鍾玉泉

《復變函數論》第三版是在第二版的基礎上，集擷作者多年教學心得和科研成果，并根據1988年全國復變函數編寫提綱討論會精神修訂的。此次修訂著眼于進一步提高質量，更加適應多數學校的教學需要，保留第二版闡述細致，便于自學的特點，對已發現的錯誤和不妥之處，予以改正。《復變函數論》內容包括：復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、解析函數’的冪級數表示法、解析函數的洛朗展式與孤立奇點、留數理論及其應用、共形映射、解析延拓和調和函數共九章。對于加上*號內容，供學有余力的學生選學。《復變函數論》可作為高等師范院校數學系的教材，也可為其他理工院校、教育學院所選用。

引言
第一章 復數與復變函數
§1.復數
1.復數域(3)
2.復平面(5)
3.復數的模與輻角(7)
4.復數的乘冪與方根(13)
5.共軛復數(16)
6.復數在幾何上的應用舉例(18)
§2.復平面上的點集
1.平面點集的幾個基本概念(21)
2.區域與若爾當(Jordan)曲線(22)
§3.復變函數
1.復變函數的概念(28)
2.復變函數的極限與連續性(33)
§4.復球面與無窮遠點
1.復球面(38)
2.擴充復平面上的幾個概念(40)
第一章習題

第二章 解析函數
§1.解析函數的概念與柯西一黎曼方程
1.復變函數的導數與微分(47)
2.解析函數及其簡單性質(49)
3.柯西-黎曼方程(51)
§2.初等解析函數
1.指數函數(58)
2.三角函數與雙曲函數(60)
§3.初等多值函數
1.根式函數(65)
2.對數函數(73)
3.一般冪函數與一般指數函數(78)
4.具有多個有限支點的情形(80)
5.反三角函數與反雙曲函數(87)
第二章習題

第三章 復變函數的積分
§1.復積分的概念及其簡單性質
1.復變函數積分的定義(96)
2.復變函數積分的計算問題(99)
3.復變函數積分的基本性質(100)
§2.柯西積分定理
1.柯西積分定理(103)
2.柯西積分定理的古莎證明(106)
3.不定積分(112)
4.柯西積分定理的推廣(114)
5.柯西積分定理推廣到復周線的情形(116)
§3.柯西積分公式及其推論
1.柯西積分公式(119)
2.解析函數的無窮可微性(123)
3.柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理(126)
4.摩勒拉(M0rera)定理(128)
5.柯西型積分(130)
§4.解析函數與調和函數的關系
§5.平面向量場——解析函數的應用(一)
1.流量與環量(137)
2.無源、漏的無旋流動(139)
3.復勢(139)
第三章習題

第四章 解析函數的冪級數表示法
§1.復級數的基本性質
1.復數項級數(147)
2.一致收斂的復函數項級數(150)
3.解析函數項級數(153)
§2.冪級數
1.冪級數的斂散性(154)
2.收斂半徑R的求法、柯
西一阿達馬(Hadamard)公式(157)
3.冪級數和的解析性(158)
§3.解析函數的泰勒(Taylor)展式
1.泰勒定理(159)
2.冪級數的和函數在其收斂圓周上的狀況(162)
3.一些初等函數的泰勒展式(164)
§4.解析函數零點的孤立性及惟一性定理
1.解析函數零點的孤立性(170)
2.惟一性定理(173)
3.最大模原理(175)
第四章習題

第五章 解析函數的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點
§1.解析函數的洛朗展式
1.雙邊冪級數(184)
2.解析函數的洛朗展式(185)
3.洛朗級數與泰勒級數的關系(188)
4.解析函數在
孤立奇點鄰域內的洛朗展式(189)
§2.解析函數的孤立奇點
1.孤立奇點的三種類型(193)
2.可去奇點(194)
3.施瓦茨(Schwarz)引理(195)
4.極點(197)
5.本質奇點(199)
6.皮卡(Picard)定理(200)
§3.解析函數在無窮遠點的性質
§4.整函數與亞純函數的概念
1.整函數(209)
2.亞純函數(210)
§5.平面向量場——解析函數的應用(二)
1.奇點的流體力學意義(212)
2.在電場中的應用舉例(214)
第五章習題

第六章 留數理論及其應用
§1.留數
1.留數的定義及留數定理(225)
2.留數的求法(227)
3.函數在無窮遠點的留數(231)
§2.用留數定理計算實積分
……

第七章 共形映射
第八章 解析延拓
第九章 調和函數