一條線有多長？：生活中意想不到的116個數學謎題

▌自序──所有人都可以成為數學家

想像你的學校課程列出以下選修科目。

週一：如何避免受騙上當
週二：思維遊戲
週三：賺取高薪的秘訣
週四：現實世界中的模式
週五：什麼時候該出手碰運氣

很肯定的是，你至少會選修其中一門，或許還全部都選。其實你的課程表上，本就可以排入那些科目，而且我這樣說也並不會太脫離現實。問題是，學校部分行政人員卻決定要把這一切科目都稱為「數學」：接著他們還特別記得，要把課程中的樂趣完全榨乾，想盡辦法讓科目內容抽象難解並脫離現實。

結果只有少數學童如魚得水。其他人大多時間只能拼命苦讀，演算枯燥味又毫無用途的習題。

「老師，我們為什麼要學畢氏定理？」學生問。

「你這種態度不對，柏金斯。」老師回答。

幸好時代已經不同，想向大眾推廣數學的人如今都能體認，一開始最好不要談理論，而是要從與一般人實際生活有關的例子著手。數學大多數會牽涉到抽象概念，不過，對絕大多數人而言，只有在熟悉的環境背景中學習，他們才能真正理解數學。

如今基於種種原因，西方有些文化逐漸習慣用「可悲」一詞，來形容對數學感趣的人。但是，只要提供我們都有與趣的課題，所有人都可以成為數學家。達文西是有史以來最富創造力的人之一，他不管看到什麼事情都提出疑點，接著就深入研究求解。達文西位藝術家，其實他更可以算是位科學家和數學家。就我們所知，還從來沒有人把達文西稱為呆頭鵝（或用類似的義大利語來這樣說他）。

這是我們的「生活中的數學謎題」系列書籍的第二本。我們也同樣根據本身興趣，廣泛採擷各類課題納入本書。我們選主題的最重要標準，是要能夠讓我們在酒吧樂此不疲，若有讀者熟讀這方面的書籍，那麼你就應該看過本書裡面的部分課題。不過，其他有些篇幅，好比電梯、計程車費和男士小便斗的算術運算，之前就幾乎都還沒有人公開發表過。

本書如同前一本《為什麼公車一次來3班？》也有部分篇幅很容易閱讀，不過有些內容就必須動點腦筋才能讀懂。這裡還說明，書中部分主題出現不只一次，機率、推理和模式都是書中的重點課題。事實上，如果這篇序一開始所提到的課程大綱果真存在，或許這本書就會變成附帶參考教材。不過，這本著作並不是教科書——這是本休閒讀物，也希望閱讀本書能為各位帶來樂趣。

▌如何戳破email詐騙手法？

喬治習慣在早上刪除垃圾電子郵件。今早他注意到一則內容，郵件主旨說明：足總盃驚人預測結果。他感到好奇，於是點選閱讀詳細內容。他看到以下信息：

　親愛的足球迷：

　我們知道你一定會心存質疑，不過我們成功設計出神準的方法，能夠預測足球賽結果。今天下午，足總盃第三輪由科芬特里市隊對抗雪菲爾德聯隊，我們的系統預測科芬特里市隊獲勝，我們建議你先不要據此下注，不過或許你會有興趣在今天下午注意賽果。

　頌此
　足總盃神算堂

喬治淡然一笑，並沒有細想，到了下午，他照例轉台看比賽結果，科芬特里市隊獲勝。他想，「反正他們勝算原本就比較高。」

三週之後，他又收到一封信。

　親愛的足球迷：

　記不記得我們正確預測足總盃上一輪是科芬特里市隊獲勝？今天，科芬特里市隊要對抗密得堡隊。我們預測密得堡隊會晉級到第五輪。我們强烈建議你不要下注，不過，請密切注意賽果，看我們的預測是否正確。

　頌此
　足總盃神算堂

喬治有點好奇，並等待當天下午的結果，不過也只是稍微多加關注。結果是一比一平手，看吧，上回只是僥倖。

不過，下週二的重賽結果，密得堡隊以二比零獲勝幾天之後，足總神算堂又寄發電子郵件，這次是預測第五輪異軍突起，燦美爾流浪者隊會擊敗密得堡隊，結果正如此。這時便進入複賽，預測燦美爾會敗給托特汗姆隊，又對了，結果是猜四中四。

下一封信來了：「我們知道這是一套傑出系統，而且現在你大概也比較相信，我們確實有兩把刷子，兵工廠隊會在準決賽時擊敗伊普斯威奇隊。」喬治實在不敢相信。他已經告訴許多朋友，於是在當天下午，他們一起密切注意實況報導，盡管兵工廠隊一路落後，最後卻以二比一獲勝，這太驚人了。

