決斷的演算：預測、分析與好決定的11堂邏輯課（暢銷紀念精裝版）

▎說服醫界使用葉克膜的演算法（摘錄）

1932年到1972年間，美國阿拉巴馬州麥肯郡數百名非裔梅毒患者，參與了美國公共衛生服務長達四十年的「塔司基吉梅毒研究」（Tuskegee Syphilis Study），在醫療專業人員安排下刻意不接受治療。1966年，公共衛生服務人員彼得．巴克斯頓（Peter Buxtun）提出抗議，1968年再次提出，但直到他向媒體揭露這次事件，並於1972年7月25日刊登在《華盛頓明星報》（Washington Star）上，次日又成為《紐約時報》頭版消息之後，美國政府才中止這項研究。 在大眾強烈譴責和美國國會舉行聽證會之後，美國政府開始著手將醫學倫理的原則和標準形式化。在馬利蘭州鄉間貝爾蒙特（Belmont）會議中心舉行的委員會，於1979年提出貝爾蒙特報告。這份報告制訂醫學實驗的道德實施方式，因此像塔司基吉實驗這樣，明顯違反醫療專業人員對患者之責任的惡劣實驗，未來不可能再度出現。不過這份報告也表示，還有許多例子很難畫出明確界線。報告中指出：「希波克拉底的格言『不傷害』一直是醫學倫理的基礎原則。（生理學家）克勞德．伯納（Claude Bernard）將它推展到研究領域，並指出即使其他人可能受益，也不應該傷害任何人。然而即使要避免傷害，也必須學習有害的事物，而在獲得這項資訊的過程中，或許就會有人受到傷害。」 因此貝爾蒙特報告承認，依據所知來採取行動和取得更多知識之間確實有矛盾，但並未提出解決方法。此外報告也明確指出，獲取知識往往價值極高，因此可以暫時忽視一般醫學倫理的某些部分。報告指出，新藥品和療法的臨床試驗即使已經盡可能減少風險，但通常仍然必須承擔傷害某些患者的風險。 行善原則並非永遠明確而毫不含糊。舉例來說，可能對研究對象造成風險，但短期內看不出直接助益的兒童疾病研究，仍是難以取捨的道德問題。有人認為不應准許進行這類研究，有人則指出，這樣的限制將阻礙未來可能為兒童帶來極大助益的研究。同樣地，正如各類難題一樣，行善原則涵括的各種主張可能互相衝突，使選擇變得更加困難。 在貝爾蒙特報告發表至今這數十年間，出現了一個基本問題：臨床試驗的標準進行方式，是否真能降低病患的風險？傳統臨床試驗把患者分成若干組，每一組在研究時間內接受不同治療（除非遇到例外狀況，否則試驗不會提早結束）。這種程序著重在明確解決「哪種治療方式較好」的問題，而非在試驗中為每位患者提供最好的治療。因此它的運作方式和網站的A/B測試完全相同，一部分人在實驗中獲得的是較差的體驗。然而醫師和科技公司一樣，需要在實驗進行時蒐集關於哪個選項較佳的資訊。這項資訊不僅可以造福未來的患者，也同樣嘉惠現在的病人。 尋找網站最佳配置的實驗影響數百萬美元，但尋找最佳治療方法的臨床試驗則直接關係到生死。現在有越來越多醫師和統計專家認為，目前的試驗方法不對：我們應該把選擇治療方式當成多臂土匪問題，試著在實驗進行中就為患者提供更好的治療。 1969年，現在任職於哈佛大學的生物統計學家馬文．紀倫（Marvin Zelen）提議進行「適應式」試驗。他提出的構想是隨機式「贏錢下注」演算法。這種方式跟「贏錢繼續玩，輸錢換一台」相仿，但使用某種治療方法的機率隨成功而提高，且隨失敗而降低。在紀倫提出的程序中，起初在帽子裡放進兩個球，每個球代表一種治療方式。隨機從帽子取出一個球（然後放回去），讓第一位患者接受這種治療方式。如果選擇的治療方法成功，就多放一個代表這種治療方式的球。因此現在帽子裡有三顆球，兩個代表成功的治療方式。如果這次治療失敗，就多放一個代表另一種治療方式的球，讓它更容易抽中。 十六年後，紀倫的演算法首次運用在臨床試驗上，這項研究大膽地以體外循環維生系統（也就是「葉克膜」）治療嬰兒呼吸衰竭。葉克膜是密西根大學的羅伯．