金民衡

名人推薦：要是我在高中就讀到這本書，也許我就不會放棄數學吧！
──崔在天　生物學家／梨花女子大學客座教授

這本書幫助讀者了解至今只有知識份子們才懂的艱澀知識，
隨著時間流逝，這些都會融入人類的文明，變成人類的常識。
──朴炯柱　數學家／亞洲大學校長

雖不敢說愛上了數學，但對數學徹底改觀，終於敢直面數學。
──李賢雨　書評家

對於今時今日必須具備統合思維的讀者們，是非常有意義的一本書。
──權大勇　高麗大學英才教育院融合科學委員

概率論的善與惡

各位是善良的人，還是邪惡的人？判斷善惡的標準是什麼？給各位諸多幫助的人就是善良的人？或者不違法的人就是善良的人？我偶爾會問學生這些問題。還有，假設倫敦海德公園今晚有10人遭到殺害，這算不算一件大事？

老師的問題看似簡單，可是很難回答。發生殺人案件當然是一件大事。但就數據而言，死亡人數比去年少，卻意味著治安有了顯著改善。

從古典倫理學來看，這個問體可算是非倫理範疇。不過就像你們回答的，不能不看事件的整體性，單憑「就算死一個人也不行！」的原則，一聽到發生殺人案件就妄下定論，覺得發生了一件驚天動地的大事。事實上，死了10個人，可以說很多，但也可以說很少。舉例來說，假如我們不考慮社會資源分配問題，為使死亡人數降到0，貿然將原先用在其他地方的資源挪用，說不定會引起更大的問題。此類倫理學範疇的問題，只有結合科學根據，才能做出正確判斷。這正是功利主義的觀點。

英國工業革命時代的思想家傑里米•邊沁（Jeremy Ben-tham）是功利主義創始人，他最出名的就是提出追求「最多數人的最大幸福」的社會制度。光憑這句話多少能嗅出定量思維的端倪吧？事實上，長久以來，人類文明史上的倫理思維一直都帶有定量屬性。邊沁受到蘇格蘭啟蒙運動奠基者之一，法蘭西斯•哈奇森（Frais Hutcheson）的「道德計算法」影響，提出「幸福計算法」。而哈奇森在其著作《論美與德性觀念的根源》中，通過「倫理議題的等量法」方程式，以數學演繹倫理問題，比如說，「道德影響力 = 慈悲心 X 能力」。即使哈奇森的論點放到現在顯得很突兀，但站在科學視角分析道德問題，在當時蔚為風氣。不僅如此，法蘭西斯•哈奇森的觀念也深刻影響了大衛•休謨（David Hume）和亞當•史密斯（Adam Smith）。

接下來，我要介紹大家一個早期文藝復興時期的有趣人物──「會計學之父」盧卡•帕西奧利（Fra Luca Bartolomeo de Pacioli）。大多數的人都不知道有會計學之父的存在。盧卡•帕西奧利生活在文藝復興鼎盛期，1447年到1517年。身為方濟會的修道僧的他，曾和李奧納多•達文西（Leonardo de Vinci）住在一起，兩人會一同研究、分享數學知識和許多點子。盧卡•帕西奧利除了對文藝復興時代的學術文化發展作出卓越的貢獻之外，他的著作《算術、幾何、比例總論》也讓他在科學史上佔有舉足輕重的地位。書名是不是很長？1494年，他的這本書出版，內容集當時的會計、算術、代數、幾何等數學知識之大成，故被後世認為是會計學的鼻祖。

現在的我們學習會計學的基本前提是，要懂基礎數學，可是，好像沒看過數學教科書提過會計學內容。

也因此，我們能從這裡窺見當時人的學術分類，會計學的複式記帳法（Double Entry Book Keeping）在這本書首次亮相。複式記帳法是經營公司時整理帳戶的方法。為了區分資產帳戶、現金帳戶、債權帳戶等各種帳戶，把進入每一個帳戶的資金紀錄在不同的帳戶，每筆交易結果分別被記錄在借方和貸方帳戶，雙方總額必須滿足「資產=資本+負債」的等式。這本書的副標題也很有意思，叫做「威尼斯商人如何創造現代文明？」。隨著文藝復興時期而誕生的全新建築風格和蓬勃發展的科學技術，勢必需要龐大的資本投資，因而比起政府，當時的產業更仰賴私有資本家，比如美第奇家族。直到今日，我們仍使用出自這本書的複式記帳法，有效幫助掌握會計、財務。