隔天又寄來一封電子郵件：

　親愛的足球迷：

　你已經目睹我們的足球神算驚人系統，你信服了嗎？我們預測五次中了五次，你一定同意，這已經違反常態機率，特別是獲勝隊伍不見得都是勝算較高的。我們提供特別優待，你有機會試用我們的比賽預測服務，訂閱一個月只收兩百鎊。你把兩支隊伍名稱寄给我們，我們就把預測结果寄給你，期望能收到你的訂單。

　頌此
　足總盃神算堂

「兩百鎊有點貴！」喬治尋思，「不過，倘若知道誰會贏，我就能夠從博彩業者身上把那筆錢賺回來，而且還多贏一千倍。」然後，他就這樣完全信服，並且掏出他的信用卡。

不過，其中到底哪裡有詐？這和嬰兒預言神棍不同，我們已經看到五次正確預測，當然這裡確實有點門道。且讓我們看看其他顧客從足總盃神算堂收到哪些電子郵件，這樣就能看出哪裡有詐。

就在騙局開始的第一天上午，吉姆在附近辦公室裡，也和喬治同樣收到一封電子郵件。當然喬治的電子郵件是說明「我們預測科芬特里市隊會擊敗雪菲爾德聯隊」，不過說來奇怪，吉姆的信則是「我們預測雪菲爾德聯隊會擊敗科芬特里市隊」，後來雪菲爾德聯隊敗北，從此吉姆就不再收到其他電子郵件。另外在十五公里之外，黛比收到的第一和第二封信預測，都是科芬特里市隊會獲勝，後來他
們在第四輪戰敗，此後她也不再收到電子郵件了。

事實上，這套騙術簡單得令人不敢置信。最初是寄出八千封信，對象則是已知對足球有些興趣的人士。隨機選出一場比賽，告訴半數收件人科芬特里市隊會贏，另外半數則是雪菲爾德聯隊獲勝。當然，其中四千人會收到「正確」結果，另外半數則會刪除郵件，並從此忘了這回事。

下一回合有兩千人收到科芬特里市隊獲勝，另外兩千人則為密得堡隊。發展至此，肯定會有兩千人收到猜二中二的預測結果。當然了，足總盃神算堂只會向獲勝者繼續寄發電子郵件，這樣一來，到了決賽時，就會有兩百五十位收到五次正預測結果，於是那兩百五十位人士就會覺得非常特殊。（換做是你，你也會吧？）特殊得讓其中五十人交出兩百鎊，因此經營騙局的人便獲得豐厚利潤，其實他們除了發送電子郵件之外，根本什麼事情都沒有做。

這類騙術都是在利用我們的一種自然傾向。我們都自認與眾不同，因此當運氣來了，其中必然事出有因。收到預測郵件的人士當中，保證每三十二位中只有一位會收到五連中的結果。另外三十一位會收到一次錯誤預測，於是信息就此中斷。這次恰好就是喬治運氣好，也因此他當然會自覺與眾不同，不過請記住，這和樂透一樣，當然也會有人中頭彩。

這個足球情節和嬰兒騙局同樣是虛構的，不過類似這種違法騙術層出不窮。你可以想像，這類情節在股票市場偽科學界還特別有效，狡滑的顧問或許會向半數潛在顧客推薦，說是某支股票會上漲，卻向另外半數提出忠告，說是會下跌。

▌堅守「37%原則」可以覓得佳偶？

什麼時候該堅持你所擁有？要檢視這個非常實際的問題，我們可以借助個案研究，並略微虚擬情節來簡化分析。本例中的吉姆是個理想對象，他三十九歲，決心在四十歲時訂婚。吉姆加入交友俱樂部，這樣他和可能對象的相逢過程，就可以部分排除機運成分。交友俱樂部保證每年替他安排十次約會，而我們也要在這裡加入一種相當不可能的狀況，那就是吉姆的約會對象全都急於成婚，只要他開口求婚就成。因此，他肯定將來那十位約會對象當中，有一位會成為他的太太，不過會是哪位呢？

把可能配偶依等第排列似乎有點無情，不幸卻有必要這樣做，才能進一步分析。（這裡也必須說明，男女都不反對就潛在伴侶做評比。）十位約會對象之一會成為最佳伴侶人選，也另有一位會是最差的選擇。不過，吉姆和她們見面的順序，卻是完全隨機。

吉姆和第一位對象約會，她看來也不錯。不過，她是最好的那位嗎？或許她是，不過，考慮到吉姆往後還會與其他對象約會，她成為最佳人選的機率只為十中取一。因此，合理的決策似乎就是先不要對她做出承諾，而是把她當作基準，並拿和後續約會對象做比較（這裡就不對吉姆的道德品行做任何評價）。

如果吉姆真的猶豫不定，他也可以依舊拒絕對接下來幾位做出承諾。一直到第十位約會對象現身，若吉姆還是要堅定原則如期訂婚，那時就沒有選擇餘地只好選擇第十位。因此他若不做決定，採取不表態策略，那麼他選中最佳人選的機會，還是只有十中取一。不過，肯定會有較佳策略。

