決勝籌碼：天才數學家縱橫賭場與華爾街的祕密

節錄自〈第三章｜走鋼索的交易者〉

賭你的信念
對索普而言，二十一點不再像過去那樣有利可圖或有趣了，他說：「我發現如果我再賭下去，內華達州遲早會發生一些糟糕的暴力衝突。」到了一九六四年，他決定將天賦用在地表最大的賭場—股市。

索普靠二十一點贏了約兩萬五千美元，另外加上存款一萬五千美元，後者主要是著作的版稅收入。他在一九六四與六五年在新墨西哥州的暑假期間，系統性地自學股票市場相關知識。他閱讀的其中一本書是保羅．庫特納（Paul Cootner）的《股票市場價格的隨機性質》，這本書由麻省理工學院出版社出版於一九六四年，收錄隨機漫步模型的關鍵文章。
索普讀到一篇有人在收購白銀的新聞報導。白銀供不應求的情況已持續好長一段時間，一般是靠著熔鑄回收的舊珠寶和各式銀器來補足市場需求，但可回收的白銀存量越來越少。
索普用存款買進一些白銀，價格大約在每盎司一點三美元。後來漲到約兩美元。接著他用融資（也就是借來的錢）買進更多白銀，但白銀的價格開始跌了。索普無力追加保證金，賠了大約六千美元，在當時可是一大筆錢。「我學到了昂貴的一課。」他說。這個教訓是：你不可能靠著新聞報導的消息掌握優勢。
有兩個德州投資人找上了索普，他們在之前的二十一點事件對索普有所耳聞。這兩人自稱是挑選壽險股的專家，詢問索普是否願提供協助。索普在達拉斯跟這些人會面。他花時間研究壽險產業，好不容易有足夠信心把錢投資到這兩人推薦的公司，結果股價「快速直線下跌」。這次經驗中，索普唯一收穫是兩人送他的禮物：一組次等的牛排刀。
回到新墨西哥州的拉斯克魯塞斯，索普做了其他散戶投資人會做的事情，查看財經雜誌裡頭的「快速致富」廣告。市面上有上百種股市分析系統待售。《巴倫》（Barrons）周刊的一則廣告吸引了他的目光，那是一間叫做RHM的認股權證服務公司。
薩繆爾森曾經訂閱這間公司的雜誌，該公司仍在營運，老闆叫弗里德（Sidney Fried），他宣稱能夠用小錢買進權證，再高價賣出。索普派人去買了這間公司的書。
閱讀的時候，「我思考的是，什麼是決定認股權證價格的因素。」索普說：「我思考，然後在紙上塗塗寫寫大約一個小時之後，發現有個近乎確定的簡單方式能夠為這些東西定價。」
認股權證是當時唯一廣泛交易的股票選擇權。索普首先追蹤的認股權證之一，是由斯佩利蘭德公司（Sperry Rand）所發行的，這是做出第一部量產型數位電腦的公司。一九五八年三月十七日，斯佩利蘭德公司發行一份讓擁有者能以二十五美元一股的價格（履約價）買進斯佩利蘭德公司股票的認股權證，一九六三年九月十六日到期，代表當天收盤之後，這個認股權證就成了廢紙。
認股權證的合理價格是多少？如果斯佩利蘭德公司的股票漲到超過二十五美元，認股權證就會立刻變得很值錢。若是漲到二十九美元，認股權證至少有四美元的價值，因為你可以靠著認股權證，以低於現價四美元的價格購入斯佩里．蘭德的股票。
但這並不表示如果斯佩利蘭德公司的股價跌到二十五美元以下，認股權證就毫無價值。你還是能把認股權證賣給覺得股價在失效日前會超過履約價的人。
報紙上會列出各認股權證的報價，就像它們列出賽馬比賽的盤口賠率那樣。投資人判斷認股權證的價格時，有很大一部分是憑直覺。當你說這個認股權證價值多少多少，實際上是在提供股價在認股權證失效前會漲到履約價以上的機率，並更進一步要猜測超過的幅度有多大。這整個判斷過程非常複雜。認股權證的價格必定會受到諸如以下狀況的影響：新產品上市失敗、法律訴訟的結果，或是高階主管為了購入畫家馬諦斯（Matisse）的畫而拋售大量股票等。蝴蝶效應引發的海嘯，可能會導致斯佩利蘭德公司高階主管乘坐的遊艇翻覆，使得股價重挫，又有誰能有系統地預測這類意外事故？
接著索普想到隨機漫步模型。假設不可能預測造成股價波動的事件，那麼買股票的選擇權就是押注在隨機漫步上。索普知道已經有精準的方式可以計算出隨機漫步的機率分布，得視隨機運動的平均幅度而定—在上述案例中，就是股價每天上漲或下跌的幅度。
索普做了一些計算，發現大多數認股權證都像嘉年華會的遊戲，就獎品價值與得獎機率而言，成本太高了，尤其是對再過幾年就要到期的認股權證來說更是如此。交易者對這段期間內的股價漲勢，預期通常過於樂觀。
面對嘉年華中要價太高的遊戲，除非你拒玩，否則無能為力。但如果你發現認股權證的定價過高，可以選擇放空，藉此將對自己不利的賠率扭轉為優勢。
放空的交易者就是投售「並未持有」的證券，從第三方借來證券，以現行股價售出，並約定在未來某天將同一證券歸還給第三方。交易者希望屆時價格會下跌，這樣就能夠用比放空價更低的價格買回證券。
放空附帶了一個令人不快的風險。如果公司的股價飆漲，認股權證也會跟著漲價。理論上，股票（或認股權證）的價格漲幅沒有上限，這表示放空者可能損失的金額也沒有上限。
將此情況與買進股票或認股權證（買空）的一般情形做比較，你損失的錢不會超過購入這張證券的金額。這個可能性已經夠痛苦了，不過至少損失是有上限的。而放空者則有可能要承受無限大的損失。

