차지혜

◎原來，我們輕忽了運算

◆運算，是數學的基礎工程
為什麼在小學低年級徹底掌握運算很重要呢？最主要的原因是，此時學到的重要觀念，將會成為小學高年級，甚至是國、高中時期數學能力的基礎。低年級時學習的運算概念，將在往後學習進階概念時派上用場。事實上，我們甚至找不到和運算毫無關聯的部分──也就是說，學生必須學好運算，以後才能確實地吸收更困難的課程。
而第一個關卡，是三年級時學生第一次接觸到的「分數」。有人曾說過，第一次產生想放棄學習數學的念頭，就是學到分數的時候。根據韓國教育課程評價院所發表的《小學．中學學習成效低落之學生成長過程研究》（2018），針對50位學習成效不佳的學生進行研究，結果幾乎所有學生提到的數學難關都與「分數」有關。這項研究計畫特別到許多課堂上親自觀察，在學生實際學習了分數、教師向學生再行確認過後，甚至有半數以上的學生表示他們不會分數的減法運算。
看到孩子在學習分數時感到如此困難，連教師也不知道該如何教分數而吃盡苦頭，就知道分數是個多大的障礙了吧？
在學習分數之前所需要的過程，就是合成、分解、分組計數和除法，如此一來才能將「1/2」理解為「1平分為2」的值，或是「把1分為兩個等分中的其中一份」。然而，大部分學生都運用背得朗朗上口的九九乘法，一下子就解完題，而忽略了這段過程。於是，他們難以理解分數的意義，在計算分數時，通分與約分也就變得相當困難。
在德國，合成、分解、分組計數是絕對不會受到忽視的運算，學校會讓學生練習在各種情況下對各種數字進行加總和分解的運算，從運用實物、數線、貼紙到說故事遊戲等多元的方式，十分豐富。剛開始會利用圖像，幫助學生在腦中簡單地爬梳數學概念，接著以數線、算式這樣的順序，階段式地慢慢帶出除法的概念。在這過程中，還會貼心地先排除九九乘法，盡心盡力地將除法概念解釋清楚（第六章中將會介紹）。而培養好識讀數字的能力和數感的孩子，即使遇到了分數也不會慌張無措。
運算，也是影響成績的重要關鍵。我在小學低年級子女的諮商面談中，聽了中學數學老師的經驗談，他表示經常會另外替成績在特定水平以下的孩子做課業輔導，而他們都一致認為運算很困難，也很難學得好。
不僅如此，一些想朝著頂尖邁進，成績中上的學生，也常因為運算而遭遇阻礙。不只是頻頻計算錯誤，有的學生是運算速度緩慢，導致考試時因時間不足而無法解完所有試題並仔細檢查，所以真正的實力未能反映在成績上，真是相當可惜。
我曾輔導過能獨立解開最高難度試題、相當擅長數學的國小三年級生，由於他對高難度的概念已理解得很透徹，因此能正確地寫出算式，不過在進行如18x31如此單純的計算時，卻花費了許多時間。
相反地，按照德國課本的方式學習的孩子，卻僅需幾秒即可算出這類題目的解答，這是因為他們懂得將18x31轉換為18x30＋18x1再計算的緣故。由於他們已經養成了敏銳的數感，所以能更輕鬆、更迅速地進行這類型的心算。此外，德國的教科書也不斷強調「推估」這點。課程中會讓學生先練習思考「這道算式的答案大約會是多少呢？」再導出算式的答案。如此一來，即便計算出錯了，也能立刻發現問題。因為學生已知18x30的答案會比20x30的值更小，所以如果計算的結果是640，就能察覺到異常，再試著檢視一次計算過程。這是在實際考試時，非常有助於減少失誤的重要直覺。
如此依循德式學習法運算的學童，由於能正確地算出解答，因此還有時間再檢查一次。若思考解題方式的時間花得比別人少，失誤自然會減少，而成績也會考得更好。

