) 的微分卻是-sin(x) 呢？.................. 205
☆ 7.5 綜合型三角函數的微分................................. 207
☆ 7.6 【典範範例】集錦...................................... 209
【★★★典範範例7-01】................................. 209
【★★★典範範例7-02】................................. 211
【★★★典範範例7-03】................................. 213
【★★★★典範範例7-04】[ 研究與分析]................... 215
【★★★★典範範例7-05】[ 研究與分析]................... 218
【★★★★典範範例7-06】[ 研究與分析]................... 221

第8章 為大自然說話的曲線 226
☆ 8.1 大自然的生命道理..................................... 228
☆ 8.2 用白話文講「指數」................................... 231
☆ 8.3 自然指數在數學上的定義............................... 232
☆ 8.4 指數運算定律 ....................................... 233
☆ 8.5 指數函數的特性曲線................................... 235
☆ 8.6 這個e=2.71828 是什麼意思？........................... 236
☆ 8.7 「對數」是什麼意思？................................. 238
☆ 8.8 用白話文講「對數」................................... 240
☆ 8.9 【典範範例】集錦...................................... 241
【★★★典範範例8-01】................................. 241
【★★★典範範例8-02】................................. 243
【★★★典範範例8-03】................................. 244
【★★★典範範例8-04】................................. 246
【★★★典範範例8-05】................................. 247
【★★★★典範範例8-06】 [ 研究與分析]................. 249
【★★★★典範範例8-07】 [ 研究與分析]................. 251
【★★★★典範範例8-08】 [ 研究與分析]................. 253
【★★★★典範範例8-09】 [ 研究與分析]................. 256
【★★★★典範範例8-10】 [ 研究與分析]................. 257

第9章 用白話文講指數與對數的微分 260
☆ 9.1 再用白話文講「指數」................................. 262
☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義............................. 264
☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤......................... 266
☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍........................... 267
☆ 9.5 指數微分與符號法則................................... 269
☆ 9.6 什麼是對數函數 ....................................... 270
☆ 9.7 如何口語化數學 ....................................... 271
☆ 9.8 口語化的「對數」函數................................. 272
☆ 9.9 奇妙的對數微分 ....................................... 277
☆ 9.10 【典範範例】集錦...................................... 279
【★★★典範範例9-01】[ 研究與分析]..................... 279
【★★★典範範例9-02】................................. 282
【★★★典範範例9-03】................................. 284
【★★★典範範例9-04】................................. 285
【★★★典範範例9-05】................................. 288
【★★★★典範範例9-06】[ 研究與分析]................... 290

第10章 積分究竟是什麼？ 294
☆ 10.1 積分的究竟思維 ....................................... 296
☆ 10.2 積分在數學上的意義................................... 298
☆ 10.3 積分有什麼用呢？..................................... 302
☆ 10.4 【典範範例-1】介於直線之間的面積..................... 305
☆ 10.5 【典範範例-2】介於曲線之間的面積..................... 310
☆ 10.6 積分的進階思維 ....................................... 313
☆ 10.7 多重積分的意義 ....................................... 316
☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？........................... 319
☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？....................... 322
☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？....................... 324
☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積................................. 327
☆ 10.12 【典範範例】集錦...................................... 329
【★★★典範範例10-01】................................ 329
【★★★典範範例10-02】................................ 331
【★★★典範範例10-03】................................ 332
【★★★典範範例10-04】................................ 334
【★★★典範範例10-05】................................ 335
【★★★典範範例10-06】................................ 337

第11章 用白話文講對數與指數的積分 340
☆ 11-1 什麼是指數與自然指數................................. 342
☆ 11.2 指數的基本運算與積分................................. 343
☆ 11.3 還是一條不死的龍..................................... 344
☆ 11.4 口語化的指數與對數關係............................... 347
☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義........................... 350
☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式............................. 352
☆ 11.7 【典範範例】集錦...................................... 353
【★★★典範範例11-01】[ 研究與分析].................... 353
【★★★典範範例11-02】[ 研究與分析].................... 356
【★★★典範範例11-03】[ 研究與分析].................... 358
【★★★典範範例11-04】[ 研究與分析].................... 360
【★★★典範範例11-05】[ 研究與分析].................... 362
【★★★★典範範例11-06】[ 研究與分析].................. 364
【★★★★典範範例11-07】[ 研究與分析].................. 367
【★★★★典範範例11-08】[ 研究與分析].................. 369
【★★★★典範範例11-09】[ 研究與分析].................. 371
【★★★★典範範例11-10】[ 研究與分析].................. 373
【★★★★典範範例11-11】[ 研究與分析].................. 375

