茱蒂．維莉絲

培養駕馭數學的能力

小學的數學教學是螺旋式的教法，本章討論的多數主題都會在小學低年級時遇到，而這些主題每年也會再加入更複雜的知識。為了反映出孩子在教室中的學習狀況，本章將依照數學主題來安排，而非依年齡或發展階段來介紹。

在每一個主題中，所介紹的活動會依難度遞增的方式說明，從數學發展程度最低、適合年幼孩子的那些活動開始，逐漸將難度提升到那些適合發展程度較高的孩子。

以物品來計算加法和減法

數學基礎知識

孩子會透過操作物品，了解加法和減法的概念，利用能吸引孩子注意的物品（塑膠恐龍等），將它們放在數量不等的玩具堆裡。把數量較多的那堆放在左邊，藉以發展孩子之後進行做從左邊拿到右邊的減法運算時，所需要的神經模式。

排好每一堆物品，或就只是隨意堆成一堆，如果孩子的程度還沒到早期概念性思考的發展階段，他會需要從排列物品這種比較輕鬆自在的活動開始。在進一步使用恐龍或玻璃彈珠等物品前，利用組裝積木或樂高等更多的視覺或觸覺加強物，也能幫助一些孩子，使得相等或不相等的比較更加清楚明白。

接著，讓孩子從大堆的那堆拿出物品，加進小堆的那堆，直到他數兩堆物品的數目時，數量都一樣。讓孩子告訴你，他做了什麼事情讓兩堆的數量變成相等，有些孩子會說：「我從比較大堆的那一堆拿一些東西，加進比較小堆的那一堆。」還有一些孩子會說得更明確：「我拿了三個東西加進比較小堆的那一堆。」若孩子還不熟悉「加」這個詞，那麼他可能會說：「我從比較大堆那邊拿了三個，放進比較小堆的那邊。」

寫下孩子說的話，以及任何需要補充的說明，一起將句子唸出來。之後再將東西放回去，恢復兩堆原本的數量，請孩子在移動物品之前和之後，畫下兩堆東西的圖，然後描述他在畫什麼。

在孩子經過練習，且成功的讓兩堆數量相等後，他就已經準備好要發展加法的概念。這次從其中一堆裡，拿兩個東西放到另一堆，讓孩子描述你剛剛做的事情。如果他說：「你從那一堆拿兩個彈珠到另一堆。」鼓勵他再進一步說明，你可以問他，當你拿走兩個彈珠時，第一堆會發生什麼事？當你放進兩個彈珠時，第二堆會發生什麼事？接著繼續移動不同數量的物品來進行這個活動，逐漸在你們的對話中插入「加」這個字。如果他說：「你加了兩個到那一堆裡。」，你可以重複他的話，回說：「對，我放了兩個到那一堆。」

當他成功地使用「加」字來描述過程時，請他告訴你，當你從第一堆中拿了兩個、三個、四個物品加到第二堆之中時，要他告訴你第二堆的數量會發生什麼事。這麼做的目的是讓他能辨認出「你加了兩顆彈珠到第二堆的時候」。然後知道，「當你加了三顆彈珠到第二堆時，『這堆就會因為多三個而變得比較大堆』。」

介紹符號

接著，以數學符號代替你們的敘述，從加號開始，將它帶進前一個活動中。最好可以像在十一章中描述的那樣，先利用從紙上剪下來的加號，或磁磚間隔片當作加號開始。輪流讓物品堆成不同的小數量，然後在兩堆之間放個加號，大聲說出你在排什麼：「我有三隻恐龍，我正在加兩隻恐龍。」接著再將兩堆合併，問他「一共」有多少隻。

當孩子對這些口頭描述（這可能要幾天以上的練習）駕輕就熟時，就開始寫下利用數字和物品配對的活動。例如，兩隻恐龍，然後一個加號，再來是三隻恐龍，這個排列可以寫成2+3。讓孩子將兩堆東西合併，數一數合併後的總數，報告現在一共有五隻恐龍後，寫一個等號以及數字「5」來完成等式。用加號做完這些活動後，你也可以重複這個過程來練習減法。

拓展數學基礎知識

當孩子將新的數學概念運用在日常生活中時，會特別記住這些概念。你可以將孩子最喜歡的填充娃娃排成一圈，開個午茶派對，給每一個填充娃娃一、二或三片薄脆餅乾，讓孩子之後可以加出總共給了多少片餅乾。

