數學女孩︰黎曼猜想

1.2.1　由梨的提問
「那麼，讓我來向喜歡證明的哥哥提問。你能證明質數有無限多個嗎？」

問題1-1（質數有無限多個）
質數有無限多個。請證明這件事。

「嗯，我能證明喔。數學家歐幾里得整理出來的《幾何原本》這本書中，就有提到相關證明。這是個有名的問題呢。」
「咦，你還記得證明喔？真無聊。我還想讓你動腦想想看的說。」
「我第一次知道這個證明的時候，真的非常感動喔。」
「還感動勒，哥哥太誇張了啦喵。」由梨笑了。
「不不不，一點都不誇張喔。」我忍不住提高音量。「質數有無限多個，這在數學上是非常重要的事實。而且啊，我是對於能證明出某種東西『有無限多個』這件事，覺得十分感動。」
「什麼意思？」
「妳想想看—若要證明某種東西『有無限多個』，該怎麼證明才好呢？不限於質數，任何東西都行。要怎麼闡述，才能說我們證明了『有無限多個』？」
「嗯⋯⋯無限多是什麼意思啊？」由梨皺起了眉頭。
「沒錯。為了在數學領域中主張某種東西『有無限多個』，就必須先明確定義『有無限多個』是什麼意思。其實啊，歐幾里得的證明裡，並沒有提到『質數有無限多個』喔。」
「蛤？不然上面寫了什麼？」由梨探出身子。
「上面寫的是『質數的個數，比任何一個給定的質數數量都還要多』。而且書中還示範，如果給定3 個質數，就能計算出第4 個質數喔。從這裡就能輕易地推論出，如果給定n 個質數，就能計算出第n + 1 個質數。」
「哥哥，這到底有什麼好感動的啊……」
「它巧妙地轉換了『有無限多個』的意義，這點讓我覺得感動。歐幾里得證明了，只要給定有限個質數，就能再計算出1 個新的質數。無論收集了多少個，都還能再計算出1個新的—這確實表達了我們想像中『有無限多個』的意義。我覺得這種轉換相當厲害，不是只靠印象模糊地思考，而是明確描述了出來。就是這點讓我感動到發抖啊！」
「喔喔！那是怎麼樣的證明啊？」由梨也揚起聲來。

1.2.2　質數無限性的證明（歐幾里得）
「這就是歐幾里得的證明喔*4。首先，假設給定的質數如下。

p1、p2、p3

也就是給定了3 個質數。只要能由這3 個質數得到第4 個新的質數就行了。」
「嗯嗯。」
「將所有給定的質數相乘後再加1，設這個數為m。我們可以用式子表示如下。

m=p1p2p3+1

如此一來，我們就可以說—
• m 無法被p1 整除。
—妳知道這是為什麼嗎？」
「因為m 除以p1 會餘1。」由梨立刻回答。
「沒錯，正是如此。同樣的，我們也可以說—
• m 無法被p2 整除。
• m 無法被p3 整除。
—也就是說，m 無法被p1、p2、p3 中的任何一個整除。」
我說。
「……」由梨沉默地聽著。
「這裡， 若假設m 可以被某個質數p 整除。也就是說—

• m 可被p 整除。

p是能整除m 的質數，所以它並非p1、p2、p3 中的任何一個。也就是說，我們得到了第4 個新的質數p。」
「……」
「剛才是從3個質數開始推論，但就算從100 個質數、1億個質數開始推論，也能得到同樣的結論。也就是說，無論收集了多少個質數，都還能再得到一個新的質數。這樣我們就證明了『質數有無限多個』！」
「我反對！」由梨高聲說。「很奇怪耶。在剛才的證明途中，你有提到『假設m 可以被某個質數p 整除』這點對吧？可是，能夠整除m 的質數，『絕對』存在嗎？」
「哦，由梨果然厲害。」我說。由梨在這種邏輯細節上很敏銳。「能夠整除m的質數絕對存在。能整除m 的質數也稱作m的質因數，任何大於等於2的自然數都必定擁有質因數。這件事可以從質數的定義出發，用數學歸納法來證明。」
「哦……」
「當然，歐幾里得在《幾何原本》裡也證明了這件事。」
「歐幾里得，真有你的喵。」