◆運算能力取決於學習數學時的情緒
「學業情緒」是我們在腦中想起「學習」時所產生的平均情感狀態，這是面對學習時的情緒經驗在反覆累積後所形成的。這句話從腦科學的角度來看也是正確的。因為掌控情感的大腦邊緣系統，會直接影響負責處理資訊的大腦皮質，所以若邊緣系統活化，那麼大腦皮質也會隨之活化。意即人感到愉快時，處理資訊與解決問題的能力也會隨之提升，而憂鬱時則相反。也就是說，當「學習」這項理性的行為與快樂的情緒同時發生時，我們將能獲得最大的學習效果。
那麼對數學而言，培養學業情緒的起點是什麼時期呢？我認為是國小低年級時期。雖然這是理所當然的道理，不過我們總得踏穩第一步，往後才能走在正確的道路上。此外，若想培養對數學的正向情感，累積學習成就感是很重要的，而在整個12年的教育過程中，最容易達到此目標的，正是國小低年級時期了。
如果說「小學低年級時學習到的數學，其實就等於運算」也不為過。當然，運算並不等於數學，不過這時期所學習到的數學，運算所佔的比例很重。因此，如果在此時期未能學好數學，而累積了對運算的負面情感，那孩子心裡會怎麼想呢？「數學好難」、「我學不好數學」這樣的負面想法自然會隨之而來，而這些念頭將會對孩子往後面對數學的態度帶來重大的影響。
亞洲的填鴨式數學教育，讓學生在國小到國中階段，即便不懂原理、不感興趣，但只要掌握了重點，就能展現出一定的成果。然而，因為學生學得很挫折，因為沒能培養真正重要的數學思維，所以他們只覺得數學是無趣的、困難的。這是否代表他們在升上高中後，會因為數學概念變複雜，且必須更倚重運算的能力，而跟不上學習進度，最終成為放棄數學的「棄數生」呢？
因此，孩子必須把運算學好。運算是所有數學領域的基礎，將會決定學生面對數學的態度，最後將影響他們的數學成績──這就是我們的孩子採用何種方式學習運算之所以至關重要的原因。

◎運算能力吊車尾的孩子，來到德國卻開竅了！

◆也曾放棄數學的媽媽
坦白說，我也放棄了數學，甚至沒意識到自己放棄了數學。我對數學的第一個記憶是背誦九九乘法的畫面，這也成了我對數學的第一印象。小學二年級時，因為背不好九九乘法，放學後還進入課後班繼續背，必須正確地回答老師隨機出的問題後才能回家。
為此感到很苦惱的媽媽，因而申請了數學家教課。剛開始我也很積極地認真完成老師出的作業，不過隨著運算越來越複雜，我開始花更長的時間在每天指定須寫完的試題上，作業也越積越多。等到老師來的那天，我才用計算機一口氣算完所有題目；幾個月後，因為覺得很厭煩，我甚至連碰都不碰那些作業，乾脆把它藏在衣櫃裡。最後，媽媽在整理衣櫃時發現了一堆沒有寫的作業，一氣之下就中斷了數學家教課。
那為期一年的數學家教課對我來說真的太可怕了。學習令人討厭的數學是很煎熬沒錯，但令我感到極其不堪的，其實是每次都無法完成作業的自己。大約在家教課中斷前後，我無論對數學或是讀書的自信心皆跌落到谷底。滿腦子只有「唉，我真是沒用」的念頭。
由於這段記憶實在太過深刻，於是我結婚生子後便下了一個決定──我不能讓孩子也變得像我一樣討厭數學。換句話說，即使無法讓孩子喜歡上數學，至少也別讓他們對數學反感。