的確是有！如果他要提高機會，有種做法就是先拒絕第一位約會對象――假定那凱瑟。不過，往後一碰到分數超過凱瑟的約會對象就點頭接受。只要採取這項對策，他在十次中有九次，能夠找到比凱瑟更好的配偶。但是，如果凱瑟恰好就是最佳對象，這項對策就不靈了。如果吉姆選定最先贏過凱瑟的約會對象，最後他選中最佳可能伴侶的機會，就會提高到百分之二十，或等於五中取一。這個比率的計算過程相當複雜，因為這必須把最佳人選出現的順序落於第二位，或第三位（第二位得分低於凱瑟），或第四位（第二和第三位得分都低於凱瑟）等等的機率累加起來，並一直加到第十位。如果吉姆除了凱瑟之外，還納入其他人選作為基準呢？他堅持時間愈長，就愈能通盤了解所有的可能對象。不過，這樣他把最佳伴侶排斥在外的機率就愈高。

事實上，吉姆面對上述情況時，便可以用數學來找出最佳答案。那就是先和三位人選約會，隨後一出現得分超過前述三位的人選就向她求婚。這樣一來，最後吉姆所擇定人選會是最佳伴侶的機會，就會提高到約為三中取一。你可以按照次頁的「知識補給站」所述，進行盲目約會的紙牌遊戲，模擬吉姆的經驗。儘管這種練習過度簡化，不盡然符合生活實情，至少還是個能夠描述許多人做法的好例子。他們會先約見幾位夥伴，來增長閱歷，之後才做出堅定承諾。

隨著伴侶潛在人選增加，數學解答就會愈來愈嚴謹，最後比率就會極為明確。如果有N位伴侶人選，你就應該先約見N除以「e」人，隨後才做出承諾。前述「e」值約等於2.718，這也指數增長現象的核心數值。如果N為大數，那麼根據上述，
你就應該在所有潛在伴侶之中，先約見大概百分之三十七的人選，隨後才安頓下來。

這種巧妙做法有許多瑕疵，當然了，其中之一就是你完全無法預知，將來你會和幾位伴侶人選約會。儘管如此，如果你估計自己這輩子，或許能夠見到四十位配偶人選，那麼當你認識其中十四位時，就該考慮安頓下來了

▌自序──所有人都可以成為數學家

想像你的學校課程列出以下選修科目。

週一：如何避免受騙上當
週二：思維遊戲
週三：賺取高薪的秘訣
週四：現實世界中的模式
週五：什麼時候該出手碰運氣

很肯定的是，你至少會選修其中一門，或許還全部都選。其實你的課程表上，本就可以排入那些科目，而且我這樣說也並不會太脫離現實。問題是，學校部分行政人員卻決定要把這一切科目都稱為「數學」：接著他們還特別記得，要把課程中的樂趣完全榨乾，想盡辦法讓科目內容抽象難解並脫離現實。

結果只有少數學童如魚得水。其他人大多時間...

推薦序∕ 在熟悉的情境中學習數學 洪萬生
自 序 ∕所有人都可以成為數學家

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第2章 如何拆穿王牌大騙子？
免費買戒指，還倒賺一百鎊？╱預言嬰兒性別的神棍如何騙錢？╱為什麼滿杯等於空杯？╱如何戳破email詐騙手法？╱是誰少給了服務生小費？——著名的餐廳騙局╱如何破解金字塔傳銷的騙局？╱金字塔傳銷差點毀掉一個國家？╱真的有人在騙局中贏到錢嗎？

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第4章 為什麼行李擺不進後車廂？
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第5章 我該回答問題嗎？
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第6章 走樓梯會不會比較快？
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第7章 一條線有多長？
多瑙河有多長？╱「一條線有多長？」有幾種不同答案？╱碎形是什麼？能產生哪些奇妙的圖像？╱數字中也藏有驚人的碎形？╱碎形如何讓網路圖片傳遞更快？╱學會碎形，有可能大賺一票？╱邊界無限長，面積也會無限大嗎？

第8章 為什麼天氣預報會出錯？
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第15章 我能百分之百肯定嗎？
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「星期」是怎麼來的？╱一年為什麼有十二個月？╱月亮「看」起來有多大？╱「過剩數」是什麼？哪幾顆行星決定一星期有七天？╱「完全數」又是什麼？╱佛羅倫斯的一星期有八天？╱為什麼Monday是星期一？

第2章 如何拆穿王牌大騙子？
免費買戒指，還倒賺一百鎊？╱預言嬰兒性別的神棍如何騙錢？╱為什麼滿杯等於空杯？╱如何戳破email詐騙手法？╱是誰少給了服務生小費？——著名的餐廳騙局╱如何破解金字塔傳銷的騙局？╱...