巴雷特（Robert Bartlett）在1970年代發明的，這套系統把流向肺的血液攔截下來轉到體外，以機器使血液與氧氣結合後再送回心臟。這個方法頗為大膽，本身就有相當風險（包括可能造成栓塞），不過在沒有其他選擇時不失為一個方法。1975年，加州橘郡一名新生女嬰情況十分危急，連呼吸器都無法供應足夠的氧，最後靠葉克膜挽救了生命。當年這名女嬰現在四十多歲，而且已經結婚生子。但葉克膜技術和程序在問世初期，被認為實驗性質極高，針對成人進行的初期研究更顯示，它不比傳統療法來得優異。 1982年至1984年，巴雷特和密西根大學的同事，針對呼吸衰竭的新生兒進行了一項研究。他們很清楚自己想解決「阻攔未確證但有機會挽救生命的治療方法的道德問題」，而且「不想單純為了符合傳統隨機分派技術，而不讓另一方患者接受挽救生命的治療」，因此他們轉而採用紀倫的演算法。這個策略後來造成一名嬰兒被分派使用傳統治療方法，最後死亡，另外有連續11名嬰兒被分派使用葉克膜治療，最後全部存活。正式研究結束之後，1984年四月至十一月間，另有10名嬰兒符合使用葉克膜治療的標準，其中有8名接受葉克膜治療，而且全部存活，2名以傳統方式治療，後來全都死亡。 這些數字相當引人注目，但密西根大學的研究結束後不久，葉克膜又陷入爭議。試驗中接受傳統治療的患者太少，明顯偏離標準研究方法，而且程序本身的侵入性相當高，又有潛在風險。這篇論文發表之後，哈佛公共衛生學院生物統計學教授吉姆．魏爾（Jim Ware）和醫學院同事仔細檢視試驗數據，認為這些資料「無法判定葉克膜不需進一步研究就可常態性使用」。因此魏爾等人設計了第二次臨床試驗，目的依然是獲取知識，並以比較和緩的方式有效地治療患者。 他們隨機指定患者採用葉克膜或傳統治療方法，直到其中一組的死亡人數到達預先設定的數字，此後再讓參與研究的所有患者，接受兩種治療方式中效果較好的一種。 在魏爾研究的第一階段中，10名接受傳統療法的嬰兒中有4名死亡，但接受葉克膜治療的9名嬰兒全部存活。4名嬰兒死亡後，試驗進入第二階段，讓20名患者全部接受葉克膜治療，其中有19名存活。魏爾等人至此不再懷疑，並且斷定「出於道德，很難為進一步隨機研究辯護」。 但在魏爾的研究之前，就已經有人公開提出這個看法，世界頂尖的多臂土匪問題專家唐．貝瑞（Don Berry）也是其中一人。在魏爾發表於《統計科學》期刊上的論文旁，貝瑞在評語中指出：「魏爾的研究隨機指定患者接受非葉克膜療法是不道德的……就我看來，魏爾根本不應該進行這樣的研究。」 但對整個醫療界而言，連魏爾的研究也不是最終結果。1990年代，醫學界又進行一項葉克膜研究，範圍涵蓋英國近兩百名嬰兒。這次研究沒有採用適應式演算法，而是採取傳統方法，隨機把嬰兒分成人數相同的兩組。研究人員說明這次實驗的理由，是各方對證據的解讀不同，所以葉克膜的效用「仍有爭議」。這次研究顯示，不同治療方式在英國的差異，比起美國的兩次研究來得小，但結果確實「符合以往的初步發現，葉克膜支持方式可降低死亡風險」。這個結果付出了多少代價呢？傳統治療組的嬰兒死亡人數，比接受葉克膜治療的嬰兒多出24名。 難以接受適應式臨床試驗的結果，看來似乎難以理解。然而統計學於二十世紀初問世後，對醫學造成相當大的影響。以往每出現一種新的治療方法，醫師都必須說服彼此，後來才有明確的指導原則界定證據是否足以採信。接受標準統計方法可能打破這種平衡，至少會造成短期不安。 葉克膜爭議之後，貝瑞從明尼蘇達大學統計系，轉職到休士頓德州大學安德森癌症中心，運用研究多臂土匪問題開發的方法，針對各種癌症治療方式設計臨床試驗。儘管他仍然大力反對隨機臨床試驗，但也有人支持。近年來，他支持的概念終於開始成為主流。2010年二月，美國食品藥物管理局（FDA）發行《藥物與生物製劑之適應式設計臨床試驗》指南60，儘管FDA一向堅守自己信任的選擇，但這份文件表示，該局終於願意開發其他作法。