◆孩子面臨了步上媽媽後塵的危機
從我家老大出生後到五歲以前，我好好地守住了我對自己的承諾，運算試題本這種「可怕的」東西我連看都沒看，也把數學家教課這種事從我的大腦中抹去。我改用和孩子一起閱讀「看故事學數學」套書，以及動手製作可把玩的教具等方式教學。孩子在韓國學到的運算，就只有當時幼兒園所教授的數學運算而已。
當然，我的決心也曾動搖過。老大六歲時，幼兒園裡的媽媽圈已開始討論某個數學家教課了。她們說假如孩子不上這些課程，進入小學後將很難跟上進度。孩子的同學一個個都開始上數學家教課，而我又從媽媽們口中聽到各種意見，於是不知不覺焦急了起來。結果，我還是預約了數學家教課的課前能力測驗，甚至付清了一個月份的學費。不過在審慎考慮了幾天以後，我認為讓孩子接受自己曾經很厭惡的課程，實在是沒道理，於是再次打了電話，向對方鄭重道歉，並取消預約。我的教育哲學就是如此堅定。
不過後來我先生進入有「諾貝爾獎士軍官校」之稱的馬克斯普朗克研究院攻讀博士學位，於是我們一家子便移居到德國了。當時老大七歲，在去德國前他接受了魏氏智力量表測驗，結果發現他在數學運算方面的能力相對低落。
據執行測驗的老師說，他幾乎沒練習過運算，即使聽了這番話，我也壓根沒要求他練習運算的想法。我們就這樣來到了德國，而老大也立即就讀當地小學了。在德國，小孩是滿六歲時開始讀小學的。
由於孩子從一年級到二年級的上半學期都忙於學習德語，所以其他科目全擱在一旁，自然也無心學數學了──畢竟在那樣的情況下只能如此。
然而，老大才剛進入二年級下學期，新冠肺炎疫情就在全球爆發開來，學校因此關閉，我也必須待在家陪伴孩子學習。老師只會給我們教案與每週必須完成的作業清單，剩下就是我的工作了。由於我對德語也很生疏，因此也無法仔細確認過教案，只能在翻譯機與他人的協助之下加以理解，掌握當下孩子必須學習的科目與課程重點，並開始教導孩子。我教他的第一個數學單元，正是九九乘法。當時我是怎麼教的呢？我自認為教數學根本不需要看教案，所以直接印了一大張九九乘法表貼在牆上，然後讓孩子背起來──那就是我過去學習九九乘法的方式。
「聽說外國小孩都不太會背九九乘法，我們家的小孩如果能倒背如流，上課的時候大家應該會嚇一跳吧？我要讓大家瞧瞧韓國人的潛力！」當初我是抱著這個想法的。
我忘了自己就是因為辛苦地死背九九乘法，所以最後變得很討厭數學，也忘了我已和自己約定好「至少別讓孩子討厭算數學」。但面對新冠肺炎疫情這種特殊情況，我終究丟出了讓孩子反覆、機械化算數學的這張卡。
但是採取這種方式，孩子當然無法將九九乘法背好，即便持續要求他記起來，他依舊在原地踏步。過了三天、四天、一個星期⋯⋯孩子仍舊背不好九九乘法，我的火氣也越來越大了。他在這時期總是把「討厭數學」掛在嘴邊，而我因為無法理解他，於是內心充滿了憤怒。「為什麼花一整天背一段九九乘法會這麼困難？」、「這麼理所當然的東西為什麼做不到？」我完全只從大人的角度反覆思考。尤其在他背誦6段的時候，我的情緒差點就爆發了。為了分散注意力，還刻意做家事讓自己冷靜下來，盡力避免對老大發洩我的怒氣。

