何章鳴

第1章 隨機事件與概率1
1.1隨機現象與數據1
1.1.1一論飛行器差分求速——奇妙的無窮小1
1.1.2抽球悖論——奇妙的無窮大2
1.1.3從折紙看直覺、實踐與推理的差異3
1.1.4從硬幣試驗看直覺思維與理性思維5
1.1.5從硬幣試驗看概率論與數理統計5
1.1.6樣本均值和中位元數的計算複雜度6
1.1.7平均數和中位數的穩健度7
1.1.8考分是數字還是隨機變數8
1.2隨機事件9
1.2.1樣本空間與事件域不是優質的9
1.2.2事件的常見假命題9
1.2.3清晰事件和模糊事件10
1.3概率的定義與性質10
1.3.1一論硬幣實驗——頻率與概率10
1.3.2有限可加與可列可加11
1.3.3貝特朗悖論12
1.4等可能概型12
1.4.1協同轟炸問題——古典概型13
1.4.2協同過橋問題——幾何概型14
1.4.3蒙提霍爾悖論——信息洩露16
1.4.4田忌賽馬獲勝的概率實質18
1.4.5巴拿赫火柴盒問題18
1.4.6生日同天問題19
1.4.7抽籤原理的擔憂20
1.4.8停戰談判的概率實質20
1.4.9戀愛年數21
1.5條件概率與獨立性23
1.5.1條件概率和無條件概率23
1.5.2事件互斥和事件相互獨立24
1.5.3彭尼遊戲的概率實質25
1.5.4觀棋不語的概率實質29
1.5.5星期二男孩的概率實質29
1.5.6兩兩獨立與相互獨立30
1.6全概率公式與貝葉斯公式31
1.6.1從寓言故事到繞島軍演31
1.6.2少數派獲勝的概率實質33
1.6.3再論蒙提霍爾悖論34
1.6.4薩達姆被捕的概率推斷36
1.6.5從陽性與患病看貝葉斯思想37
1.6.6從犬吠與賊偷看貝葉斯思想38
1.6.7一次答疑引起的思考38
1.6.8舉證困難的追責問題42
1.6.9輸光原理與全概率公式42
1.6.10輸光原理的模擬驗證44

第2章 隨機變數47
2.1隨機變數的基本概念47
2.1.1隨機變數具有隨機性嗎47
2.1.2隨機變數一定是單射嗎47
2.1.3隨機變數的抽象意義48
2.2離散型隨機變數及其分佈律48
2.2.1輸光分佈律和瑪律可夫鏈48
2.2.2雨傘問題52
2.2.3二項分佈的分佈律最大值53
2.2.4泊松分佈的分佈律最大值54
2.2.5五局三勝還是七局四勝54
2.2.6協同作戰與獨狼行動55
2.2.7泊松分佈與二項分佈的優勢56
2.3連續型隨機變數及其密度函數57
2.3.1連續型隨機變數的密度未必連續57
2.3.2分佈函數連續未必對應連續型58
2.3.3密度與隨機變數的對應關係59
2.3.4關於電子產品壽命的思考59
2.3.5零概率事件未必不可能發生61
2.3.6正態分佈的模擬62
2.4分佈函數63
2.4.1隨機變數的分類63
2.4.2幾個易混淆的關聯概念64
2.4.3作訓後勤線路選擇問題65
2.4.4協同作戰等待時長的分佈類型66
2.4.5混合高斯分佈屬於混合分佈嗎67
2.4.6混合分佈是連續分佈與離散分佈的加權平均嗎68
2.5隨機變數函數的分佈70
2.5.1連續型隨機變數的函數未必是連續型70
2.5.2不同隨機變數的函數可能服從相同分佈71

第3章 多維隨機變數72
3.1二維離散型隨機變數72
3.1.1二維離散型隨機變數的典型案例72
3.1.2二維離散型隨機變數的典型分析思路73
3.2二維連續型隨機變數73
3.2.1二維連續型隨機變數的典型案例73
3.2.2二維連續型隨機變數的典型分析思路74
3.2.3蒲豐投針及其模擬試驗75
3.2.4一論圓概率誤差76
3.3聯合分佈函數77
3.3.1離散型聯合分佈的典型形態77
3.3.2邊緣密度無法決定聯合密度77
3.3.3協同作戰中的聯合分佈80
3.4邊緣分佈81
3.4.1非零密度區域的邊界運算式81
3.4.2聯合正態分佈的邊緣分佈和條件分佈83
3.4.3均勻分佈的邊緣分佈未必是均勻分佈84
3.4.4非均勻分佈的條件分佈可能是均勻分佈86
3.5條件分佈與獨立性86
3.5.1隨機變數獨立的條件86
3.5.2隨機變數兩兩獨立未必獨立87
3.5.3正態分佈之和未必服從正態分佈88
3.5.4木棒截斷悖論88
3.6二維隨機變數的變換及函數的分佈90
3.6.1獨立隨機向量的變換可能不獨立90
3.6.2不獨立隨機向量的變換可能獨立91
3.6.3變換可改變分佈的類型91
3.6.4正態分佈之和未必是正態分佈92
3.6.5後勤聯運的可靠性——極小值的分佈92
3.6.6卷積公式和z\|x圖93
3.6.7函數與變換的區別95
3.6.8分佈的可加不變性96