▎說服醫界使用葉克膜的演算法（摘錄）

1932年到1972年間，美國阿拉巴馬州麥肯郡數百名非裔梅毒患者，參與了美國公共衛生服務長達四十年的「塔司基吉梅毒研究」（Tuskegee Syphilis Study），在醫療專業人員安排下刻意不接受治療。1966年，公共衛生服務人員彼得．巴克斯頓（Peter Buxtun）提出抗議，1968年再次提出，但直到他向媒體揭露這次事件，並於1972年7月25日刊登在《華盛頓明星報》（Washington Star）上，次日又成為《紐約時報》頭版消息之後，美國政府才中止這項研究。 在大眾強烈譴責和美國國會舉行聽證會之後，美國政府開始著...

▎前言：為什麼我們能跟電腦學決策？

想像你正在舊金山找房子。這城市可說是全美最難找到房子的地方，有繁榮的高科技業，加上嚴格的分區使用法規，因此房價跟紐約一樣昂貴，很多人認為甚至不輸給紐約。新物件出現沒多久就下架，房地產公開說明會人山人海，往往必須私下先塞訂金支票給屋主才買得到。

由於市場如此熱絡，很難容許理性消費者先蒐集資料，深思熟慮後才下決定。四處閒逛或透過網路買屋的人，可以比較許多選擇後再下決定，但想在舊金山買房子的人，要不就買下眼前這棟房子，拋下其他選擇，要不就馬上走人，不再回頭。

假設有一段時間，為了簡化狀況，你只想盡可能提高買到最好房子的機率。你的目標是把在「錯過好機會」和「說不定還有好機會」之間徘徊的機率降到最低。你立刻發現自己陷入兩難：如果沒有判斷基準，要怎麼知道某棟房子是不是最佳選擇？但如果看過的房子不夠多，又怎麼知道判斷基準在哪？你取得的資訊越多，越能掌握真正的好機會，但在此之前錯過好機會的機率也越高。

那麼你該怎麼做？倘若蒐集資訊反而可能不利，那麼該如何做出明智決定？這種狀況十分殘酷，簡直可以說是矛盾。

大多數人面臨這類問題時，直覺上通常認為必須在取捨間取得某種平衡，得看過夠多的房子才能建立標準，再依據標準找出想要的房子。這種權衡概念非常正確，但大多數人沒辦法明確說出平衡點在哪。所幸這確實有明確答案：

是37％。

如果你希望達成買到最佳房子的最佳機率，請把總時間的37％拿來看房子（如果打算花一個月找房子，那就是十一天）。把清單留在家裡，單純用來設定標準。但是花了37％的時間之後，就要準備出手，只要一發現比已經看過的房子更好的選擇就買下來。這不只是尋找和放棄之間的平衡點，也是經過驗證的最佳解決方案。

我們之所以知道答案，是因為找房子屬於數學中的「最佳停止問題」。37％法則定義出一連串解答這類問題的簡單步驟，電腦科學家稱之為演算法。其實最佳停止問題可以用來解決生活中的許多狀況，找房子只是其中一例。生活中我們經常遇到選擇或放棄一連串選項的情形，比方說：要在停車場繞幾圈才找得到車位？投資高風險事業要多久才會開始回收？賣房賣車時要忍耐多久才能等到更好的價錢？

