文明與數學：從古代文明看人類數學的起源與發展

名人推薦：建國中學校長 徐建國

臺灣數學史教育學會理事長 洪萬生

北一女中數學科老師 廖紹棠

雖然古代許多偉大建築與文明遺產，其建造方法與過程至今仍是謎，但經研究都與精密的數學計算有關，而本書就是「數學為科學之母」最佳代言者。

──建國中學校長 徐建國

西元前四世紀，埃及亞歷山大港（Alexandria）的王宮裡，托勒密一世（Ptolemy I Soter）坐在王位上，神情有些緊張。這個人是誰呢？他是曾經與亞歷山大大帝一同遠征各地，從非洲大陸到東方的印度都創下輝煌戰果的一名將軍。如今，他搖身成為古埃及第三十二王朝的第一位法老王。但是，是什麼事讓一國之尊的他坐立不安呢？

原來，他的老師很快就要來為他上課了。他就算具備國王的權力，也無法推掉這門課。法老王輕輕地嘆了一口氣。這時，遠處漸漸傳來老師的腳步聲。王位上，這位已有一把年紀的學生作了個深呼吸，好使自己鎮靜。他的老師抱著一疊書卷走了過來，這位老師就是《幾何原本》的作者──歐幾里德。

在書記官阿美斯撰寫紙草書的一千多年之後，數學的發展中心已經從埃及轉移至地中海沿岸地區。古希臘人學習了古埃及與巴比倫的書記官所運用的數學原理，漸漸將富含經驗性與實用性的前代數學轉化為一種論證性的語言，強調「證明」（mathematical proof）的過程與運用「演繹推理」。「依照既有解法而解題」，以及「釐清命題所蘊含的普遍原理」，這兩種作法的態度極為不同。古希臘數學正是在這樣的轉折之中露出曙光的，而歐幾里德的《幾何原本》便是上述希臘思維體系的代表之作。

《幾何原本》也是當時統治者所必須閱讀的數學課本。托勒密一世身為一個君王，除了要學習數學以外，也必須學習邏輯學、倫理學與哲學。對一個統治者來說，數學是特別重要的科目。但是，他為何一定要學習這些令人感到陌生的圖形呢？

不過，現在還不是翻開《幾何原本》第一頁的時候。在此之前，我們要先來認識一位稱得上是古希臘數學催生者的人，那就是出生於薩摩斯島（Samos）的畢達哥拉斯。

世界是由什麼構成的

畢達哥拉斯是與釋迦摩尼、孔子、老子同一時代的人，他除了是預言家與神秘學派成員，據說也是哲學家泰利斯（Thales of Miletus）的學生。雖然他是數學史上不可不提的一位人物，他的生命經歷與事蹟卻鮮為人知。畢達哥拉斯曾在埃及與巴比倫等地遊歷二十多年，後來回到故鄉薩摩斯島。當時的古希臘知識分子個個都迫切想找出事物背後潛藏的原理，畢達哥拉斯便是為了解開「世界由什麼構成的」而踏上那段漫長的旅程。

埃及的沙漠上，矗立著比希臘帕德嫩神殿還要早兩千年就已興建的巨大建築──金字塔。不過，畢達哥拉斯所見到的景象與今日的景象有所不同，金字塔外牆的石塊在陽光照射下散發出耀眼的光芒。畢達哥拉斯身為一個希臘人，他的觀察重點自然是與埃及人不同。沒錯，他看的是眼前那座巨大的金字塔所顯現的圖形。他凝望著金字塔許久，接著在地上畫出一個直角三角形。古埃及人早已得知直角三角形三個邊長的比例是 3:4:5。