不過以數學角度來看，排除會計學、算術和幾何，這本書還有一個重要的內容，我個人認為這個內容改變了世界史的前進方向，那就是「點數分配問題」（Problem of Points）。透過簡單的例子，能幫助大家理解這個問題。

點數分配問題出自簡單的賭博遊戲。參加者A和B參加了扔銅板的遊戲，遊戲規則是，如果扔出的銅板出現正面，A得1分，反之，B得1分，先贏到決定分數的人贏得全部賭金。而雙方下了相同金額的賭金，也就是說，假設各下注一萬元，贏的那一方能賺回兩萬元。

盧卡•帕西奧利針對這個簡單的賭博遊戲，提出了重要的問題：「假如遊戲玩到一半，意外中止，則賭金如何分配？」例如，在A獲得5分和B獲得3分的狀況下，卻因意外失火或其他原因，不得已中斷賭局，且無法重新開始，試問賭金如何分配？

要是把事情想得簡單一點，既然贏的人是A，就讓A拿走全部賭金，怎麼樣？問題的關鍵是想贏得全部賭金是有條件的，條件就是「必須玩到最後」，然而，現在賭局卻被中斷了？

在科學範疇裡，解決問題固然重要，然而更重要的是，從解決問題的過程中揭示新的問題。有時相較於解決問題，通過揭示好的新問題，更有利學術的飛躍發展，而帕西奧利提出的問題就是屬於此類問題。

讓我們一起來思考帕西奧利提出的問題究竟有何難度。就像你們剛才所說，既然A贏了，那就讓A帶走全部賭金就行了，可是這樣做，可能導致有人覺得結果不公平。因為賭局不是還沒結束嗎？在此面臨的問題，是如果賭局中斷時的比分是1：0，A一樣能帶走全部賭金嗎？

聽老師這麼一說，好像真的不太公平。很難從比分1：0去判斷這場比賽誰輸誰贏。要是全部賭金真的都歸A，大概每個人都會覺得不公平。

那該怎麼做才好？為了解決這個困境，帕西奧利提出了以下的答案：如果賭局中止時的分數是5：3，就按5：3的比例分配賭金。這樣做是不是還算有道理？

如果是同分，則平分賭金。按分數比例分配似乎很合理。

可是，按16世紀中期的知名數學家尼科洛•塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia）的見解，帕西奧利是錯的。塔爾塔利亞同時指出點數分配問題比預期得還要複雜。

為什麼說按5：3比例分配是錯的？難道是因為無法整除？雖然說四捨五入或無條件捨去的確也值得爭議，但我可以告訴各位，不是這種根本性的問題。讓我來具體說明帕西奧利的方法哪裡出了問題吧？

5：3和500：300的情況好像不能相提並論。萬一目標分數是501分，那麼500：300的情況下，獲得500分的人不是就跟贏了差不多嗎？

很好的想法。按5：3的比例分配看來沒問題，根據目標分數，調整賭金分配比例好像也不錯。先撇開500：300這麼誇張的分數不談，假如目標分數是11，而比分是10：6的話，拿到10分的那一方不滿是可想而知的。比方說，賭局目標分數是100，可是賭局中斷時的比分不是5：3，而是1：0。遇到這種情況，想預測哪一方是最後贏家難如登天，若把全部賭金給先贏到1分的人，會讓人覺得很不公平。指出這一點的塔爾塔利亞聲稱賭金分配是個無解的問題。

隨著歲月流逝，人類進入科學革命時代，在科學史上舉足輕重的人物相繼誕生，如伽利略、牛頓等。有兩個人令這個問題再次浮上水面，一個是數學家暨物理學家費馬，另一個是有名的數學家暨哲學家布萊茲•帕斯卡（Blaise Pascal）。一開始，帕斯卡閉門苦思，而後1654年某一個夏日，他執筆傳信予父親的至交費馬，歷時兩個月的書信往來討論，這個問題終於被兩人成功解決。

他們是怎麼解決的？

他們認為現在的分數不重要，往後的分數會是多少才重要。說穿了，問題核心是A與B未來各有多少獲勝「機率」。5：3只是直至賭局中斷之前的比分。也就是說，帕西奧利考慮的是過去機率。而帕斯卡和費馬大膽突破常規觀點，提出新的見解，要計算的雙方未來的獲勝機率，而非過去。

