無限小（修訂版）：一個危險的數學理論如何形塑現代世界

〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量

臺師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人　賴以威

「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重複下去，這扇門也永遠不會被關上。」

國中時，老師站在教室前門旁解釋無限的概念。

對現在的我來說這不難回答──

「不對，造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』，但到後來每次掩門的幅度都是無限小，門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾，順著老師的邏輯，彷彿可以看到門就算被關上了，依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜，可是只要遵循規則，按部就班就能理解。直到無限的出現，是第一次我覺得數學課裡也有「無法理解，只好先記起來」的觀念。

現在，儘管能破解無限的矛盾，能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜，能知道一尺之棰，日取其半，必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答「為什麼天空是藍色的？」、「因為空氣折射的緣故。」

只是拿了一個名詞、一套道理來解釋，並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說，是因為相處久了，在課本、考卷裡面出現夠多次，就習以為常，覺得無限的概念是理所當然了。

不是的，無限小一點都不理所當然，他是個在歷經了上百年激辯後，才正式被引入的數學概念，背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

※

本書從馬丁．路德的宗教改革開始，當時羅馬教廷勢力衰退，作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學，他們推崇階級與秩序。在克里斯多佛．克拉維烏斯（Christopher Clavius）的努力下，服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高，作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識，他們便能宣稱握有真理。

數學也沒辜負他們的期待。

曆法過時一直是古人面臨的問題，西元500年左右，中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力，推行大明曆。西元1700年左右，日本有澀川春海改良中國曆法，製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方，則由耶穌會的克里斯多佛．克拉維烏斯領銜，協助教廷制定了全新的格里高里曆法。這套曆法相當精確，逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠，甚至反對，但還是得乖乖接受格里高里曆法，變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

數學可以強行讓人接受真理，並擊潰謬誤，建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

耶穌會以數學做武器，在宗教改革上打了一場漂亮勝仗，從此也更重視數學。正確地說，他們認為數學是個最好的例子，代表一切都該從定理出發，現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型，讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

然而，當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理，但數學家們已經從愈來愈多的地方發現這個無可迴避的概念。於是，數學家想從現實生活的觀察，反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

從不同教派的宗教之爭，在一方執起數學獲得勝利後，手中的數學卻反噬主人，展開了另一場數學之爭。

※

許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭，被尊為現代科學之父的伽利略（Galileo Galilei）帶領他的兩位徒弟卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）與托里切利（Evangelista Torricelli），前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名，在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻，他發表了一篇「拋物線面積（De dimensione parabola）」，裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積，其中有10種用上了不可分量的概念。

這篇論文的重點根本不在拋物線面積，而是在介紹不可分量、無限小。

儘管數學家看到了無限小的廣泛用途（有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成），但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂（Revisors General）」這個最高地位的學術審查機構，扮演著類似那個時代的「金盾」腳色，把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外，無限小是數學界的新概念，他甚至推翻了一些傳統幾何的想法；從這個角度來看，他就像數學界的宗教改革，耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

這次對決中，耶穌會佔了上風，哪怕面對的是伽利略與銳眼協會（L'Accademia Nazionale dei Lincei，現今的義大利國家科學院），那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學，讓數學依然作為宗教秩序而存在。

然而，如果把格局拉大，這場數學的戰爭還沒結束，只是換了一個戰場，到英國重新開始。在差不多的時間，英國也上演了一場關於無限小的學術論戰，場上的選手更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者霍布斯（Thomas Hobbes）。身為那個時代最有名的哲學家之一，他在過世前的自傳裡認為自己最偉大的成就竟然是解開了一題經典數學難題──化圓為方，畫出一個和圓一樣面積大小的正方形。

可惜的是，他解錯了。

連同這條錯誤的解答，他否定無限小的立場遭受到英國皇家學會（Royal Society）創辦人之一，約翰．瓦里斯（John Wallis）的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下，實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法，從現實狀況觀察到的無限小概念，自然能較被接受，並且透過歸納法，成為了數學領域新的一份子。在瓦里斯發明了「∞」的無限符號後，這個符號被他的晚輩牛頓（Isaac Newton）開花結果，建立出了微積分，成為現代許多科學、科技的基礎。

當然，在微積分的身上同樣少不了戰爭，屬於牛頓跟萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）的發明人之爭，不過那又是另一件故事了。

※

我想，這本書其實就很像托里切利的21道拋物線面積證明，名為介紹拋物線，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念，其實背後往往都有一長串故事，一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想，如果說我們覺得課本裡的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去了靈魂，只剩下冰冷的軀殼。