◆德國教科書令人眼睛一亮
我就這樣一邊打掃一邊平息怒氣，結果在客廳書櫃發現了一封連開都沒開過的信封，那就是老師給的數學課程教案。因為自認為很熟悉九九乘法，所以不需要看的教案，這時忽然引起了我的注意。我稍微瞄了裡頭一眼，有一張經過護貝的紙卡，我出於好奇而取出一看，發現是張只寫了1、2、5、10乘積的九九乘法表。
剛開始我狐疑了一下，心想：「咦？這是什麼？」但因為老大的進度一直停滯，所以我抓住了這最後的一根浮木，而且還是老師給的資料，應該會有些用處，於是在翻譯機的幫助下，開始讀這份教案。
什麼？只讓孩子從1段開始，而且是只要瞭解1、2、5、10的乘積就好？還要告訴他1乘以2和2乘以1是一樣的？為什麼？而且接在1段後面的不是2段，竟然是10段？
說也奇怪，連我都不知不覺地沉浸在教案的說明中。閱讀完後，我下定決心了。
「我要按照這種方式教他。這樣學習的話，至少不會覺得數學難了吧！」
從隔天起，我就馬上依照教案試著教孩子數學，效果如何呢？結果老大說：「媽媽，九九乘法好簡單哦。」讓人多麼感動啊！
在介紹九九乘法的第五章會更詳盡地解釋，不過這是一個從十進位概念開始，循序漸進掌握數字的學習法。假如數字感覺起來沒有脈絡可循，孩子就會害怕學習九九乘法，所以大多數的學童都認為7段最困難，而8段和9段反而簡單一些。我連這點洞察力都沒有，就讓孩子從2段開始盲目地背下去，他自然不可能學得好。而德國課本的方式，是以學童更能直接理解的數字1、2、5、10（這稱為九九乘法的基準值；仔細看，前面三個數字都是10的因數）以及其他數字間的關係開始學習，接著再慢慢進入更難的數字、更難的段。結果，老大僅在短短幾天內，就奇蹟似地將九九乘法背起來了。
自此以後，我們就老老實實地依照課本和教案學習了。隨著進度的推進，我越來越認同德國課本和教案中的教學法。這樣的課程規劃，讓學生無需太多額外說明，只需要解題，即可自然而然地理解概念。多虧了這種學習法，我不需要絞盡腦汁，就能指導孩子數學了。更重要的是，老大和以前光聽到「數學」二字就退縮的我不同，他認為數學不算太難；聽見他這麼說，我感到很欣慰又神奇。
我體悟到，原來不需要和孩子鬥法，就能和他一起輕鬆簡單地算數學。也認知到，無需複雜的概念說明或練習解困難的題目，我們在解開經過系統性設計的試題過程中，就能以更深、更廣的角度去思考數字與運算。這是我和老大一起研讀德國課本後得到的收穫。
因為九九乘法，我開始對德國課本的數學學習法感到好奇，甚至還買了他們高年級的數學課本來看，因為我想知道孩子以後會學習什麼、將如何學習。我一邊按著翻譯機，一邊仔細地讀，越來越體會到這和我過去學過的運算方式有著天壤之別，都讓我不得不羨慕了。
而且不僅是教導概念的方式，連學校的教學方式，也令我對德國數學課程讚嘆不已。孩子升上三年級時，因新冠肺炎疫情稍微趨緩，而得以上實體課的他，在學校還曾透過討論課的形式學習數學。
討論課是以老師出題、學生輪流討論解法的課程形式。學生要先向老師與其他同學說明自己為何採取這種方法計算，在聽了其他同學所分享的解法後，就自然能學到以多元的角度和解決方式的可能性。此外，老師也能從學生的發言中，掌握到學生對課程內容的理解程度。

◆亮眼的進展與成果
由於新冠肺炎疫情再度惡化，學校隨之關閉，我們再次開始在家自學。這次，我連剛上一年級的老二也一起指導，並從一開始就依據老師給的教案，按部就班地教導孩子。
每天老老實實寫作業的老大，某天忽然這麼說：
「媽媽，數學真的很簡單又有趣耶。」
我作夢都沒想過此生會聽見孩子親口說出「數學很有趣」這句話，原本只希望他別討厭數學就好──你能想像我聽見他這麼說時有多開心嗎？
不僅如此，老大在德國也接受了智力測驗（AID 3，類似魏氏智力量表的檢測），卻得到了與魏氏智力量表測驗完全相反的結果。
老大的數學運算能力，竟然是落在前1％！孩子唯一做的事情，只不過是按照德國的方式學數學而已。三年前仍完全不懂德語、在德國上小學的老大，現在正在德國接受資優班教育，甚至連韓國的高等數學試卷，也難不倒他。而老二則是在讀了一年後就跳級了。
每當照著德國教科書的方式學習，便覺得有趣又簡單，於是更確信運算就是奠定數學思維的基礎的我，為了指導孩子，還將德國的課本仔仔細細地分析整理了一番。因為想向各位讀者分享我和孩子這段驚人的旅程，以及我從德國課本中習得的學習法，所以撰寫了這本書。那麼，一起來看看德國教科書的課程有什麼樣的特點吧！