第4章 隨機變數的數字特徵97
4.1數學期望97
4.1.1再論協同轟炸問題97
4.1.2如何區分均值和期望98
4.1.3哪個射手的水準更高98
4.1.4期望的非常收斂約束99
4.1.5協同穿越問題102
4.1.6單拱架橋問題103
4.1.7可加性的簡易證明方法105
4.1.8不存在期望的離散型隨機變數105
4.1.9不存在期望的連續型隨機變數106
4.1.10電梯問題106
4.1.11停戰談判問題再討論108
4.1.12秩序的重要性111
4.1.13獨立隨機變數的期望112
4.1.14函數的期望未必等於期望函數112
4.1.15協同作戰等待時長112
4.1.16一論凱利公式——投注策略113
4.1.17聖彼德堡悖論——期望不存在116
4.2方差117
4.2.1一定要選拔高水準選手嗎117
4.2.2百發百中與一發一中119
4.2.3信息融合和“位元高權重”的關係120
4.2.4切比雪夫不等式的意義120
4.2.5密度平均和樣本平均的方差121
4.2.6差的方差不等於方差之差122
4.2.7再論凱利公式——方差特性122
4.2.8常用分佈的期望和方差125
4.3協方差、相關係數、矩與協方差陣125
4.3.1似是而非的相關125
4.3.2獨立性與不相關性126
4.3.3不相關的兩個正態隨機變數未必獨立126
4.3.4不相關的兩個隨機變數未必獨立127
4.3.5低階距存在未必高階矩存在128
4.3.6啤酒和尿布的故事是真的嗎128
4.3.7獨立隨機變數的正交變換未必獨立129

第5章 大數定律與中心極限定理130
5.1大數定律130
5.1.1定律與定理130
5.1.2服從大數定律的內涵131
5.1.3依概率收斂的內涵131
5.1.4數列收斂與依概率收斂131
5.1.5依概率收斂未必幾乎處處收斂132
5.1.6依概率收斂必然依分佈收斂133
5.1.7幾個大數定律的關聯134
5.1.8再論硬幣試驗135
5.1.9三論硬幣試驗136
5.1.10用數值試驗和長條圖驗證大數定律137
5.2中心極限定理141
5.2.1中心極限定理的里程碑141
5.2.2標準化的過程142
5.2.3典型分佈的標準化143
5.2.4指數分佈的標準化144
5.2.5均勻分佈的標準化146
5.2.6圖書館配套座位數150
5.2.7發射井的數量152
5.2.8再論發射井的數量153
5.2.9生日問題再討論154
5.2.10不服從中心極限定理的反例154
5.2.11切比雪夫不等式與中心極限定理155
5.2.12三論凱利公式——大數據特性155

第6章 數理統計的基本概念158
6.1統計推斷概述158
6.1.1倖存者偏差——逝者不說話158
6.1.2朋友悖論——我的朋友真的少嗎159
6.1.3二論飛行器差分求速——降曲技術160
6.2抽樣分佈164
6.2.1測速雷達消噪方法164
6.2.2從正態分佈走來167
6.2.3樣本均值與方差的獨立性172
6.2.4多維正態分佈的若干結論174
6.2.5極限定理與抽樣分佈定理的關係174
6.2.6常用分佈關聯圖譜175
6.2.7樣本方差的系數175
6.2.8變異系數不能消除偏置系數的影響176
6.2.9若干分佈的可加性176
6.2.10統計量的計算複雜度176
6.2.11卡方分佈期望與自由度177
6.2.12t分佈與標準正態分佈177
6.2.13分位點的性質177

第7章 參數估計179
7.1點估計179
7.1.1矩估計的局限性179
7.1.2常用分佈的參數估計180
7.1.3泊松分佈參數的估計182
7.1.4漸進無偏估計未必是相合估計182
7.1.5無偏估計的函數未必是無偏的183
7.1.6魔盒遊戲引發的思考183
7.1.7極大似然的思想184
7.1.8未戰而廟算勝——估算槍支的數量184
7.1.9以算求勝，深算制勝——新兵老兵問題186
7.1.10知彼知己，百戰不殆——虎式坦克的數量188
7.1.11知彼知己，百戰不殆——估計量的評價準則190
7.1.12總群數量的估算193
7.1.13再論圓概率誤差194
7.1.14費希爾信息量、香農信息熵與方差的關係195
7.1.15如何理解克拉默·拉奧下界199
7.2區間估計199
7.2.1球場找針的故事199
7.2.2良種粒數的範圍200
7.2.3測控雷達的可靠度鑒定200
7.2.4軍工器件的測量精度202
7.2.5飛行器速度的置信區間203
7.2.6炮彈方差的置信區間203
7.2.7火箭燃燒率的置信區間204
7.3貝葉斯估計204
7.3.1再論新兵老兵問題204
7.3.2再論百發百中與一發一中206
7.3.3再論命中率問題207

第8章 假設檢驗209
8.1引言209
8.1.1導彈脫靶量鑒定中的假設檢驗問題209
8.1.2雜質檢驗中的原假設與風險210
8.2正態總體參數的假設檢驗211
8.2.1小概率原則悖論211
8.2.2再論導彈脫靶量鑒定212
8.2.3雜質檢驗對應的假設檢驗過程216
8.2.4羅曼諾夫斯基硬幣試驗的再審視217

第9章 回歸分析219
9.1一元線性回歸模型219
9.1.1父子身高關係的回歸問題219
9.1.2銅棒膨脹系數的回歸問題220
9.2多元線性回歸模型221
9.2.1三論飛行器差分求速——降噪技術221
9.2.2再論銅棒膨脹系數223
9.2.3測速雷達求速原理225
9.2.4導航中的主元估計225
9.2.5基於狀態轉移矩陣求先驗概率228
9.2.6導航方程的求解229
9.2.7食譜方程的求解238

參考文獻245
附錄246
索引250
後記253