這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。



第四章　「你死或我亡」：無限小的戰爭

無限小的危險

依據耶穌會數學家安德烈．塔凱（André Tacquet，1612~60）那個時代的標準，他算是位飽經世故之人。雖然從未踏足家鄉法蘭德斯以外之地，他的通信網卻跨越了歐洲的宗教分裂，抵達了義大利與法國，甚至還到了信奉新教的荷蘭與英國。塔凱在去世前幾個月，還招待過荷蘭的博學之士克里斯提安．惠更斯（Christiaan Huygens），而惠更斯之所以到安特衛普，也明白表示是為了見當時被視為耶穌會歷來最明亮的數學之星塔凱。兩人會面的時間雖然只有短短數天，但相處甚為愉快，連耶穌會都相信他已設法成功說服惠更斯改信天主教（事實並非如此）。超越十七世紀宗教偏見的，並非塔凱的個人魅力，而是他卓越的數學能力。在英國，非耶穌會友人的皇家學會秘書亨利．奧登柏格，於1669 年1 月的學會會議上，用了過多的時間敘述塔凱的《數學文集》（Opera mathematica），這考驗了學會夥伴們的耐性，他也特別為此道歉。儘管如此，他仍堅持那本書是「有史以來最好的數學書籍之一」。

塔凱之所以有這樣的數學聲譽，主要是因為他1651 年的作品《圓柱與環四輯》。他在書中展現出對當時整個數學領域瞭若指掌，除此之外，他同時利用古典方式以及同儕與新近前輩所發展出來的新方法，計算幾何圖形的面積與體積。只不過一提到不可分量，這位態度通常溫和的耶穌會會員，就會變得不太客氣：

我認為不可分量的證明方式既不正當也不幾何……許多幾何學家都同意，一個點移動就會產生一條線、一條線移動就形成一個面、一個面移動就會造成一個立體。但一個不可分量經過移動而形成一個數量這樣的說法，與許多不可分量構成一個數量的說法大不相同。前者的真理經過了完全確認，後者卻會引發幾何戰爭，且其規模將達到不是你死就是我亡的程度。

根據塔凱的說法，你死我亡就是無限小這個問題的賭注。這的確是很嚴重的說法，但與這位法蘭德斯人同時代的人，卻不覺得這些話有什麼讓他們特別意外之處。畢竟，塔凱是耶穌會會員，而耶穌會在當時為了完成塔凱所鼓吹的事情，也就是讓連續統是由不可分量構成的這個理論徹底從地球上消失，已經在持續且毫不妥協地運作著。耶穌會認為不可分量若盛行，恐怕不僅數學這門學科會受到損害，支撐整個耶穌會事業生命力的理想也會遭遇橫禍。

耶穌會所提及的數學，指的是歐幾里得的幾何學。一如克拉維烏斯神父的教誨，歐幾里得幾何學是秩序的體現，其驗證始於宇宙不證自明的假設，然後一步步邏輯化推演，說明幾何物體間的必要關係，譬如三角形的三角和永遠都等於兩個直角和；直角三角形兩個短邊的平方和永遠等於第三邊平方，以及等等。這些都是絕對的關係，任何有理性的人都不可能否定。

因此，從克拉維烏斯開始，兩百年來，耶穌會的數學方式核心都是由幾何學構成 。也因此，即使十八世紀的高等數學方向，已明顯偏離幾何學，正朝代數與分析這些更新領域貼近，耶穌會數學家依然不動如山倒地堅持著他們的幾何方式。幾何是耶穌會數學學派毫無疑問的標誌。如果神學與其他知識領域能夠複製歐幾里得的確定性，耶穌會相信所有的紛爭都會結束，像宗教改革以及接踵而至的所有混亂與動盪，也永遠都不會在這樣的世界中生根。3

對耶穌會而言，永恆秩序的願景，是人類應該研究數學的唯一理由。的確，就像克拉維烏斯不厭其煩地一再說服那些持懷疑看法的同僚般，數學就是耶穌會最高理想的體現。感謝克拉維烏斯的努力，耶穌會組織內開啟了這個領域的研究與培育之門。到了十六世紀後期，數學已經成為羅馬學院以及其他耶穌會學校最有威信的學科之一。