1.2.1　由梨的提問
「那麼，讓我來向喜歡證明的哥哥提問。你能證明質數有無限多個嗎？」

問題1-1（質數有無限多個）
質數有無限多個。請證明這件事。

「嗯，我能證明喔。數學家歐幾里得整理出來的《幾何原本》這本書中，就有提到相關證明。這是個有名的問題呢。」
「咦，你還記得證明喔？真無聊。我還想讓你動腦想想看的說。」
「我第一次知道這個證明的時候，真的非常感動喔。」
「還感動勒，哥哥太誇張了啦喵。」由梨笑了。
「不不不，一點都不誇張喔。」我忍不住提高音量。「質數有無限多個，這在數學上是非常重要的事實。...

序章

人們常說，一旦成為回憶，一切都會顯得美麗，
但大家都誤解了這句話的意思。
並不是我們會去美化過去。
而是過去本身，不會再帶給我們多餘的思緒。
—小林秀雄《所謂無常》

一個結束，就是另一個開始。
承繼於過去，寄託於未來。
過去無法改變。所以我們才仰望未來。
未來無法預知。所以我們才回首過去。
歐幾里得、費馬、歐拉。
高斯、伽羅瓦、黎曼、龐加萊。
以及，無數的數學家們。
數學能跨越時空。
數學能跨越時空，傳遞到我們手中。
數學能跨越時空，引導我們。
我們渡過猜想之海，穿過證明之森，抵達定理之丘。
然後—─眺望遠方另一片新的猜想之海。
數學，能跨越時空。
我們正在送出跨越時空的訊息。
將這些訊息—─交給未來的你。

序章

人們常說，一旦成為回憶，一切都會顯得美麗，
但大家都誤解了這句話的意思。
並不是我們會去美化過去。
而是過去本身，不會再帶給我們多餘的思緒。
—小林秀雄《所謂無常》

一個結束，就是另一個開始。
承繼於過去，寄託於未來。
過去無法改變。所以我們才仰望未來。
未來無法預知。所以我們才回首過去。
歐幾里得、費馬、歐拉。
高斯、伽羅瓦、黎曼、龐加萊。
以及，無數的數學家們。
數學能跨越時空。
數學能跨越時空，傳遞到我們手中。
數學能跨越時空，引導我們。
我們渡過猜想之海，穿過證明之森，抵達定理...

給讀者　i
序章　xiii
第 1 章 質數定理
1.1 質數是直線
1.1.1 在客廳
1.1.2 質數的定義
1.1.3 南瓜湯
1.1.4 各種版本的質數定義
1.1.5 因數的分布
1.1.6 對數函數log
1.2 質數有無限多個
1.2.1 由梨的提問
1.2.2 質數無限性的證明（歐幾里得）
1.2.3 質數無限性的證明（反證法）
1.3 質數的分布
1.3.1 質數的分布？
1.3.2 少年高斯
1.3.3 質數定理
1.3.4 抽出質數的抽籤
1.3.5 不斷重複的提問
1.3.6 目擊情報

第 2 章 歐拉乘積
2.1 自家
2.1.1 無窮等比級數的和
2.1.2 倒數計時
2.2 書店
2.2.1 蒂蒂
2.2.2 複變分析
2.3 餐廳
2.3.1 自己的數學
2.3.2 歐拉乘積
2.3.3 歐拉的發現
2.3.4 證明呢？
2.3.5 關注因子
2.3.6 用餐
2.3.7 質數與自然數的絕妙關係
2.4 餐後
2.4.1 細細品嚐甜點
2.4.2 調和數的回憶
2.4.3 調和數Hn 與對數函數log x
2.4.4 另一個證明
2.5 甜點後的苦澀
2.5.1 質數的無限性
2.5.2 蒂蒂的提問
2.5.3 重建證明
2.6 歸途
2.6.1 公園
2.6.2 數學界最大的未解決問題
2.6.3 剩餘天數