你可以讓他預測，如果還有一個娃娃也加入派對的話，他需要再多幾片餅乾？這個練習做完後，請他再預測如果又加進另一個娃娃，他總共會需要幾個餅乾？這會提供他在腦中「加總」的機會，然後在他實際加進另一個娃娃時，給他幾片餅乾，數一數新的總數，看看他是否答對了。

這個遊戲也可以反過來玩，當娃娃離開派對時會帶走餅乾，接著拿走兩片餅乾時，請孩子描述總共還剩下幾片餅乾。

分數

大部分的孩子在計算分數乘法時，因為從沒學過分子、分母要交叉相乘的原因，所以無法了解為何你在計算分數加法時，不能交叉相加，常常沒有先改變分母讓分母相同就相加分子，而這種分數的錯誤加法也就可以被理解。

以2/3+4/5為例，在孩子的想法中，只要將分子相加成2+4=6，及將分母相加成3+5=8，便可得出2/3+4/5=6/8。如同之後所要說明的一樣，當數學規則（算法）是經由孩子自然的探究而「發現」，並非沒有背景語境就死記的話，就比較不會發生這些運算過程的錯誤。此外，孩子在教室的教學常是為了標準測驗而鼓吹他們迅速解決很多問題，所以他們沒有動力去估算或確認他們的答案。

分數基礎知識的活動

你可以鼓勵孩子發現數學的推理過程，藉此幫助他修補數學教育中的漏洞。藉由推論過程、引導公式、操作物品來看出2/3+4/5比6/8多很多。

你可以幫助孩子培養評估答案的習慣，看看答案是否合理。讓孩子看到圍繞在他四周的數學、認出透過不同數學主題反覆出現的模式，以及評估哪些內容根據先前的知識判斷是有邏輯的。藉由你花在這些事情上的時間，將會培養出他的分數基礎知識，擴展數學理解力。而他在考試方面也會獲得好成績，因為他和你一起活動的經驗，教會他利用邏輯和模式，使他可以看著自己的答案，思考答案是否合理。

發展數學基礎知識

孩子最熟悉的分數就是1/2，像是「你想要吃我一半的三明治嗎？」或是「你的蠟筆可以分我一半嗎？」這個單位是開始探索分數的一塊堅固基石。在測量單元結束後，接著就比較一杯裝有半杯的水以及裝滿一杯的水、半塊餅乾和一塊餅乾、半本書（打開到中間）和一本書的課程。你可以鼓勵孩子告訴你，他在生活中所看到或聽到使用分數的事物，一天之中，他所遇到與分數相關的問題。如果他說：「有很多小孩今天都生病了」，你就問「班上有一半的人都缺席嗎？」當他說「沒那麼多」的時候，叫他描述缺席同學的總數量。他可能會先給你一個數字，但鼓勵他用文字來描述：「你說你不認為有一半的同學缺席。那你覺得缺席人數有到班上一半同學中的一半嗎？」

當孩子的數字基礎知識發展得更好時，你們可以一起製作索引卡，上面寫著1/2和1/4。孩子可以將這些索引卡當成標籤，放在家裡數量達1/4或1/2的東西上，像是洗碗機、狗裝水的碗，或果汁罐。當這些東西的數量改變時，他可能會想要改變一下這些卡片。

早期的概念式思考

從孩子對硬幣的興趣中，你可以將一分錢的硬幣分成1/2堆，用來表示25分錢是100分錢的1/2又1/2。從100分錢開始，被標示著1/4的部分就會有25分錢。然後拿出一個25分錢的硬幣，開始說明它與25分錢（100分錢的1/4）等值的關係。告訴他這個東西叫作「四分之一錢」，接著問他為什麼會叫作四分之一錢。他可能會認為因為四分之一錢代表100分錢的1/4。然後你可以讓他知道一元（100分錢）等於多少個四分之一錢，甚至將一個一元的玩具硬幣（或是你畫一個）切成四片，在每一個一元硬幣的碎片上放一個四分之一錢的硬幣。

如果孩子喜歡玩錢幣，那麼你或許可以從分數相等，以及其他硬幣問題開始著手。如果他喜歡運動，聽到有場比賽正在前四分之一場時，那個字對他來說就會有新的意義，等到他幫你準備晚餐，你請他倒四分之一杯水的時候，這個字又會再度出現，而分數也就變成他日常生活的一部分。如果他喜歡畫畫或是分類／排序，你就可以打開裝有二十支蠟筆的盒子，接著只需稍微推他一把，他就會開始用分數的角度來研究這些蠟筆，包括幾分之幾的蠟筆是藍色系的，幾分之幾是紅色系的。