就像歐幾里得的幾何學對耶穌會而言是數學這門學問中最高級、最好的領域一樣，與幾何學完全相悖的「不可分量法」，則是伽利略與其追隨者最為倡導的領域。幾何學始於毫無疑慮的普世原則，但新的方法卻源於對基礎物體的不可信直觀。幾何學一步步從不可變的步驟，依據普世原則，導引出世上特定的驗證結果，但新的無限小方法卻走上相反的路，從直觀的物質世界是什麼樣子開始，推進到泛論，再從泛論進入一般性的數學原則。換言之，如果幾何學是從上到下的數學，不可分量法就是由下往上的數學。相較於歐幾里得數學嚴格、純粹且毫無疑慮的真理，新方法最具破壞力的就是充滿矛盾與衝突，而且一如可以讓人走向真理，這個新方法也很容易就引人誤入謬誤的歧途。

在耶穌會眼中，無限小若真的普及，無疑像是歐幾里得永恆且不容挑戰的幾何體系，被一個真實的巴別塔、一個建築在搖晃不穩基礎上，充斥著爭端與喧鬧，而且隨時可能傾覆的地方所取代。對克拉維烏斯而言，歐幾里得的幾何學若是宇宙階級與秩序的基礎，那麼新數學就是完全相反的東西，不但損害宇宙秩序的真正可能性，而且會帶來顛覆與爭端。塔凱寫下幾何學與無限小之間的爭鬥 ，「不是你死就是我亡」的這些話，並非誇張之語。因此耶穌會開始下手進行毀滅。

〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量

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「我把這扇門掩上一半，再掩剩下的一半，不斷重複下去，這扇門也永遠不會被關上。」

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〈專文推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序

歷史評論家／公孫策

萬物皆由無限小的成分（粒子）構成，這是現代人的常識，不會有人覺得奇怪，更不會有人認為難以接受。

可是，「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺了。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！

所以，這本書講的是歷史，而不是數學。說得更明確一些，這本書告訴我們，科學家不能永遠屈服於威權之下，可是他們除了勇於堅持、勇於抗拒威權之外，仍必須有智慧、有技術（甚至謀略）的進行說服——殺身成仁絕非最高境界。

為此，書中必須述說很多數學。雖然它令多數人望而卻步，不喜歡數學的讀者卻無須硬「吞」下去，可以選擇跳過去。然而，一定要明白的是，科學家必須讓自己的學說經得起千錘百鍊，否則不足以承受威權方面的打擊。因為，威權那一邊也有科學家，而且都是當時最負盛名的科學家。

處在今天這個「新科技正在顛覆舊社會」的時代，新想法肯定受到舊秩序的打壓。然而，切不可孤芳自賞的嚷嚷「他們都不了解」，而應該提出更多證據來進行說服。

好好讀一下這本書，大有益。

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〈推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序 公孫策

前言：出國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇家學會的熱情招待，但是索必耶卻盛讚皇家學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅出宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。

第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立

• 聖羅耀拉的弟子
耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。

• 數學秩序
耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在克拉維烏斯神父持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾里得數學原則為主。

• 數學失序
虔誠的教徒伽利略，也是當時最偉大的科學家。他為了自己的學說，槓上了耶穌會和教廷，最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。伽利略的弟子卡瓦列里與托里切利持續提出不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心，無限小的戰爭即將引爆。

• 你死或我亡：「無限小」的戰爭
耶穌會總校訂決議整個耶穌會體系都不得教授與討論無限小。耶穌會和支持伽利略的銳眼學會之間，為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方法而開戰。

• 數學家的戰役
支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家古爾丁、貝蒂尼與塔凱，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團卡瓦列里、托里切利和安潔里。表面上是數學論戰，實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。

第二部 《巨靈論》與無限小

• 《巨靈論》的出現
英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許家族的家臣霍布斯，寫下哲學傑作《巨靈論》。

• 幾何學家湯瑪斯．霍布斯
幾何學中，每一個結果都是建立在另一個較簡單的結果之上，因此可以一步步符合邏輯地向前推進，從不證自明的真理，朝著愈來愈複雜的真理邁進。霍布斯因此認為數學應該沒有解不開的難題。

• 約翰．瓦里斯是何方神聖？
在數學家瓦里斯的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。也因此，他和「隱形大學」（後來成為「皇家學會」）的夥伴對數學的使用方式與霍布斯大相逕庭。

• 新世界的數學
歸納法和實驗數學，讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，於是英國邁上君主立憲之途，各種科學研究也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

後記：兩個現代
隨著無限小戰爭的開打，義大利的尖端數學停滯不前，英國的數學卻快速成為主導歐洲的國家傳統之一，僅有法國可與之匹敵。

人物表

大事記

致謝辭

〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量 賴以威

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前言：出國的大臣
法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇家學會的熱情招待，但是索必耶卻盛讚皇家學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅出宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。

第一部 對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立

• 聖羅耀拉的弟子
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