有一個老方法能減少這種風險，即幾乎同時買進、放空同一標的。古爾德在「價格過低」時買進黃金，並在「價格過高」的地區售出。他不必知道哪個價格「正確」，甚至不必理會「正確」兩字是否有意義，也無須預測金價上漲還是下跌。在買進與賣出的過程中，古爾德實際上消除了持有黃金的一切風險，他鎖定「不理性」的價差作為確定利潤。
大多數的套利形式都遵循著古爾德的計畫。套利者買進價格過低的證券，同時放空價格過高的「相關」證券。「相關」是指該證券的價格會與原始張證券同步漲跌。就認股權證或選擇權來說，「相關」證券就是這間公司的股票。
這個計畫乍聽之下或許會令人困惑，但它有點類似凱利的「賭你的信念」賽馬系統。在一場只有兩匹馬參加的賽馬比賽中，一定有一匹馬贏，一匹馬輸，由於這種顯著的相關性，要消除賽馬押注時一般會出現的風險是有可能的。只要兩匹馬都押，你就不會輸。
選擇權或認股權證的價值會隨著股價的潛在價格而升高。透過買進股票與賣出選擇權，你就創造出一場「賽馬比賽」，交易的一方必然會贏，而另一方會輸。如果你比其他人更能掌握「真正的」賠率，憑你的信念調整投注額，就能預期獲利。
這種買空—放空的交易就是「凱利最適」（Kelly──optimal），不過早在凱利之前，這個方法已經被運用在股票市場上。索普的創新之處在於準確計算出得買進多少股票，才能抵消放空認股權證的風險。這個技巧現在被稱為「德爾他避險」（delta hedging），以象徵「量的變化」的希臘字母Δ為名。
在德爾他避險中，股價小幅度變動的獲利（或損失），都能被認股權證價格的變動所抵消，當「不理性」的認股權證價格變動至與股價持平時，你就能賺錢。
凱因斯曾說過一句名言，市場保持非理性的時間，長過你維持償付能力的時間。除非你確信自己能夠以「合理」價格售出而獲利，否則用不理性的價格購入任何東西都沒有好處。你必須知道其他「不理性」的人何時才會恢復理智，且認同你的看法。
這就是索普計畫的美妙之處。市場不可能一直堅持對認股權證不理性的價值評估。失效日一到，認股權證就會灰飛煙滅！—隨之覆滅的還有對其價值所有不理性的看法。
持有認股權證堅持到最後的人只有兩種下場：一是股票價格低於認股權證履約價，什麼都沒了；或是二，股票售價高於履約價，馬上淨賺一筆。對該認股權證價值所有不理性的看法不過是一種回憶。（股價本身也有可能「不理性」，但誰知道呢？—這並非討論重點。）

打敗市場
一九六四年夏天，索普的人生有了改變。支持他在新墨西哥州大學任教的補助金已經用完了，數學系似乎要落入「團體理論學家派系」手中。索普開始尋找下一份工作。加州大學在橘郡（Orange County）的爾灣（Irvine）成立新校區。索普和薇薇安在南加州都有一段美好回憶，於是索普前去應徵，他通過面試，得到這份工作。
索普在加州大學爾灣分校的第一天，碰巧向電腦科學系系主任費爾德曼（Julian Feldman）提起自己對認股權證的興趣。費爾德曼說，喔，我們系上也有個傢伙在做同樣的研究。
他說的是經濟學家席恩．卡索夫（Sheen Kassouf）。卡索夫在哥倫比亞大學念書時，所撰寫的博士論文就是關於如何決定認股權證的公平價格，他並未提出精確的答案，但他對此的見解非常實際，本身也有操作認股權證交易。
費爾德曼把索普介紹給卡索夫認識。他們決定就這個主題每週舉行一次研究研討會。這個研討會沒有學生，索普和卡索夫只是每個星期碰面，一起研究致富的方法。
索普也開始進行認股權證交易。他的避險系統一如預期地發揮作用，到了一九六七年，他已經將原始資金四萬美元增加至十萬美元。

