◆暢銷書《黃金比例》作者又一力作!
◆《科學人》、《經濟學人》、《出版人週刊》、《書單》、《圖書館學期刊》、《科克斯書評》、《自然雜誌》 專業書評一致讚譽推薦!
巴哈的音樂、自然的基本力、魔術方塊和擇偶之間,有什麼共通點?答案是,這些都具有對稱特色。
對稱性概念橋接科學與藝術,也填平理論物理世界和我們日常所見周遭世界的斷層。然而,對稱性的「語言」──數學群論──卻出自最料想不到的源頭:一項無解的方程式。
從波斯地毯到生命分子,從西斯汀教堂到萬有理論,對稱性普見於萬物和思想概念中。為了探索對稱性迷宮,數學家、科學家和藝術家用「群論」的語言來指引前行道路。然而,群論這種描述對稱性的要義及探索對稱特色的數學語言,卻不是源於對稱性研究,而產生自一項無解的方程式。
數學家歷經千年由淺入深漸次破解代數方程,一直推展到五次方程便遇上關卡。幾百年來,這道難題始終破解不得,最後兩位數學奇才各自發現以尋常作法無法解開這項方程,從而開啟群論先河。
這兩位年輕天才,一位是挪威數學家阿貝爾:二十七歲之前,便一展曠世奇才震撼數學界;另一位是法國數學家伽羅瓦:二十一歲之前,已完成其所有開創性群論精湛成果。兩人都遭逢慘禍喪命。
這段無解方程式的故事,鋪陳出兩位出色數學家的生平事跡,也記述了數學啟發各色各樣學科的精采歷程。在這本生動迷人的書中,作者以簡明的風格描述群論如何闡述自然和人為世界的對稱與秩序,帶領我們漫遊破解對稱性謎題的數學之旅。
章節試閱
對稱性
才思敏捷的劇作家蕭伯納(George Bernard Shaw)說過:「理性的人適應世界;不理性的人總想讓世界適應自己。因此,要進步,就得靠不理性的人。」在本書中,我們會遇到許多不理性的男女。創造的過程原本就是要探索前所未知的理智和情緒領域。只要稍加探究數學的抽象概念,便得略窺創造力的固有本質。這裡先簡要探索對稱性的奇妙領域來作為開場。
英文的symmetry(對稱)這個字可以上溯到古希臘,組成的字根包括sym和metria,意思是「相同的分量」。當古希臘人稱某件藝術作品或建築設計是對稱的,他們的意思是,我們在作品裡見到的某個小片段,也包含在所有其他部分的範圍中,而且出現的次數是固定的(那些部分是「相稱的」)。這項古代定義和現代的對稱觀點並不相符,倒是和我們的比例概念比較吻合。
不過,沒多久,偉大的哲學家柏拉圖(Plato, 428/427-348/347BC)和亞里斯多德(Aristotle, 384-322BC)就談到對稱與美的關係。亞里斯多德的說法是:「美的主要形式是有秩序的布局〔即希臘文的taxis〕、比例〔symmetria〕和定論的〔horismenon〕,這些元素用數學可以呈現得特別清楚。」後來,羅馬建築學泰斗維特魯威(Vitruvius, c.70-25BC)步希臘人後塵,找出具有「正當比例」的對稱性,並加以推廣普及,隨後更流傳縱貫整個文藝復興時期。維特魯威所著的《建築十書》(De Architectura Libri Decem),成為歐洲幾世紀來名副其實的建築學聖經,他在書中寫道:
神廟的設計是以對稱性為本,建築師必須嚴謹遵循設計原理。神廟依比例設計。比例指的是各尺度的相稱性,包括完整建築各組成部分的尺度關係,還有整體尺寸和選來作為標準之特定部分的尺度之關係。對稱原理便由此而生。
以現代的嚴謹數學觀點而言,對稱的意義(最早在18世紀晚期提出)實際上是指「不受某種可能改變的影響」。或如數學家赫爾曼•外爾(Hermann Weyl, 1885-1955)所說的:「若某事物由你做了某種處置,完成之後猶一如舊觀,則該事物便為對稱的。」
窮困潦倒的數學家——阿貝爾
生於1802年8月,歿於1829年4月,享年27歲
艱苦奮鬥的天才
後一年,阿貝爾初試啼聲便開創斐然成就。初生之犢不畏虎,阿貝爾大剌剌地向陌生領域踏出第一步,趾高氣揚想破解五次方程式。這道數學問題已經讓歐洲最棒的數學家苦思近三個世紀,如今一個高中小孩卻宣稱自己已經想出解法。
阿貝爾把他的解法拿給何姆波看,何姆波找不出錯誤。不過,他並沒有老練的數學家那種自信,所以把解法送往克里斯蒂安尼亞大學,請克里斯多夫•漢斯廷(Christopher Hansteen)和索瑞恩•拉斯穆森(S穋en Rasmussen)兩位數學家過目。他們也看不出解法有絲毫破綻。漢斯廷意識到這項發現的重要性,決定把這項解法轉寄給當代北歐頂尖數學家──哥本哈根的斐迪南•迪根(Ferdinand Degen)──請他交給丹麥研究院(Danish Academy)發表。
