歐尼斯特納格爾

1931年一德文科學期刊上面，出現一篇篇幅比較短，標題冷峻的論文“Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”（數學原論以及相關系統有關的形式上不可決定的諸命題），其作者庫爾特．哥德爾是當時維也納大學一個25歲的年輕數學家，1938年開始，他成為普林斯敦高等研究所一位終生研究員，這篇論文是邏輯及數學史上一個里程碑。1952年，當哈佛大學頒給哥德爾一個榮譽學位時，給他的頌詞上面，把他的成果表述為當代邏輯上最重大的進展之一。
然而，這篇論文出版的當時，無論是它的標題或者是它的內容，都不是大多數的數學家所能理解，標題裡面所提到的數學原論Principia Mathematica是懷海德和羅素所合著有關邏輯和數學基礎的三巨冊紀念碑式不朽巨著，是否通曉這部巨著不是多數數學分枝研究成功的必要條件。更且哥德爾論文所處理的一組問題從來沒有吸引很多人的注意，僅只限於比較起來算是小小的一個群組的人們的注意而已，就該論文出版的當時而言，其證明的推演是如此的新穎，以至於只有那些精通一種高度專門領域的專技文獻的人士才能夠以一種相當具備的理解能力來領會其論證。無論如何，哥德爾所建立起來的諸結論，如今已經廣泛地被認定為在它們寬廣的哲學意義上是革命性的，眼前這篇論文的目的在於把哥德爾的發現的要旨以及他的證明的大致的特性加以闡述，方便非專業人士得以接近與瞭解。
哥德爾著名的論文專攻數學基礎裡面一個核心的難題， 對於問題發生的來龍去脈先作一個簡要初步的說明是有所助益的，每一個曾經接觸過初等幾何學的人無疑地將回想起，這學科是被作為一種演繹的學科被傳授，它不是以一種實驗科學來呈現，實驗科學的定理是由於和觀察結果一致而被接受，因而與此不同。一個命題可以作為明明確確邏輯證明的結論而被建立的這種想法可以回溯到古希臘人，他們發現一般所知的「公設法」，同時加以運用來以一種系統方式來發展幾何學。公設法在於不經證明就接受某些特定的命題作為公設或假定（例如經過兩個定點只能作出一直線的此一公設），然後從這些公設中推導出這系統中所有的命題作為定理。這諸公設構成了這系統的基礎，諸定理是為「上層結構」，定理是獨一無二經由邏輯原理之助從諸公設而獲得。
幾何學公設化的發展給予遍及各時代的思想家們造成強而有力的印象；因為比較起來為數算小的諸公設，肩挑其數無盡從諸公設自己本身所推衍出來的眾多的命題。此外， 如果經由某些方式，諸公設的真實性能夠被建立起來—而且，的確，大約兩千年的時間，大多數的學者毫不質疑地相信這些公設在空間上為真—所有定理的真實性以及彼此相互一致性兩者都獲得保證。基於如此的理由，幾何公設化形式對於許多世代以降的許多思想家，顯得像是科學知識的極致楷模，因此，自然而然有此一問：除了幾何學之外，是否有別的思想分枝可以被安置在一個確定無疑的公設基礎上。儘管在古代物理學的某些部份被給以公設的公式化制定（例如阿基米德所為），然而一直到現代，幾何學仍然是唯一被大多數學者視之為一種健全公設化基礎的數學分支。
但是，在過去兩個世紀裡面，公設化方法被人們以越來越多的動力和活力加以開拓，新與舊的數學分枝，包括世所週知的基（或「正整」）數1１被提供給予看起來似乎適當足夠的公設組，一種心照不宣的假設，認為每一數學思想的部門都可以被給予一組的公設，足以用以系統地發展出其數無盡的關於這給定探索領域的真實命題。如此思惟見解的氣氛就衍生起來。
哥德爾的論文指出如此的假設是站不住腳的，他為數學家們提出一個令人震驚與令人沮喪的結論，那就是公設化的方法具有某些特定內在固有的限制。這種限制甚至於將非負整數能夠被完全公設化的這種可能性加以排除，此外，他又證明演繹系統的很大類族。以數論作為一個實例—其內在邏輯一致性是不可能被確立起來的，除非一個人採用一些如此複雜的推論原理，以致於它們推論原理本身內在一致性如同那系統自己本身一樣同樣遭受公然質疑，鑑於如此的結論，數學很多重要的領域沒有任何最終決定性的公設形式是可以達成的，同時也就沒有辦法提出任何絕對無懈可擊的保證來保證說很多數學思想的重要分支可以完全免於內在的矛盾。
哥德爾的發現就如此瓦解了許多根深柢固先入為主的見解，原先經由數學基礎研究還正興致勃勃努力培育的一些古老希望也一併被拆毀，可是他的論文並不全然負面的，它為基礎問題的研究引進了一種新的分析技術。這種技術就其本質以及其思想上的豐富性，可以拿來和笛卡爾所引入幾何學的代數方法相提並論，此一技術為邏輯與數學上的探討倡議始創了一些新的棘手的問題，誘發了對於以往廣泛持有的數學以及一般知識的哲學觀點的更新評價，此種評價仍在進行中。
在他創新紀元的論文裡面，哥德爾的證明其細節，沒有相當數學上的訓練的話是太過於困難而無法領會，但是他的論證的基本結構，以及他的結論的核心，是可以被加以說明到，使那些具有非常有限的數學以及邏輯能力的人士能夠明瞭。為了獲得如此的瞭解，讀者可能發現，對於數學以及現代形式邏輯史裡面，某些相關的發展的一個簡要的說明是有所助益的。本論文以下四個章節專注於如此的概括論述，全面考察。

1931年一德文科學期刊上面，出現一篇篇幅比較短，標題冷峻的論文“Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”（數學原論以及相關系統有關的形式上不可決定的諸命題），其作者庫爾特．哥德爾是當時維也納大學一個25歲的年輕數學家，1938年開始，他成為普林斯敦高等研究所一位終生研究員，這篇論文是邏輯及數學史上一個里程碑。1952年，當哈佛大學頒給哥德爾一個榮譽學位時，給他的頌詞上面，把他的成果表述為當代邏輯上最重大的進展之一。
然而，這篇論文出版的當時，無論是它的標題或者是它...

新版前言─—道格拉斯 R. 霍夫史達特
致謝
導讀──楊維哲教授

I Introduction
I 序
II 一致性的問題
III 一致性的絕對證明
IV 形式邏輯的系統編纂
V 一致性絕對證明的一個成功的例子
VI 映射的觀念及其在數學上的應用
VII哥德爾的證明
A 哥德爾數碼
B 後設數學的算術化
C 哥德爾論證的核心
VIII 結論反思
附錄：注釋

新版前言─—道格拉斯 R. 霍夫史達特
致謝
導讀──楊維哲教授

I Introduction
I 序
II 一致性的問題
III 一致性的絕對證明
IV 形式邏輯的系統編纂
V 一致性絕對證明的一個成功的例子
VI 映射的觀念及其在數學上的應用
VII哥德爾的證明
A 哥德爾數碼
B 後設數學的算術化
C 哥德爾論證的核心
VIII 結論反思
附錄：注釋