節錄自〈第三章｜走鋼索的交易者〉

賭你的信念
對索普而言，二十一點不再像過去那樣有利可圖或有趣了，他說：「我發現如果我再賭下去，內華達州遲早會發生一些糟糕的暴力衝突。」到了一九六四年，他決定將天賦用在地表最大的賭場—股市。

索普靠二十一點贏了約兩萬五千美元，另外加上存款一萬五千美元，後者主要是著作的版稅收入。他在一九六四與六五年在新墨西哥州的暑假期間，系統性地自學股票市場相關知識。他閱讀的其中一本書是保羅．庫特納（Paul Cootner）的《股票市場價格的隨機性質》，這本書由麻省理工學院出版社...

序章：電報大戰

■第一章｜真正有用的資訊
「夏農將無法壓縮、真正有用的資訊稱為『熵』。當被問到何種資訊適用於股市時，他說出了一個驚人答案：內線資訊。」

克勞德．夏農／X計畫／伊曼紐爾．基梅爾／愛德華．索普／玩具室／輪盤／賭徒末路／隨機、無序與不確定性／蔚為風潮／小約翰．凱利／私人電報／負號

■第二章｜賭神的籌碼
「凱利系統表明，最大獲利的前提在於『優勢』──索普如何找到優勢、打敗二十一點莊家，並在各地掀起一陣腥風血雨？」

珍珠項鍊／算牌首戰場：雷諾／命運之輪／比廉價妓女更難搞／檯面下的凱利準則／裝置初試啼聲：拉斯維加斯／史上第一位絕對贏家／厄運莊家多蒂／雙人腳踏車

■第三章｜走鋼索的交易者
「索普雖然不知道市場走向，但他看見了獲利的新方法。憑藉精準的套利策略，他相信自己的避險基金確實打敗了市場。」

保羅．薩繆爾森／隨機漫步黑手黨／不是買股票的好時機／首次公開募股／賭你的信念／打敗市場／詹姆斯．瑞根／國際度假村／麥克．米爾肯／羅伯特．莫頓／人腦對抗機器／為何資金管理人沒有用／敵人名單／寡婦孤兒

■第四章｜數學公式裡的有錢人
「凱利準則是貪婪的，為了達到更高的顛峰而不斷承受風險──凱利賭徒失去一半財富的機率是50％。關於風險與獲利，數學家們的建議是什麼？」

喜樂等級／避免冒險的天戒／亨利．拉坦那／馬科維茨的麻煩／夏農的惡魔／爭執／彈珠台／這是個自由國度／追上凱利家族／雖然來日方長／賭博全都差不多／身穿廉價西裝的掮客／我的外星表哥

■第五章｜逐出市場
「由於瑞根的不當行為，普林斯頓新港合夥公司遭到了『瑞可法』的起訴。合作關係終止後，全身而退的索普惋惜道：「我們原本會成為億萬富翁。」

伊凡．波斯基／魯道夫．朱利安尼／衝鋒槍的槍口火焰／停車場／歡迎來到骯髒世界／最後通牒／普林斯頓新港合夥公司，一九六九─八八年／魔鬼終結者／華爾街唯一清流

■第六章｜遲早會破產
「爆倉的交易者是華爾街的喪屍，在高槓桿交易中做出錯誤的決策。而凱利系統能確保投資人在運氣不好的情況下，仍有機會東山再起。」

馬丁格爾法先生／奮力掙扎／我有不祥預感／盜賊世界／肥尾效應與科學怪人／生存動機／永恆的幸運／人生中豐富的情緒體驗

■第七章｜市場上的訊號或雜音
「想要打敗市場的長期投資人，必定得找到目前被嚴重低估的股票，且確知它遙遠未來的走勢。兩者都是難以達到的必要條件。」

夏農的投資組合／自負的猩猩／指標計畫／香港賽馬團體／無限大的黑暗面

致謝

序章：電報大戰

■第一章｜真正有用的資訊
「夏農將無法壓縮、真正有用的資訊稱為『熵』。當被問到何種資訊適用於股市時，他說出了一個驚人答案：內線資訊。」

克勞德．夏農／X計畫／伊曼紐爾．基梅爾／愛德華．索普／玩具室／輪盤／賭徒末路／隨機、無序與不確定性／蔚為風潮／小約翰．凱利／私人電報／負號

■第二章｜賭神的籌碼
「凱利系統表明，最大獲利的前提在於『優勢』──索普如何找到優勢、打敗二十一點莊家，並在各地掀起一陣腥風血雨？」

珍珠項鍊／算牌首戰場：雷諾／命運之輪／比廉價妓女更難搞／檯面下的凱利...