前方金字塔所呈現的大直角三角形與地上的小直角三角形是相同的。但是，這樣的比例為何會構成一個直角三角形呢？

在巴比倫，我們可以見到一項更驚人的發現。

圖2是一塊出土自伊拉克森凱勒（Senkereh）的泥版，上頭刻著許多可構成直角三角形的數字。將上面的楔形文字轉換為現代阿拉伯數字，分別為 119、169、3367、4825⋯⋯，能夠構成直角三角形的數字除了 3、4、5 以外，居然還有這麼多個數字。但是，為何有些數字可以構成直角三角形，有些數字卻不行呢？畢達哥拉斯在故鄉薩摩斯島上找到了這問題的答案。

薩摩斯島是希臘東南部的一座小島，島上的港口至今仍以畢達哥拉斯來命名。目前，該島的人口約五萬人，是個悠閒而僻靜的觀光景點，但在古希臘時期這裡卻是數一數二的商業要地。畢達哥拉斯離開薩摩斯島時還只是一個無名青年，再次回到希臘時卻成了家喻戶曉的人物。直到今天，人人都知道他所發現的「畢氏定理」（Pythagorean theorem）。

畢氏定理是每個學習數學的人都會聽過的著名定理。但是，我們不免好奇，古埃及人與巴比倫人更早就發現構成直角三角形的數字了，為何會將它命名為「畢氏定理」呢？

關鍵就在於音樂。畢達哥拉斯回到故鄉後，仍然不斷地鑽研他在埃及與巴比倫看到的數字。難道，這是因為他是熱愛思考的古希臘人嗎？他是不會輕言放棄的。

某日，畢達哥拉斯行經一間打鐵鋪時，聽見了鐵匠正在打鐵的聲音。以前，他總覺得那個聲音很刺耳，今日不知為何，聽起來卻覺得很悅耳。他不禁思考這其中的奧妙：

「這個聲音為何突然變得這麼好聽？那是因為打鐵的溫度，還是鐵的材質？究竟是哪個因素造成了這樣的差異？」

他沉浸在思緒裡。最後，他終於找到那聲音的秘密：「長度」。畢達哥拉斯發現，任何的 β（Beta）與 γ（Gamma）──2 與 3──的比值，即 3分之 2，都會構成和弦。2 與 3 分別為 Sol與 Do 的長度，能夠構成「完全五度」的音程。畢達哥拉斯進一步推論道：

「如果 3 分之 2 會構成和弦，那麼，3 分之 2 的 3 分之 2 一樣

也會構成和弦！」

確實如此，任何線段與其 3 分之 2 的線段都會構成和弦。於是，畢達哥拉斯運用這個原理，繼續找出更多和諧的音。他不斷地從一個個的長度裡截取出 3 分之 2，找出一個又一個和音，將它們排列開來，再依照相同比例，找出其他更長的長度。結果，全部都能夠構成和音。畢達哥拉斯就是這樣找出七音音階的，他終於揭開了「和諧的奧秘」。

和諧的音樂能夠帶我們走進一個美麗的世界。畢達哥拉斯發現和音的原理之前，人們都以為音樂是一種自然而然誕生的美麗事物。但是，如果我們去挖掘音樂帶給人感動的奧秘，就會發現其中存在著一定的長度比，即數的比例，而這種固定的比例並非只存在於音樂當中。畢達哥拉斯在經歷無數次的思考後，得到了一個答案：

「這個世界是由固定的比例構成的。」

西元前四世紀，埃及亞歷山大港（Alexandria）的王宮裡，托勒密一世（Ptolemy I Soter）坐在王位上，神情有些緊張。這個人是誰呢？他是曾經與亞歷山大大帝一同遠征各地，從非洲大陸到東方的印度都創下輝煌戰果的一名將軍。如今，他搖身成為古埃及第三十二王朝的第一位法老王。但是，是什麼事讓一國之尊的他坐立不安呢？

原來，他的老師很快就要來為他上課了。他就算具備國王的權力，也無法推掉這門課。法老王輕輕地嘆了一口氣。這時，遠處漸漸傳來老師的腳步聲。王位上，這位已有一把年紀的學生作了個深呼吸，好使自己鎮靜。他的老師抱著一...