迪根是個腳踏實地的人,寧願謹慎求證確保無誤。儘管找不出阿貝爾的解法有什麼毛病,他仍然要阿貝爾寄來「更詳盡的求解推論過程,並以數值演示」作法──譬如試解方程式x5+2x4+3x2-4x+5=0。畢竟,大教堂學校的一位學徒,哪可能破解數學界最著名的難題,這種機率實在微乎其微。阿貝爾構思解題實例時,駭然發現,他的解法其實並不正確。然而,阿貝爾完全不因一時挫敗而止步不前,後來這項挫敗反而激使他成就劃時代的突破。無論如何,迪根對阿貝爾十分激賞,為他指點一條明路。
在迪根眼中,方程式研究是一種「沒有未來的課題」。他建議阿貝爾改把心力投注於一個新的領域,稱為橢圓積分(elliptical integral,一種很特別的微積分數學體系,可用以計算橢圓的弧長,故有此稱)。關於這件事,迪根說明道:「以適當作法認真從事研究的人……可以發現一道麥哲倫海峽,航向遼闊無涯的解析大洋。」
五次方程式
自從試求五次方公式解不能如願之後,阿貝爾心中一直沒有放下這個課題。儘管他沒有忽略迪根的忠告,投入另外兩個數學領域從事先驅研究工作,但對五次方始終無法忘情。當他從哥本哈根回來後,決定以嶄新的眼光重新審視這項課題。
這次他的目標不再是針對問題求解,現在他決意證明,世上沒有公式能求得五次方解。讀者應該記得,當初魯菲尼正是這樣主張,還說他在1799年至1813年間,已經以一連串研究證明這點,只是他沒有意識到,他的「證明」裡有一項嚴重破綻。由於魯菲尼的成果沒有廣泛流傳,阿貝爾在1823年時對他的成果並無所知。經過幾個月密集工作,這位身處挪威偏遠地帶的二十一歲學生,徹底解決了歷經幾個世紀的一道老問題。他提出嚴謹、確鑿的論據,證明五次方程式不可能以簡單公式求解。這裡所說的簡單公式是指,係數只包含算術四則和求根運算來表示的式子。
阿貝爾證明,對於一般五次方程式及較高次方程式,我們不能沿用二次、三次和四次方程式的求解作法。換句話說,五次方程式根本不存在只含係數的代數公式解。數學界群賢投注的心血,到頭來完全白費工夫。但阿貝爾的證明並不意味著五次方程式無法求解。舉例來說,五次方程式x5-243=0顯然有解,x=3,因為35=243。此外,連五次方程通式也可以求解,或者可用電腦做數值運算求解,不然也可以引用橢圓函數之類的高等數學工具來求解。阿貝爾發現的是,若想以基本代數來破解五次方程,會碰到一項根本的缺失。
我們熟悉的加減乘除和求根運算功能已經發揮到極致,一旦遇上五次方程便束手無策。這項知識是數學史上的劃時代突破。這讓整個方程式研究途徑徹底改觀,原本只需設法求解,現在必須先證明某類方程式是否真的存有解法。
浪漫多情的數學家——伽羅瓦
生於1811年10月,歿於1832年5月,享年21歲
一位數學家的誕生
傳聞熱愛數學的伽羅瓦只花了兩天,就把雷詹德為兩年課程撰寫的教科書狼吞虎嚥地全部讀完。雖說如今已經不可能查證這段故事是否屬實(或許是誇張了),不過到了1827年秋天,伽羅瓦確實獨鍾數學,對其他學科完全喪失興趣。
伽羅瓦確實沉迷入魔。他拋開傳統教科書,直接閱讀研究論文原著。他讀了一篇又一篇專業數學文章,就像現在的年輕人接連閱讀《哈利波特》(Harry Potter)系列小說,此時他正全副心思研讀拉格朗日的專論《代數方程式分解和解析函數理論》(Resolution of Algebraic Equations and Theory of Analytic Functions)。
他讀了這部著作後眼界大開,雄心振起躍躍欲試。伽羅瓦對魯菲尼和阿貝爾的成果一無所知,花了兩個月時間試求五次方程式解。他和那位挪威年輕前輩一樣,剛開始自認為已經找到公式,後來在自己的解法裡找出一處錯誤而失意沮喪。一位編輯在後來提到阿貝爾當年所犯的錯誤(誤以為自己求出五次方解)到伽羅瓦又重蹈覆轍,而且「那位餓死的挪威幾何學家,和這位身陷囹圄……死生由命的法國幾何學家,兩人的驚人雷同還不止於此」。正如阿貝爾的先例,這次輕微挫敗反而促使伽羅瓦朝向更宏偉的目標──鑽研代數方程式是否有解的課題邁進。
伽羅瓦在1829年發表第一篇數學論文,刊載於《純粹和應用數學年報》期刊(Annales de math
對稱性才思敏捷的劇作家蕭伯納(George Bernard Shaw)說過:「理性的人適應世界;不理性的人總想讓世界適應自己。因此,要進步,就得靠不理性的人。」在本書中,我們會遇到許多不理性的男女。創造的過程原本就是要探索前所未知的理智和情緒領域。只要稍加探究數學的抽象概念,便得略窺創造力的固有本質。這裡先簡要探索對稱性的奇妙領域來作為開場。英文的symmetry(對稱)這個字可以上溯到古希臘,組成的字根包括sym和metria,意思是「相同的分量」。當古希臘人稱某件藝術作品或建築設計是對稱的,他們的意思是,我們在作品裡見到的某個...