較高階的概念式思考

在孩子使用分數文字，甚至是將物品分成好幾等分時，你會發現問孩子有沒有一個數字比一大但比二小的問題，會很有趣。如果他還處在早期的概念式思考階段，即使已經做過分數問題，他也可能說「沒有」。但如果他的程度已經在較高階的概念式思考階段，或正往這階段邁進的話，他就可能會說「有，有很多比一大但比二小的數字。這些數字叫做分數！」在你小學三年級，老師教你分數之前，你是否也希望你的父母讓你能先接觸到分數？

當你幫助孩子以各種不同的方式來想起分數時，例如，半個月亮的意義、地圖上到你目的地的半路、下午三點半，以及當他在等他最喜歡的節目開始前的半小時感覺像什麼等，如此一來，會讓孩子本身有動機想藉由分數了解這些事情。他會建立一個內在的概念和模式，這個概念和模式在他忘記規則時，能讓他重建分數的意義。這才是你給孩子真正的數學力量的禮物。

分子／分母的混淆

當我的學生對於記住哪個是分子、哪個是分母有困難時，我會從一盒六枝裝的白板筆開始，每張桌子的組員都給一個類似的盒子（你可以在家用白板筆、蠟筆或甚至六瓶裝的飲料來做）。他們會數一整盒裡的六枝白板筆，在他們各自的白板上寫下「6」。之後我拿起盒中的一枝白板筆，並指向白板筆以及白板上的數字「6」說：「我從盒子裡有六枝筆開始。」然後在白板上的「6」上面寫上「1」。既然1和6都在白板上了，我就在這兩個數字中間畫一條水平線，邀請學生在我將白板筆從盒子裡拿出來時，利用那些數字，將我做的事情說成一個故事。

當你在家做這個活動時，你可以引導孩子了解1/6代表分數，那個分數表示你拿走的六枝白板筆的等分。問問孩子：

「你認為『6』代表什麼？」（整盒白板筆的數目。）

「你覺得『1』」代表什麼? 」（你拿出來的白板筆數目。）

「你如何解讀出這個數學密碼，來表示我從盒子裡拿走的白板筆的分數？」（如果你和孩子在分數活動之前，玩過有趣的破解密碼遊戲，就可以利用「密碼」這個字代替「公式」，這會讓他保持高度興趣。）接在1/6之後，你也可以寫下文字「六分之一」，說明這個意思是「六等分中的一個。」

「既然已經拿出一枝筆了，你要如何替原本有六枝筆的盒子裡剩下的白板筆寫一個數學密碼？」強調「六」這個字，這跟零錯誤的數學類似，因為你剛剛才說過，所以孩子會重複「六」這個字。你可以將數字寫下當分母，然後在上面畫條線，這樣在他數出盒子裡剩下的五枝筆時，只會有一個地方留給他寫分子。

在你加強這個概念的同時，讓孩子的學習優勢和興趣帶領他去探索，寫出其他分子和分母。一旦孩子了解哪個數字要在上面，哪個要在下面時，就可以用自己的話說明上面的數字和下面的數字代表什麼意思，此時，你還可以介紹約分和簡化的正式名稱。之後我會說一個故事，幫助孩子將後續的分數與除法連結起來，例如2/4就是2除以4，或是8/2表示8除以2，所以可以約分或簡化成4。

分數運算的活動

請孩子用同樣的數字做各種計算，例如，「你可以用哪些數字相加，得到你的生日數字或今天日期的數字？」孩子可能從兩個數字開始，然後了解到他可以加三個、四個或更多數字，之後還會包括分數或小數點，甚至發現有更多方法可以算出7月21日這個答案。

經過幾次練習活動後，孩子面對分數會愈來愈自在習慣，對這樣的孩子來說，另一個讓他「開竅」的問題就是：「如果你將兩個數字相乘，會不會有得出比兩個數字都要小的乘積的時候？」如果他說：「沒有，數字相乘時，積都會變得比較大。」此時，你就有一個可以介紹分數乘法的教學時機，因為當兩個有相同符號（都是正數或都是負數）的分數相乘時，積數永遠都會比其中任何一個分數小。

