矩陣理論

分塊矩陣是指一個大矩陣分割成「矩陣的矩陣」。舉例，以下的矩陣 P = [ 1 2 3 2 1 2 7 5 4 9 2 6 6 1 5 8 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&2&3&2\\1&2&7&5\\4&9&2&6\\6&1&5&8\end{bmatrix}}}

可分割成4個2×2的矩陣 P 11 = [ 1 2 1 2 ] , P 12 = [ 3 2 7 5 ] , P 21 = [ 4 9 6 1 ] , P 22 = [ 2 6 5 8 ] {\displaystyle P_{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}3&2\\7&5\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}4&9\\6&1\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}2&6\\5&8\end{bmatrix}}} P = [ P 11 P 12 P 21 P 22 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}} 。將矩陣分塊可以使得矩陣結構清晰，在某些時候可以方便運算、證明。兩個大小相同、分塊方式也相同的矩陣可以相加。行和列的塊數符合矩陣乘法要求時，分塊矩陣也可以相乘。將矩陣分塊相乘的結果與直接相乘是一樣的。用分塊矩陣求逆，可以將高階矩陣的求逆轉化為多次低階矩陣的求逆。 應用[編輯]

矩陣在許多領域都應用廣泛。有些時候用到矩陣是因為其表達方式緊湊，例如在博弈論和經濟學中，會用收益矩陣來表示兩個博弈物件在各種決策方式下的收益。文字挖掘和索引典組譯的時候，比如在TF-IDF方法中，也會用到檔案項矩陣來追蹤特定詞彙在多個檔案中的出現頻率。

複數可以用實係數的2×2矩陣表示： a + i b ↔ [ a − b b a ] , {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}

這種表示法與複數的加減法、乘法都相容。比如，2×2的旋轉矩陣可以用來表示模長為1的複數，一個向量乘以此旋轉矩陣可以視作一個複數乘以該模長為1的複數。對四元數也有類似的矩陣表達。

早期的密碼技術如希爾密碼也用到矩陣。然而，矩陣的線性性質使這類密碼相對容易破解。電腦圖像處理也會用到矩陣來表示處理物件，並且用放射旋轉矩陣來計算物件的變換，實現三維物件在特定二維螢幕上的投影。多項式環上的矩陣在控制論中有重要作用。

化學中也有矩陣的應用，特別在使用量子理論討論分子鍵和光譜的時候。具體例子有解羅特漢方程式時用重疊矩陣和福柯矩陣來得到哈特里－福克方法中的分子軌道。 圖論[編輯] 一個無向圖的鄰接矩陣 [ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}} 。

圖論中可以用矩陣描述一個有限圖。這個矩陣叫做相關矩陣的鄰接矩陣，記錄了圖的每兩個頂點之間是否有邊連接。對簡單圖來說，鄰接矩陣的元素只取兩個值：0和1,第 i {\displaystyle i} 列第 j {\displaystyle j} 行上取值為0，表示沒有從第 i {\displaystyle i} 個頂點連到第 j {\displaystyle j} 個頂點的邊，取值為1則說明有。如果是一般情況的話，第 i {\displaystyle i} 列第 j {\displaystyle j} 行上的取值是從第 i {\displaystyle i} 個頂點連到第j個頂點的邊的數目。距離矩陣則是表示圖中各頂點之間距離的矩陣。在研究網際網路等複雜網路的時候，鄰接矩陣常常會是稀疏矩陣。因此網路理論中有專門研究稀疏矩陣的方面。 數學分析[編輯]

在多元函數微積分學中，對二階偏導數存在的函數 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} } ，可以定義其海森矩陣： H ( f ) ( x ) = [ ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ) ] {\displaystyle H(f)(x)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)\right]} 。
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