無解方程式：數學天才與對稱性之謎的鬥智之旅

對稱性

才思敏捷的劇作家蕭伯納（George Bernard Shaw）說過：「理性的人適應世界；不理性的人總想讓世界適應自己。因此，要進步，就得靠不理性的人。」在本書中，我們會遇到許多不理性的男女。創造的過程原本就是要探索前所未知的理智和情緒領域。只要稍加探究數學的抽象概念，便得略窺創造力的固有本質。這裡先簡要探索對稱性的奇妙領域來作為開場。

英文的symmetry（對稱）這個字可以上溯到古希臘，組成的字根包括sym和metria，意思是「相同的分量」。當古希臘人稱某件藝術作品或建築設計是對稱的，他們的意思是，我們在作品裡見到的某個小片段，也包含在所有其他部分的範圍中，而且出現的次數是固定的（那些部分是「相稱的」）。這項古代定義和現代的對稱觀點並不相符，倒是和我們的比例概念比較吻合。

不過，沒多久，偉大的哲學家柏拉圖（Plato, 428/427-348/347BC）和亞里斯多德（Aristotle, 384-322BC）就談到對稱與美的關係。亞里斯多德的說法是：「美的主要形式是有秩序的布局〔即希臘文的taxis〕、比例〔symmetria〕和定論的〔horismenon〕，這些元素用數學可以呈現得特別清楚。」後來，羅馬建築學泰斗維特魯威（Vitruvius, c.70-25BC）步希臘人後塵，找出具有「正當比例」的對稱性，並加以推廣普及，隨後更流傳縱貫整個文藝復興時期。維特魯威所著的《建築十書》（De Architectura Libri Decem），成為歐洲幾世紀來名副其實的建築學聖經，他在書中寫道：

神廟的設計是以對稱性為本，建築師必須嚴謹遵循設計原理。神廟依比例設計。比例指的是各尺度的相稱性，包括完整建築各組成部分的尺度關係，還有整體尺寸和選來作為標準之特定部分的尺度之關係。對稱原理便由此而生。
以現代的嚴謹數學觀點而言，對稱的意義（最早在18世紀晚期提出）實際上是指「不受某種可能改變的影響」。或如數學家赫爾曼•外爾（Hermann Weyl, 1885-1955）所說的：「若某事物由你做了某種處置，完成之後猶一如舊觀，則該事物便為對稱的。」

窮困潦倒的數學家——阿貝爾
生於1802年8月，歿於1829年4月，享年27歲

艱苦奮鬥的天才
後一年，阿貝爾初試啼聲便開創斐然成就。初生之犢不畏虎，阿貝爾大剌剌地向陌生領域踏出第一步，趾高氣揚想破解五次方程式。這道數學問題已經讓歐洲最棒的數學家苦思近三個世紀，如今一個高中小孩卻宣稱自己已經想出解法。

阿貝爾把他的解法拿給何姆波看，何姆波找不出錯誤。不過，他並沒有老練的數學家那種自信，所以把解法送往克里斯蒂安尼亞大學，請克里斯多夫•漢斯廷（Christopher Hansteen）和索瑞恩•拉斯穆森（S穋en Rasmussen）兩位數學家過目。他們也看不出解法有絲毫破綻。漢斯廷意識到這項發現的重要性，決定把這項解法轉寄給當代北歐頂尖數學家──哥本哈根的斐迪南•迪根（Ferdinand Degen）──請他交給丹麥研究院（Danish Academy）發表。

迪根是個腳踏實地的人，寧願謹慎求證確保無誤。儘管找不出阿貝爾的解法有什麼毛病，他仍然要阿貝爾寄來「更詳盡的求解推論過程，並以數值演示」作法──譬如試解方程式x5＋2x4＋3x2－4x＋5＝0。畢竟，大教堂學校的一位學徒，哪可能破解數學界最著名的難題，這種機率實在微乎其微。阿貝爾構思解題實例時，駭然發現，他的解法其實並不正確。然而，阿貝爾完全不因一時挫敗而止步不前，後來這項挫敗反而激使他成就劃時代的突破。無論如何，迪根對阿貝爾十分激賞，為他指點一條明路。

在迪根眼中，方程式研究是一種「沒有未來的課題」。他建議阿貝爾改把心力投注於一個新的領域，稱為橢圓積分（elliptical integral，一種很特別的微積分數學體系，可用以計算橢圓的弧長，故有此稱）。關於這件事，迪根說明道：「以適當作法認真從事研究的人……可以發現一道麥哲倫海峽，航向遼闊無涯的解析大洋。」