第 3 章 在無窮遠點碰面
3.1 在我的房間
3.1.1 考生的新年
3.1.2 米爾迦
3.1.3 自主討論會
3.1.4 Zeta 函數ζ(s)
3.2 客廳
3.2.1 下午茶時間
3.2.2 未來的路
3.3 除以零
3.3.1 各式各樣的自主討論會
3.3.2 除以零
3.3.3 極限
3.4 擴充數線
3.4.1 引入無窮遠點∞
3.4.2 以單位圓建立模型
3.4.3 關注函數
3.4.4 函數 的連續性
3.4.5 的單點緊緻化
3.5 擴充複數平面
3.5.1 引入無窮遠點∞
3.5.2 以單位球建立模型β
3.5.3 關注函數
3.5.4 推廣的意義
3.5.5 相約在無窮遠點
3.6 自家
3.6.1 海的味道

第 4 章 複變函數的探險
4.1 探險的邀請
4.1.1 沉浸在數學中
4.1.2 視聽教室
4.2 從實變函數到複變函數
4.2.1 實變函數
4.2.2 複變函數
4.3 的探險
4.3.1 轉換格點
4.3.2 轉換水平線與垂直線
4.3.3 轉換半圓
4.3.4 轉換幽靈
4.4 的探險
4.4.1 問題
4.4.2 討論
4.4.3 解答
4.4.4 對稱性的探險
4.4.5 和的探險
4.5 複變函數的探險
4.5.1 指數函數ez
4.5.2 三角函數cos z 與sin z
4.6 歸途
4.6.1 蒂蒂
4.6.2 米爾迦
4.6.3 未來的路

第 5 章 複變函數的微分
5.1 早晨的上學途中
5.1.1 由梨
5.1.2 微分
5.2 白天的階梯教室
5.2.1 蒂蒂
5.2.2 複變函數的微分
5.2.3 實變函數的導數
5.3 下午的教室
5.3.1 米爾迦
5.4 放學後的「學倉」
5.4.1 米爾迦與蒂蒂
5.4.2 三種微分
5.4.3 蘭道的小o 符號
5.4.4 微分與切線、全微分與切平面
5.4.5 兩種推廣
5.4.6 ○ㄅ可複數微分⇒ 可全微分的證明
5.4.7 ○ㄆ可複數微分⇐/ 可全微分的證明
5.4.8 偏導數的求算方法
5.4.9 柯西－黎曼方程式
5.4.10 複變函數中導數的意義
5.4.11 全純函數是保角映射
5.5 晚上的歸途
5.5.1 蒂蒂.
第 6 章 log(–1) 的螺旋梯
6.1 二次試驗開始
6.1.1 一如往常卻又與平時不同
6.2 二次試驗結束
6.2.1 與母親的對話
6.2.2 蒂蒂的信
6.2.3 我的信
6.3 我的卡片
6.3.1 圖書室
6.3.2 蒂蒂的點子
6.3.3 從ex到ez
6.3.4 我的點子
6.4 米爾迦的卡片
6.4.1 最美的數學式
6.4.2 「指數函數的週期性」與「對數函數的多值性」
6.4.3 「輻角主值」與「對數函數主值」
6.5 複數積分
6.5.1 以積分定義log x
6.5.2 以積分定義log z
6.5.3 進一步延拓
6.5.4 對數函數的黎曼曲面
6.6 我的決心
6.6.1 燈塔