機率考慮的不是過去，是未來。這麼說來，機率的概念是在那時候誕生的囉？

在現今的時代，每個國高中生都會算簡單的機率問題，不過在當時，機率是個尚待闡明的概念。你們想不想聽一聽他們的書信內容？大致內容是這樣的。若現有一賭局，而賭局規定先贏得7分的一方就贏得這局。假設現在比數是5：3，也就是說，A再得2分，或者是B再得4分，此局就宣告結束，對吧？那麼，無論如何5分以內一定會結束比賽，沒錯吧？因為A只要在未來的5次裡贏兩次，或是B贏4次就達成終局條件。讓我們觀察未來5次丟銅板的結果，並列出B可能獲勝的情況。

上圖列出了所有B獲勝的情況。總之，出現一次正面或是根本沒出現正面，B就獲勝，是吧？藉此計算出獲勝機率。以1號圖來說，最先出現的是正面，接著是反面、反面、反面和反面，每次銅板正反面出現的機率是2分之1，全部相乘就是32分之1。恰出現1次正面的情況共有6次，加總就是32分之6，也就是16分之3。

因此，A獲勝機率是1減16分之3，即16分之13。經過計算，費馬和布萊茲•帕斯卡得出A獲勝機率為16分之13，因此應該給A16分之13 2萬元 16,250元。而B獲勝機率為16分之3 2萬元 3,750元。用現代話解釋就是「A和B各自獲得賭金的期望值」。樣本空間和期望值的概念也首次在帕斯卡和費馬的書信中登場。這個新見解的重要程度，從著名數學家齊斯•德福林（Keith Devlin）用「費馬和帕斯卡的書信往來，使世界邁入現代化的那些信」當成其著作《The Unfinished Game》的副標題，可見一斑。

老師之前說，複式記帳法創造了現在的世界，我們總覺得有些誇大不實，但機率是改變世界的重大發現，這一點毋庸置疑。今時今日，人們一打開手機，無論是降雨機率，或是提供即時路況的導航系統，幾乎都會用到機率；各類運動競賽也會透過機率預測比賽結果；總統大選投票結束，人們也會馬上預測候選人勝選機率。

你們覺得若沒有機率概念，人們能否維持正常生活？機率、可能性和期望值，諸如此類，一直是17世紀優秀超卓的天才們才懂的概念，而現在，它已經滲透到人們的日常生活。甚至20世紀日益成熟的量子力學領域，把原子的模樣、位置和速度建立在機率的基礎上，而不是遵循固有屬性。如同我們已知的事實，人類是由原子構成的，對吧？因此，按現代科學觀點來看，我們全都是機率性的存在。光講到這裡，大家應該能同意機率的影響力很驚人，連帶大幅改變了人類看世界的方式。再者，由於諸多現實問題皆涉及機率，因此機率論普遍被人們所接受。17世紀帕斯卡和費馬用書信討論看似幼稚的賭博問題，最終為世界帶來翻天覆地的變化。

然而，機率論在17世紀首次出現時，人們並沒有接受它。花了很長一段時間，社會才接納了這個理論。為什麼？因為機率是針對未來作預測的思維體系，某種程度來說，是在違逆神的旨意。

概率論的善與惡

各位是善良的人，還是邪惡的人？判斷善惡的標準是什麼？給各位諸多幫助的人就是善良的人？或者不違法的人就是善良的人？我偶爾會問學生這些問題。還有，假設倫敦海德公園今晚有10人遭到殺害，這算不算一件大事？

老師的問題看似簡單，可是很難回答。發生殺人案件當然是一件大事。但就數據而言，死亡人數比去年少，卻意味著治安有了顯著改善。

從古典倫理學來看，這個問體可算是非倫理範疇。不過就像你們回答的，不能不看事件的整體性，單憑「就算死一個人也不行！」的原則，一聽到發生殺人案件就妄下定論，覺得發...

作者的話
展卷
序言

第一課　什麼是數學
第二課　改變歷史的三大數學發現
第三課　概率論的善與惡
第四課　無解也沒關係
第五課　正解，該如何證明？
第六課　宇宙的實體、模樣、位置與計算
第七課　不用數字來理解數學

結語
特別講座

作者的話
展卷
序言

第一課　什麼是數學
第二課　改變歷史的三大數學發現
第三課　概率論的善與惡
第四課　無解也沒關係
第五課　正解，該如何證明？
第六課　宇宙的實體、模樣、位置與計算
第七課　不用數字來理解數學

結語
特別講座