還有一種更難抉擇的狀況亦屬此類問題，那就是約會。最佳停止是連續單偶制的科學原理。

簡單的演算法不僅可協助你找到好房子，還適用於遭遇最佳停止問題的各種狀況。

我們每天都在跟這類問題纏鬥不休（只不過比起停車，詩人花比較多墨水描述愛情的磨難），有些狀況也真的很折騰。但其實沒必要這麼糾結，有些問題數學已經解決了。心急如焚的房客、駕駛人和忐忑不安的求婚者，其實都沒必要煩惱；他們不需要心理治療師，只需要演算法。心理治療師可以教他們，如何避免過於衝動和過度思考；演算法則能明確告訴他們，這個平衡點就是37％。

＊＊＊＊＊＊

由於我們生活的空間和時間都有限，每個人都遭遇到一類問題。在一天或十年中，我們應該做什麼、或應該不做什麼？應該容忍什麼程度的混亂？什麼樣的秩序算是過度？新事物和心頭好各佔多少比例，才能使生活最讓人感到滿足？

似乎只有人會面臨這類問題？其實不然。半個多世紀以來，電腦科學家一直在探究這類日常困境，有時還試圖解決，像是：處理器該如何分配它的「注意力」，以最少時間執行使用者要它做的工作，同時盡量少做白工？它什麼時候應該轉而處理不同工作，一開始又應該接受幾項任務？怎麼運用有限的記憶體資源最好？它應該蒐集更多資料，或是依據已有的資料採取行動？

人類要把握每一天已經很不容易，電腦卻能輕鬆寫意地把握每一毫秒。電腦的工作方式可以帶給我們許多啟發。

討論演算法對人類生活的助益，似乎有點奇怪。說到「演算法」，許多人想到的是大數據、大政府和大企業神祕難解的算計。這類算計在現代世界基礎建設中的比重越來越大，但稱不上實用智慧或人生指南。不過演算法其實是解決問題的一連串步驟，而且範圍比電腦更廣，歷史也更悠久。早在機器使用演算法之前，人類就已經開始使用它們了。

（中略）

本書將探討人類演算法的設計概念，也就是：針對每天面臨的挑戰尋找更好的解決方案。把電腦科學解決問題的方法套用到日常生活上，會影響許多層面。首先，演算法能提供實用且具體的建議，協助解決特定問題。最佳停止問題告訴我們，何時該大膽跳過、何時又該留意機會。開發與利用取捨告訴我們，如何在嘗試新事物和享受喜愛的事物間找到平衡點。排序理論教我們如何（以及是否應該）整理辦公室。快取理論教我們如何把物品收進櫥櫃。排程理論則教我們如何安排工作。

到了下一個階段，電腦科學告訴我們一套字彙，用來了解這些領域中更深入的原理。卡爾．薩根（Carl Sagan）曾說：「科學不只是知識，更是一種思考方式。」即使是混亂得難以進行嚴謹數值分析或有現成答案的狀況，運用直覺和化簡問題後加以思考所得到的概念，也能讓我們了解關鍵問題和獲得進展。

更廣泛地說，以電腦科學的眼光看問題，有助於我們了解人類心智的特質、合理性的意義，並且探究最古老的問題：人類如何求生。把認知當成「解決環境造成的基本運算問題的方法」仔細探討，可能徹底改變我們對人類理性的看法。

就算電腦科學真能告訴我們如何思考以及該怎麼做好了，但我們想照著做嗎？看看科幻片裡的人工智慧和機器人，你該不會想要像它們那樣過活吧？說到研究電腦內部運作可能教我們如何思考、下決定、該相信什麼以及怎麼做好，許多人不只會把它想得太簡單，實際上是會想錯方向。

部分原因是，說到電腦，我們想到的是冰冷的機械化確定性系統——機器套用死板的演繹邏輯，點滴不漏地羅列所有選擇，琢磨出正確答案，無論必須思考得多久、多辛苦。的確，最早構思出電腦的人就希望電腦是這樣：艾倫．圖靈（Alan Turing）定義中的運算就像數學家一樣，仔細執行一連串冗長運算，得出萬無一失的正確解答。

因此說來你或許會驚訝──現代電腦面臨難題時，其實不是這麼做的。當然，直截了當的計算對現代電腦而言輕而易舉。跟人類交談、修復損壞的檔案或下贏一盤圍棋等，這類沒有明確規則、缺少必要資料，或是必須考慮多如繁星的可能才能找出正確解答的問題，才是電腦科學最大的挑戰。研究人員為了解決極端困難的問題而開發的演算法，已經使電腦不再需要依賴繁重的計算。相反地，執行實際工作必須接受機率，以時間換取精確性，還要懂得運用近似法。