第12章 卓越的三角函數積分 378
☆ 12.1 三角學是大自然的祕密................................. 380
☆ 12.2 從天文到地理 ....................................... 381
☆ 12.3 三角函數的數值觀念................................... 382
☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品........................... 384
☆ 12.5 三角函數的積分式..................................... 386
☆ 12.6 【典範範例】集錦...................................... 387
【★★★典範範例12-01】[ 研究與分析].................... 387
【★★★典範範例12-02】[ 研究與分析].................... 390
【★★★★典範範例12-03】[ 研究與分析].................. 393
【★★★★典範範例12-04】[ 研究與分析].................. 396
【★★★★典範範例12-05】[ 研究與分析].................. 400
【★★★★典範範例12-06】[ 研究與分析].................. 406
【★★★★典範範例12-07】[ 研究與分析].................. 409

第13章 特異的奇函數與偶函數 412
☆ 13.1 不可不知的函數對消作用............................... 414
☆ 13.2 奇函數的定義 ....................................... 415
☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？.......................... 416
☆ 13.4 偶函數的定義 ....................................... 417
☆ 13.5 由一半而推知另一半................................... 419
☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能............................. 421
☆ 13.7 【典範範例】集錦...................................... 424
【★★★典範範例13-01】[ 研究與分析].................... 424
【★★★典範範例13-02】[ 研究與分析].................... 427
【★★★★典範範例13-03】[ 研究與分析].................. 429
【★★★★典範範例13-04】[ 研究與分析].................. 430
【★★★★典範範例13-05】[ 研究與分析].................. 433

第14章 高階的面積分與體積分 436
☆ 14.1 積分的進階思維 ....................................... 438
☆ 14.2 不規則平面面積之處理................................. 442
☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積................................. 444
☆ 14.4 如何計算物體之體積................................... 446
☆ 14.5 圓盤法(circular-disk method)......................... 449
☆ 14.6 柱殼法(cylindrical shell method)..................... 453
☆ 14.7 【典範範例】集錦...................................... 456
【★★★典範範例14-01】................................ 456
【★★★典範範例14-02】................................ 457
【★★★典範範例14-03】................................ 459
【★★★典範範例14-04】................................ 461
【★★★典範範例14-05】................................ 463
【★★★典範範例14-06】................................ 465
【★★★典範範例14-07】................................ 467
【★★★典範範例14-08】................................ 469
【★★★★典範範例14-09】.............................. 471

第15章 進入虛幻世界 474
☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？............................. 476
☆ 15.2 在實數中無解的問題................................... 478
☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案..................... 479
☆ 15.4 宇宙中最大的數系..................................... 481
☆ 15.5 複數平面的運算 ....................................... 483
☆ 15.6 複變數的微分 ....................................... 485
☆ 15.7 複變數的積分 ....................................... 486
☆ 15.8 【典範範例】集錦...................................... 487
【★★★典範範例15-01】................................ 487
【★★★典範範例15-02】................................ 487
【★★★典範範例15-03】................................ 488
【★★★典範範例15-04】................................ 489
【★★★★典範範例15-05】[ 研究與分析].................. 490
【★★★★典範範例15-06】[ 研究與分析].................. 491
【★★★★典範範例15-07】[ 研究與分析].................. 493

第1章 緒 論 18
☆ 1.1 超越的思維 ........................................ 20
☆ 1.2 不要用計算來困住自己.................................. 23
☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？.................................. 25
☆ 1.4 近代文明的基石 ........................................ 28
☆ 1.5 偉大的芝諾詭論(Paradoxes of Zeno ).................... 30
☆ 1.6 金字塔的神奇 ........................................ 32
☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代........................ 33
☆ 1.8 把數學口語化 ........