五次方程式
自從試求五次方公式解不能如願之後，阿貝爾心中一直沒有放下這個課題。儘管他沒有忽略迪根的忠告，投入另外兩個數學領域從事先驅研究工作，但對五次方始終無法忘情。當他從哥本哈根回來後，決定以嶄新的眼光重新審視這項課題。

這次他的目標不再是針對問題求解，現在他決意證明，世上沒有公式能求得五次方解。讀者應該記得，當初魯菲尼正是這樣主張，還說他在1799年至1813年間，已經以一連串研究證明這點，只是他沒有意識到，他的「證明」裡有一項嚴重破綻。由於魯菲尼的成果沒有廣泛流傳，阿貝爾在1823年時對他的成果並無所知。經過幾個月密集工作，這位身處挪威偏遠地帶的二十一歲學生，徹底解決了歷經幾個世紀的一道老問題。他提出嚴謹、確鑿的論據，證明五次方程式不可能以簡單公式求解。這裡所說的簡單公式是指，係數只包含算術四則和求根運算來表示的式子。

阿貝爾證明，對於一般五次方程式及較高次方程式，我們不能沿用二次、三次和四次方程式的求解作法。換句話說，五次方程式根本不存在只含係數的代數公式解。數學界群賢投注的心血，到頭來完全白費工夫。但阿貝爾的證明並不意味著五次方程式無法求解。舉例來說，五次方程式x5－243＝0顯然有解，x＝3，因為35＝243。此外，連五次方程通式也可以求解，或者可用電腦做數值運算求解，不然也可以引用橢圓函數之類的高等數學工具來求解。阿貝爾發現的是，若想以基本代數來破解五次方程，會碰到一項根本的缺失。

我們熟悉的加減乘除和求根運算功能已經發揮到極致，一旦遇上五次方程便束手無策。這項知識是數學史上的劃時代突破。這讓整個方程式研究途徑徹底改觀，原本只需設法求解，現在必須先證明某類方程式是否真的存有解法。
浪漫多情的數學家——伽羅瓦
生於1811年10月，歿於1832年5月，享年21歲

一位數學家的誕生
傳聞熱愛數學的伽羅瓦只花了兩天，就把雷詹德為兩年課程撰寫的教科書狼吞虎嚥地全部讀完。雖說如今已經不可能查證這段故事是否屬實（或許是誇張了），不過到了1827年秋天，伽羅瓦確實獨鍾數學，對其他學科完全喪失興趣。

伽羅瓦確實沉迷入魔。他拋開傳統教科書，直接閱讀研究論文原著。他讀了一篇又一篇專業數學文章，就像現在的年輕人接連閱讀《哈利波特》（Harry Potter）系列小說，此時他正全副心思研讀拉格朗日的專論《代數方程式分解和解析函數理論》（Resolution of Algebraic Equations and Theory of Analytic Functions）。

他讀了這部著作後眼界大開，雄心振起躍躍欲試。伽羅瓦對魯菲尼和阿貝爾的成果一無所知，花了兩個月時間試求五次方程式解。他和那位挪威年輕前輩一樣，剛開始自認為已經找到公式，後來在自己的解法裡找出一處錯誤而失意沮喪。一位編輯在後來提到阿貝爾當年所犯的錯誤（誤以為自己求出五次方解）到伽羅瓦又重蹈覆轍，而且「那位餓死的挪威幾何學家，和這位身陷囹圄……死生由命的法國幾何學家，兩人的驚人雷同還不止於此」。正如阿貝爾的先例，這次輕微挫敗反而促使伽羅瓦朝向更宏偉的目標──鑽研代數方程式是否有解的課題邁進。

伽羅瓦在1829年發表第一篇數學論文，刊載於《純粹和應用數學年報》期刊（Annales de math

對稱性才思敏捷的劇作家蕭伯納（George Bernard Shaw）說過：「理性的人適應世界；不理性的人總想讓世界適應自己。因此，要進步，就得靠不理性的人。」在本書中，我們會遇到許多不理性的男女。創造的過程原本就是要探索前所未知的理智和情緒領域。只要稍加探究數學的抽象概念，便得略窺創造力的固有本質。這裡先簡要探索對稱性的奇妙領域來作為開場。英文的symmetry（對稱）這個字可以上溯到古希臘，組成的字根包括sym和metria，意思是「相同的分量」。當古希臘人稱某件藝術作品或建築設計是對稱的，他們的意思是，我們在作品裡見到的某個...