電腦解決真實世界問題的能力越來越強，不僅提供演算法給人運用到生活上，還定下更好的標準讓我們得以比較人類認知本身。近十幾二十年，行為經濟學主張：人類既不理性又容易犯錯，主因是人類大腦結構缺陷重重且各不相同。這個妄自菲薄的說法日益流行，但仍有些問題有待探討。舉例來說，為什麼即使是四歲小孩，執行視覺、語言和因果推論等認知任務時，

依然能超越超級電腦？

電腦科學衍生的日常問題解決方案，則對人類心智提出完全不同的看法。它們認為生活本就是困難重重，人們犯下的錯誤透露的，是問題本身的困難之處，而非人類大腦不可靠。以演算法的方式思考世界，了解問題的基本結構，以及解決方案的特質，能讓我們了解人類其實已經很了不起，同時更了解我們犯的錯。

事實上，人類經常面對電腦科學家傷透腦筋的許多難題。我們經常得克服不確定性、時間限制、資訊不足和變動快速的世界，做出決定。在某些狀況下，即使最尖端的電腦科學，也設想不出效率極高又永遠正確的演算法。對於某些狀況，或許根本沒有這樣的演算法。

然而即使在尚未找到完美演算法的領域，一代代電腦科學家和棘手真實世界問題纏鬥多年後，也得出了許多心得。這些得來不易的規則違反我們心目中的合理性，聽起來也不像數學家描述世界的那些條理分明的嚴密規則。這些規則說：不一定要考慮所有選擇，不一定非得追求看來最好的結果，偶爾可以製造混亂。看到紅綠燈就等一下。相信直覺，別思考太久。放鬆，拋

個硬幣。寬恕，記住這個教訓就行。誠實對待自己。

（中略）

今天，演算法設計不僅必須藉助電腦科學、數學和工程，還要藉助統計學和作業研究等。我們思考為機器設計的演算法與人類心智的關聯時，也需要參考認知科學、心理學、經濟學和其他學科。（中略）我們將探討電腦和人類面臨的最大挑戰：如何運用有限的空間、有限的時間、有限的注意力、未知的事物、不完整的資訊，以及無法預知的未來；如何輕鬆而自信地達成這個目標；以及如何在此同時與其他目標相同的人溝通。

最後，我們不僅將深入了解各類日常問題、以全新方式觀察人們遭遇的各種困境背後的美麗結構、認識人類和電腦的解決方式融合程度極高，還將獲得更深刻的東西：我們會有描述周遭世界的新語彙，並且有了機會重新認識自己。

▎前言：為什麼我們能跟電腦學決策？

想像你正在舊金山找房子。這城市可說是全美最難找到房子的地方，有繁榮的高科技業，加上嚴格的分區使用法規，因此房價跟紐約一樣昂貴，很多人認為甚至不輸給紐約。新物件出現沒多久就下架，房地產公開說明會人山人海，往往必須私下先塞訂金支票給屋主才買得到。

由於市場如此熱絡，很難容許理性消費者先蒐集資料，深思熟慮後才下決定。四處閒逛或透過網路買屋的人，可以比較許多選擇後再下決定，但想在舊金山買房子的人，要不就買下眼前這棟房子，拋下其他選擇，要不就馬上走人，不再回頭。

假設有...

前言：為什麼我們能跟電腦學決策？
演算法的本質是「解決問題的一連串步驟」，我們面臨的許多挑戰跟電腦科學家一樣都是：如何運用有限的空間、時間和注意力，因應未知事物和不完整的資訊。本書釐清這些難題的數學架構，闡述工程師如何教電腦發揮最大效用，並了解人腦如何克服相同限制。作者訪問了近五十年來最知名演算法的設計者，談談他們怎麼將所學用於生活。人類和電腦的解決方式融合程度極高，電腦科學不只能協助我們簡化問題以取得進展，甚至能提供具體的解決方法。