序曲
編審者的話
序言 世上一切知識的起點

第一部 數的起源
數是如何誕生的？乘法與除法又是如何開始的？不知道π值為何的情況下，要如何求得圓的面積呢？
數學發源自埃及，三千五百年前由某埃及書記官寫下的一張莎草紙讓我們窺見最早的人類文明如何使整個王國運作、並掌握了哪些分配與測量的技術。

第二部 幾何原本
美國的《獨立宣言》、牛頓的《自然哲學的數學原理》都以一本書為典範，那就是歐幾里德的《幾何原本》。
歐幾里德的《幾何原本》集希臘哲學與數學之大成，不只是數學的原理，更是日後一切邏輯學、哲學與科學的原理。
從畢達哥拉斯、柏拉圖，到亞里斯多德，許多希臘先哲皆不斷地琢磨「何為點？」這一道簡單的問題，原因又是什麼呢？

第三部 神的數字
某個民族不把「空無」視為「沒有」，而是視為「存有」所創造出的數字「0」就是神的數字。
一個敬愛神且相信永恆之存在的國家所創造出的奇妙數字「0」改變了人類的歷史，它座落於「存有」與「沒有」的邊界上，使數學的範圍拓展為無止境，並賦予科學一股力量，去想像宇宙的可能性。跟著我們一同追溯宗教大國——印度如何創造出人類有史以來最偉大的發明「0」。

第四部 文明大熔爐
代數、算術、記數法，以及此前文明的重大智慧遺產……，所有燦爛成果都開始透過阿拉伯語產生交流。
西方世界陷入一片混沌之時，是阿拉伯人帶動了中世紀文明的發展。美索不達米亞、希臘與印度的數學皆融匯於阿拉伯世界，並產生了新的進化：三角學的發展、印度數字的傳播，以及代數學的大幅成長。當時的文明大熔爐——伊斯蘭世界裡，我們將看見人們對於知識源源不絕的熱情與無數智慧的融合。

第五部 移動的世界：微積分
牛頓與萊布尼茲兩人之間的「微積分之爭」！十七世紀的英國與歐洲大陸展開了一場智慧財產權的爭奪戰。
學術界甚至斷絕書信往來長達百年，身處這場風暴中心的人就是英國的牛頓與德國的萊布尼茲，他們都宣稱自己首先發明了微積分。微積分就像魔法，能夠以方程式表現出所有的變化。在這場爭奪戰裡，誰又是最後的勝利者呢？

第六部 待解的問題
一個業餘數學家所提出的問題，卻長達三百年都沒有人能夠解出答案，且看後來的天才數學家們如何一個個挑戰那道宛如被詛咒的難題。
1963年，在英國劍橋的一座小型圖書館裡，一個十歲小男孩發現了一道神秘的數學題，題目很簡單，連小學生也看得懂，小男孩便把書借回家，決心要解出答案。然而，沒有人知道三百年來是否有人解出了那道題目的答案。最後，小男孩竟然花了三十年才終於求得解答。讓我們透過兩道留待世人解決的偉大數學問題「費馬最後定理」與「龐加萊猜想」，一同探索人類文明的可能性。

深入探討
終曲
參考資料

序曲
編審者的話
序言 世上一切知識的起點

第一部 數的起源
數是如何誕生的？乘法與除法又是如何開始的？不知道π值為何的情況下，要如何求得圓的面積呢？
數學發源自埃及，三千五百年前由某埃及書記官寫下的一張莎草紙讓我們窺見最早的人類文明如何使整個王國運作、並掌握了哪些分配與測量的技術。

第二部 幾何原本
美國的《獨立宣言》、牛頓的《自然哲學的數學原理》都以一本書為典範，那就是歐幾里德的《幾何原本》。
歐幾里德的《幾何原本》集希臘哲學與數學之大成，不只是數學的原理，更是日後一切邏輯學、哲學與科學的...