◎原來，我們輕忽了運算

◆運算，是數學的基礎工程
為什麼在小學低年級徹底掌握運算很重要呢？最主要的原因是，此時學到的重要觀念，將會成為小學高年級，甚至是國、高中時期數學能力的基礎。低年級時學習的運算概念，將在往後學習進階概念時派上用場。事實上，我們甚至找不到和運算毫無關聯的部分──也就是說，學生必須學好運算，以後才能確實地吸收更困難的課程。
而第一個關卡，是三年級時學生第一次接觸到的「分數」。有人曾說過，第一次產生想放棄學習數學的念頭，就是學到分數的時候。根據韓國教育課程評價院所發表的《小學．...

・Prologue・
◎奠定堅實的數學思維基礎

「該怎麼讓孩子理解14＋5的意義呢？實在不懂他們為什麼會覺得困難。」
這是向我求助的學生家長實際吐露的煩惱──他們不知道該如何向小學一年級的子女解釋，並讓孩子理解這理所當然的道理。指導小學生數學時感受到自身能力的侷限而苦惱，並非什麼稀奇的事，真正令人驚訝的，是這位家長的職業是國中數學老師。連數學教育專家在教小學生時也會遭遇困難，更遑論一般的父母了。
然而，你知道在計算14＋5時，大腦會經歷什麼樣的過程嗎？
首先，必須先全面地了解數字與運算符號。在一一確認14、加號與5的同時，也要認知到這是二位數14與個位數5的加法運算。在這過程中，進而理解到14是10加上4的值，因此它的十位數只有1。接著確認好加號前後數值的個位數後，進行加法的運算──於是得到了4＋5＝9的值。綜合以上確認過的十位數與個位數後，就會導出19這個答案。對成人來說，這過程可能不用一秒就完成，但轉換成文字後感覺如何呢？由此可知，在運算時我們的大腦其實會經歷相當多的過程。
成人在指導低年級學童運算時會遇到困難的原因，正源自於此──他們不知道運算並不是件理所當然的事。運算數學所需的抽象思考能力，得等到小學三～四年級時才真正開始發展。然而，許多家長在教導低年級的子女時，經常是在以為「孩子能做到抽象思考」的錯誤前提之下教學的，這等於是不去考量小孩的認知發展程度，把他們當作成人對待的意思。把孩子當成大人般向他們說明概念，然後硬塞給他們試題，讓他們連意思都不了解就開始解題，並誤以為孩子算出了答案，就等於真的已經理解概念了。孩子學習數學的第一步就這麼走偏了，還能夠學好數學，或喜歡上數學嗎？
我以前也和那些家長一樣，嘴邊老是掛著「你連這都不知道？」、「這是當然的啊。」這些話，我壓根就沒想到「應該要從孩子的角度去解釋。」曾經是那樣的我，在接觸了德國課本的四則運算學習法後改變了想法。
德國教科書為了讓孩子奠定、發展扎實的數學思維力，以平易近人的方式引導學生，讓我讚嘆不已。首先，德國教科書是依據孩童大腦的發展進程，縝密規劃而成的。孩子先接觸看得見、摸得到的具象實物，最後再學習抽象數字與符號；在這個過程中，他們自然而然養成了對數字的感覺，並開始深入認識運算的概念。因為課本不只是教如何計算，而是讓學生持續思考運算這件事，進而培養他們的後設認知（認知到自己的知與不知）。不僅如此，德國課本還預留了讓學生發現課程缺漏、能夠自行補充的空間。自然數運算的最後一個階段是三位數除以二位數，無論在德國或韓國，這都是四年級的課程。目標雖是一致的，但為何韓國的小學生覺得數學很困難，而德國的小學生會認為數學很容易，還算應付得來呢？答案就在德國的教科書裡。如果讀過德國的課本，就會明白為何德國的孩子，無論是對數學的自信或興趣，在全世界都是名列前茅的。
我把和孩子一起研讀過的德式四則運算學習法實際分享給向我諮詢的家長後，確認了一項事實──按照德國課本學習的孩子，能夠養成與眾不同的數感。他們能自由地將數字分解、合成，能掌握數字間的關係，還能駕馭數字。而這樣的能力，將是往後運算複雜數學的基礎。本書中介紹的小學低年級運算，並不是孩子需要加緊學習、趕上進度的部分，而是孩子在未來12年間將奠定下來的，我們稱之為「數學」的建築基礎工程。
書中包含了德國小學二年級以下的四則運算課程。為了讓每個人都能以簡單的方式教導孩子，我將盡可能地仔細介紹，也會將實際指導小孩時說明的內容作為範例供參考。
首先，請父母先不用顧慮孩子的年紀和學習進度，把這本書從頭到尾快速地讀一遍，以掌握德國課本中四則運算學習法的整套流程。接著，再從符合孩子目前學習進度的部分，深入地讀完第二遍，以便在指導孩子時能活用這些內容。在放假期間，可採用此學習法複習上個學期的課程，或當作預習新學期課程的方法。我也推薦在學期中，可採用此方式配合學校進度做複習和預習，而且當三年級以上孩童需要加強學習時也適用。
我期盼閱讀了這本書的讀者，也能獲得我和孩子們在接觸德式四則運算學習法後大幅成長的經驗。