第一章　最佳停止點——什麼時候該見好就收？
盡量羅列選項，小心權衡後選出最好的一個，才是理性決策？實際上由於時間有限，決策過程最重要的面向是：何時應該停止。聘人、租屋、找車位、賣房子，以及尋覓伴侶和投資獲利時見好就收等，都是要在選項逐一出現時做出最佳選擇，它們真正困擾人的是可以考慮的選項有多少。依各狀況條件不同（比如能否吃回頭草、是否有明確標準），這章解釋了37％法則、思而後行法則、臨界值法則等，教你如何避免太早決定或找太久，何時該降低或提高標準以及標準該調整多少……

第二章　開發與善用——嘗試新歡？還是固守舊愛？
開發是蒐集資料，它能提高發現最佳選擇的機會；善用則是運用現有資訊，取得已知的良好結果，兩者各有利弊。人們大多把決策視為彼此孤立，每次分別尋找期望值最高的結果。其實決策極少是孤立的，如果你思考的是日後面對相同選項時要怎麼做，那麼權衡是要開發還是善用，就非常重要。本章以電腦科學中最能體現這兩者之矛盾，名稱取自吃角子老虎機的多臂土匪問題，闡述應該如何隨時間而改變目標，並且說明為何合理的行動過程多半未必會選擇最好的目標。

第三章　排序——依照順序排列
排序對於處理各種資訊都十分重要。電腦科學家經常要權衡排序和搜尋兩者，這項權衡的基本原則是：花心力排序資料，為的是省下日後花費心力找資料。於是這個問題變成：如何事先評估資料未來的用途？電腦科學指出，混亂和秩序造成的危險都可以量化，它們的成本都能以「時間」這個基準來呈現。Google搜尋引擎之所以強大，其實是拜預先排序之賜；但對於另外一些狀況，保持混亂往往更有效率。另外討論演算法的最差情況表現（以排序而言是最差完排時間），可以讓我們確定某個程序能在期限內完成，運動賽程的排定便是一例。

第四章　快取——忘掉就算啦！
你的收納問題其實與電腦管理記憶體時面臨的挑戰類似：空間有限，要如何既省荷包又省時間？快取的概念是把常用資料放在手邊備用，快取裝滿時為了騰出空間放新資料，得剔除一些舊資料——但剔除哪些好呢？電腦科學家探究了隨機剔除、先進先出（先剔除最舊的）以及最近最少使用法等，甚至發展出能預測未來並執行已知最佳策略的演算法。這方面的研究啟發了亞馬遜書店的「預測包裹寄送」專利，還扭轉了心理學家對於人類記憶的看法。

第五章　排程——優先的事情優先處理
重要且緊急、重要但不緊急、不重要但緊急、不重要但不緊急……，時間管理大師總教人照這順序處理事情。但電腦科學家會要你先搞清楚「用什麼標準來評量成果」。是在期限內完成最重要？還是盡量縮短讓客戶等待的時間？抑或劃掉待辦清單上越多項目越好？不同的評量標準得採用不同的作業策略。本章還用電腦的「上下文交換」探討讓其他工作插隊的代價，用「往復移動」提醒忙到變成在空轉的徵兆；並告訴你如何在反應能力和處理能力間取捨，為何有時完成工作的最佳策略反而是慢下來。

第六章　貝氏法則——預測未來
十八世紀的英國，賭博這個領域不僅深深吸引傑出數學家，也吸引了牧師湯瑪斯．貝斯，他由於研究彩券的中獎率，而對於「在不確定下進行推測」的歷史帶來重大影響。他認為由過去的假設狀況進行正向推理可提供基礎，讓我們逆向推出最可能的答案。其他科學家繼續研究預測事情的各種方法，像是：如何把各種可能假設狀況濃縮成單一期望值、根據事件類型提供適當的事前機率。其實我們腦中已儲存許多精確的事前分布，因此常可由少量觀察結果做出不錯的預測，換句話說小數據其實是偽裝的大數據。

