喬伊·大衛·哈姆金斯

序言
關於作者
第一章 數
第一節 數與數字
第二節 數系
第三節 不可公度數
第四節 柏拉圖主義
第五節 邏輯主義
第六節 解釋算術
第七節 數不能是什麼
第八節 戴德金算術
第九節 數學歸納法
第十節 結構主義
第十一節 實數是什麼？
第十二節 超越數
第十三節 複數
第十四節 當代類型論
第十五節 其他數類
第十六節 哲學有什麼意義？
第十七節 說到最後，究竟什麼是數？
思考題
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致謝與出處
第二章 嚴格性
第一節 連續性
第二節 瞬時變化
第三節 概念詞匯的擴大
第四節 最小上界原則
第五節 數學的不可或缺性
第六節 函數概念中的抽象化
第七節 再談無窮小量
思考題
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致謝與出處
第三章 無窮
第一節 希爾伯特旅館
第二節 可數集合
第三節 等數性
第四節 希爾伯特杯半程馬拉松
第五節 不可數性
第六節 康托論超越數
第七節 論集合子集的數量
第八節 超越等數性：大小比較原則
第九節 什麼是康托的連續統假設？
第十節 超窮基數——“阿列夫”序列和“貝斯”序列
第十一節 芝諾悖論
第十二節 如何計數
思考題
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致謝與出處
第四章 幾何
第一節 幾何構造
第二節 非規矩數
第三節 其他可選工具集
第四節 幾何學的本體論
第五節 圖示和圖形的作用
第六節 非歐幾何
第七節 歐幾裡得的錯誤？
第八節 幾何學與物理空間
第九節 龐加萊論幾何的性質
第十節 塔斯基論幾何的可判定性
思考題
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致謝與出處
第五章 證明
第一節 句法-語義之分
第二節 什麼是證明？
第三節 形式證明和證明論
第四節 自動化定理證明和證明驗證
第五節 完全性定理
第六節 非經典邏輯
第七節 結論
思考題
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致謝與出處
第六章 可計算性
第一節 原始遞歸
第二節 圖靈論可計算性
第三節 算力：層譜觀和閾值觀
第四節 丘奇-圖靈論題
第五節 不可判定性
第六節 可計算的數
第七節 帶信息源的計算和圖靈度
第八節 計算複雜度理論
思考題
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第七章 不完全性
第一節 希爾伯特計劃
第二節 第一不完全性定理
第三節 第二不完全性定理
第四節 哥德爾-羅瑟不完全性定理
第五節 塔斯基的真之不可定義定理
第六節 費弗曼理論
第七節 無處不在的獨立性
第八節 反推數學
第九節 古德斯坦定理
第十節 勒布定理
第十一節 兩種不可判定性
思考題
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第八章 集合論
第一節 康托-本迪克森定理
第二節 作為數學基礎的集合論
第三節 普遍概括原理
第四節 層壘的譜系
第五節 分離公理
第六節 外延性
第七節 替換公理
第八節 選擇公理與良序定理
第九節 大基數
第十節 連續統假設
第十一節 單宇宙觀
第十二節 新公理的標準
第十三節 數學需要新公理嗎？
第十四節 多宇宙觀
思考題
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致謝與出處
參考文獻
術語索引
主題索引
譯後記