・Prologue・
◎奠定堅實的數學思維基礎

「該怎麼讓孩子理解14＋5的意義呢？實在不懂他們為什麼會覺得困難。」
這是向我求助的學生家長實際吐露的煩惱──他們不知道該如何向小學一年級的子女解釋，並讓孩子理解這理所當然的道理。指導小學生數學時感受到自身能力的侷限而苦惱，並非什麼稀奇的事，真正令人驚訝的，是這位家長的職業是國中數學老師。連數學教育專家在教小學生時也會遭遇困難，更遑論一般的父母了。
然而，你知道在計算14＋5時，大腦會經歷什麼樣的過程嗎？
首先，必須先全面地了解數字與運算符號。在一一確認14、加號...

序／奠定堅實的數學思維基礎

第一章／在德國，學生是怎麼學習數學的呢？
我們輕忽了運算
運算能力吊車尾的孩子，來到德國後開竅了
身為數學強國的德國，這麼教數學！
必須由父母來教導低年級子女運算的原因

第二章／扎穩加法運算的根基
認識數字0到10
加法的第一步：「相加等於5」和「相加等於10」
一起掌握好加法的概念吧！
20以前的數字與位值
相加等於20
一起來學習等號的意義與用法

第三章／學習以10為基準，計算加法與減法
計算相加大於10的數字
減法的第一步
以10為基準計算減法
認識加法與減法的關係
比較加法與減法的大小

第四章／來試試看二位數運算吧！
複習20以內的加法與減法
以10為單位，計算100以前的加減法！
認識100以前的數字
相加等於100
跳躍計數
100以下二位數字的加法
100以下二位數字的減法

第五章／來學學九九乘法吧！
一起來理解乘法的基本概念
學習九九乘法基準值
基本的九九乘法世界
九九乘法的分解與合成

第六章／越過「除法」這座高山！
理解除法的基本概念
以九九乘法基準值為基礎來認識除法
比較乘法與除法的大小
有「餘數」的除法

二年級後的運算教學方向／只要能正確理解就通了
結語／掌握概念，即擁有解題的能力
腦科學家爸爸的觀點／推薦德式四則運算的理由

序／奠定堅實的數學思維基礎

第一章／在德國，學生是怎麼學習數學的呢？
我們輕忽了運算
運算能力吊車尾的孩子，來到德國後開竅了
身為數學強國的德國，這麼教數學！
必須由父母來教導低年級子女運算的原因

第二章／扎穩加法運算的根基
認識數字0到10
加法的第一步：「相加等於5」和「相加等於10」
一起掌握好加法的概念吧！
20以前的數字與位值
相加等於20
一起來學習等號的意義與用法

第三章／學習以10為基準，計算加法與減法
計算相加大於10的數字
減法的第一步
以10為基準計算減法
認識加法與減法的關係
比較...