第七章　過度擬合——少，但是更好
談到思考，我們往往覺得想得越多越好：列出的優缺點越多，做出的決定越好；列出的相關因素越多，越能精準預測股價。實際上統計模型倘若太過複雜，使用過多參數，會太容易受我們取得的資料影響，而可能隨參與者不同而出現大幅差異，這就是過度配適。機器學習的一大重要事實是：考慮因素較多、比較複雜的模型，未必比較好。這章演示了過度配適如何扭曲我們對資料的解讀，點出日常生活中俯拾皆是的過度配適事例，並且教你如何藉由交叉驗證等方法揪出過度配適（像是怎麼分辨真正的人才和僅是懂得揣摩上意的員工？）並且對抗它。

第八章　鬆弛——放鬆點，不求完美才有解
過去幾十年來電腦科學家發現，無論使用多快的電腦，或程式設計得多厲害，有一類問題就是不可能找出完美解方。面對無法解決的挑戰時，你毋須放棄，但也別再埋頭苦幹，而該嘗試第三種作法。電腦科學會界定問題是「可解」還是「難解」，遇到難解問題時會先「放鬆問題」：也就是先去除問題的某些限制，再著手解決它。最重要的放鬆方法比如限制鬆弛法、連續鬆弛法，以及付出點代價、改變規則的拉氏鬆弛法……

第九章　隨機性——什麼時候該讓機率決定
隨機看似和理性相反，代表我們放棄這個問題，採取最後手段。你若是知道隨機性在電腦科學中扮演多吃重的角色，可能會非常驚訝。面對極為困難的問題時，運用機率可能是審慎又有效的解決方法。隨機性演算法未必能提出最佳解，但它不用像確定性演算法那麼辛苦，只要有計畫地丟幾個硬幣，就能在短短時間內提出相當接近最佳解的答案，它解決特定問題的效果，甚至超越最好的確定性演算法。這章將要告訴你依靠機率的時機、方式，以及仰賴的程度。

第十章　網路——我們如何互通聲息
人類互通聲息的基礎是協定，也就是程序和預期的共通慣例，例如握手、打招呼和禮貌，以及各種社會規範。機器間的聯繫也不例外。這類協定是微妙但長久存在的焦慮來源。我前幾天傳了個訊息，從何時開始我會懷疑對方根本沒收到呢？你的回答怪怪的，我們之間是不是有什麼誤會？網際網路問世後，電腦不僅是溝通管道，也是負責交談的聯絡端點，因此它們必須解決本身的溝通問題。機器與機器間的這類問題以及解決方案，很快便成了我們借鏡的對象。

第十一章　賽局理論——別人是怎麼想的？
賽局理論廣泛影響經濟學和社會科學領域，然而除非賽局參與者找得到奈許均衡，它的預測能力才會造成影響，但是電腦科學家已經證明，純粹尋找奈許均衡是難解問題……
另外傳統賽局理論有個見解：對一群依自身利益採取理性行動的參與者而言，「均衡」或許不是最好的結果。演算法賽局理論依採用了此見解並加以量化，創造出「自主行為代價」這個度量，結果發現某些賽局中自主行為的代價其實沒有很高，這意謂著該系統不論細心管理或放任不管都差不多。

結語：運算的善意
對於人類某些問題，如今已經找到解決的演算方法；即使尚未得到所需結果，使用最佳演算法也會讓人寬心。此外電腦科學還能協助我們，清楚劃分哪些問題有明確解答、哪些問題則無，從而選擇要面對什麼——包括自己要面對什麼，以及要讓其他人面對什麼，其原則便是運算的善意。現今的電腦做的，並非「盡量羅列選項，找出最好的一個」。有效的演算法會做出假設，偏向選擇較簡單的解答、權衡誤差代價和延遲代價，接著冒險一試。這些作法不是讓步，它們本身就是理性的方法。

前言：為什麼我們能跟電腦學決策？
演算法的本質是「解決問題的一連串步驟」，我們面臨的許多挑戰跟電腦科學家一樣都是：如何運用有限的空間、時間和注意力，因應未知事物和不完整的資訊。本書釐清這些難題的數學架構，闡述工程師如何教電腦發揮最大效用，並了解人腦如何克服相同限制。作者訪問了近五十年來最知名演算法的設計者，談談他們怎麼將所學用於生活。人類和電腦的解決方式融合程度極高，電腦科學不只能協助我們簡化問題以取得進展，甚至能提供具體的解決方法。

第一章　最佳停止點——什麼時候該見好就收？
盡量羅列選項，...