如果孩子沒有答對這個問題，你可以提出更多抽象的問題，像是「你寧願有四分之一的披薩的一半，還是一半披薩的四分之一？」若是你敘述的問題像是只有一個單一答案──但其實兩個選擇都是正確的，而孩子在算出1/4x1/2或1/2x1/4都等於1/8時，他就會有「開竅」的感覺。此時，他可以畫一個披薩來確認這個答案，有這個個充滿嗅覺、味覺、視覺的多重感官記憶，也有一個會保存一輩子的對話。

當你和孩子在一起時，你會很驚訝地發現周遭就有許多計算分數的機會。例如，在你要幫車加滿油，但油箱還有一半的油時，你就可以告訴孩子油箱的容量是多少（通常是12至25加侖），看看他是否能預測，要將另一半油箱加滿時，油槍還要加多少加侖的油進去。你也可以讓孩子預測里程數和汽油價錢，來了解他需要收集什麼資訊（從加滿油的里程數、油箱的加侖數、油箱加滿後可以開多遠等事情開始。）當他可以將里程數的分數與每加侖的價錢相乘後，就會發現你載他去其他市鎮看足球比賽要花多少錢。

如果孩子會讀樂譜，他會喜歡將分數與樂譜上音符的長短相連結，然後在他想著那些音符的分數時，彈出全音符、半音符、四分音符、八分音符等。他會很快的認出音符之間的關係，像是兩個八分音符等於一個四分音符。

培養駕馭數學的能力

小學的數學教學是螺旋式的教法，本章討論的多數主題都會在小學低年級時遇到，而這些主題每年也會再加入更複雜的知識。為了反映出孩子在教室中的學習狀況，本章將依照數學主題來安排，而非依年齡或發展階段來介紹。

在每一個主題中，所介紹的活動會依難度遞增的方式說明，從數學發展程度最低、適合年幼孩子的那些活動開始，逐漸將難度提升到那些適合發展程度較高的孩子。

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孩子會透過操作物品，了解加法和減法的概念，利用能吸引孩子注意的物品（塑膠恐龍等），將它們放在數量...

推薦序 了解孩子的小腦袋，幫助他們學習——歌蒂‧韓
推薦序 預約孩子優秀的未來——許銘欽
導論
如何使用本書

第一部：讓大腦更聰明
第一章：學習效果好，有科學根據
第二章：孩子的學習優勢：發現智能及學習風格

第二部：閱讀
第三章：為閱讀無障礙打下基礎（三～八歲）
第四章：朗讀流暢的方法（四～八歲）
第五章：建立並豐富字彙庫（七～十一歲）
第六章：閱讀理解力（七～十一歲）
第七章：增加閱讀動力的方法（七～十一歲）
第八章：準備測驗的方法：字彙及閱讀理解力（七～十二歲）

第三部：數學
第九章：盡管數學教育失敗，孩子還是能夠成長茁壯（所有年齡）
第十章：鎖定孩子的數學程度（所有年齡）
第十一章：面對數學挑戰——以大腦機制為基礎的解決之道（所有年齡）
第十二章：培養駕馭數學的能力：重要的主題（所有年齡）
第十三章：激發數學學習動力的方法（所有年齡）
第十四章：準備測驗的方法：數學（所有年齡）

第四部：社會科目及自然科學
第十五章：激發對自然科學及社會科目的興趣（所有年齡）
第十六章：教室外的社會科目（所有年齡）
第十七章：教室外的自然科學（所有年齡）
第十八章：加強自然科學及社會科目的學習技巧（八～十二歲）
第十九章：自然科學及歷史科的長期報告及專題企劃（八～十二歲）
第二十章：大腦容易理解的考試準備方法（所有年齡）

推薦序 了解孩子的小腦袋，幫助他們學習——歌蒂‧韓
推薦序 預約孩子優秀的未來——許銘欽
導論
如何使用本書

第一部：讓大腦更聰明
第一章：學習效果好，有科學根據
第二章：孩子的學習優勢：發現智能及學習風格

第二部：閱讀
第三章：為閱讀無障礙打下基礎（三～八歲）
第四章：朗讀流暢的方法（四～八歲）
第五章：建立並豐富字彙庫（七～十一歲）
第六章：閱讀理解力（七～十一歲）
第七章：增加閱讀動力的方法（七～十一歲）
第八章：準備測驗的方法：字彙及閱讀理解力（七～十二歲）

第三部：數學
第九章：盡管數學...