第 7 章 Zeta 函數與莫比烏斯函數
7.1 在禮堂的畢業典禮
7.1.1 我
7.1.2 永永
7.2 在圖書室做冪級數展開
7.2.1 蒂蒂
7.2.2 全純函數的冪級數展開
7.2.3 以0 為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開
7.2.4 以–1為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開
7.2.5 以 I 為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開
7.3 在圖書室做解析延拓
7.3.1 收斂圓的拼接
7.3.2 恆等定理
7.4 在圖書室的洛朗展開
7.4.1 洛朗展開
7.4.2 Zeta 函數ζ(z) 的洛朗展開
7.4.3 解析數論
7.5 在圖書室的狄利克雷生成函數
7.5.1 狄利克雷級數展開
7.5.2 生成函數與狄利克雷生成函數
7.5.3 米爾迦的「作業」
7.5.4 圖書室討論會的畢業典禮
7.6 在家中研究狄利克雷生成函數
7.6.1 面對「自己的數學」
7.6.2 思考「作業」
7.6.3 展開與觀察
7.7 在咖啡廳談莫比烏斯函數
7.7.1 莫比烏斯函數的定義
7.7.2 莫比烏斯函數的性質
7.7.3 問題7-2 的解答
7.8 在咖啡店談摺積
7.8.1 生成函數與摺積
7.8.2 狄利克雷生成函數與狄利克雷摺積
7.9 在咖啡店的反演公式
7.9.1 莫比烏斯函數的反演公式
7.9.2 邁向Gamma 函數

第 8 章 驚奇的Gamma 函數
8.1 由梨！
8.1.1 階乘.
8.1.2 告白
8.2 蒂蒂！
8.2.1 Gamma 函數Г(x)
8.2.2 Г(1) = 1
8.2.3 Г(x + 1) = x Г(x)
8.3 麗莎！
8.3.1 稱呼
8.3.2 Г(x) 的圖形
8.4 米爾迦！
8.4.1 頭髮
8.4.2 米爾迦的提問
8.4.3 我的回答
8.4.4 蒂蒂的計算
8.4.5 麗莎的圖形
8.5 Gamma 函數！
8.5.1 作為複變函數的Gamma 函數 .
8.5.2 | Г(s) | 的圖形
8.5.3 神秘的–1
8.5.4 梅林轉換

第 9 章 複數積分巡禮
9.1 複數積分
9.1.1 我的家
9.1.2 蒂蒂的困惑
9.1.3 實數積分與複數積分
9.1.4 積分路徑
9.1.5 複數積分的定義
9.1.6 區域
9.1.7 單連通區域
9.2 柯西積分定理
9.2.1 z 沿圓周的圍道積分
9.2.2 z 沿矩形的圍道積分
9.2.3 柯西積分定理
9.3 柯西積分公式
9.3.1 將1/z 沿圓周作圍道積分
9.3.2 (z – a)n 的圍道積分
9.3.3 柯西積分公式
9.4 留數定理
9.4.1 奇異點的分類
9.4.2 留數
9.4.3 求留數的方法
9.5 複數積分總結
9.5.1 定理與公式總結
9.5.2 在實數積分上的應用
9.5.3 畢業紀念討論會

第 10 章 黎曼猜想
10.1 畢業紀念討論會
10.1.1 双倉圖書館
10.1.2 黎曼論文
10.2 黎曼論文（Zeta 函數）
10.2.1 黎曼論文的起點
10.2.2 複數的複數次方
10.2.3 ζ(s) 在Re(s) > 1 時收斂
10.3 黎曼的論文（解析延拓）
10.3.1 邁向解析延拓
10.3.2 第一積分表示法
10.3.3 以複數積分計算積分
10.3.4 我的疑問
10.3.5 積分路徑C2
10.3.6 解析延拓總結
10.4 黎曼的論文（極點與平凡零點）
10.4.1 極點與平凡零點
10.4.2 極點
10.4.3 平凡零點
10.5 黎曼的論文（函數方程式）
10.5.1 函數方程式與完備Zeta函數
10.5.2 非平凡零點
10.5.3 函數方程式的證明
10.5.4 ζ(–1)
10.6 黎曼的論文（黎曼猜想）
10.6.1 邁向黎曼猜想
10.6.2 臨界帶與臨界線
10.6.3 臨界線經ζ(s) 轉換後的對應圖像
10.6.4 黎曼猜想與質數定理
10.6.5 Zeta 函數的分區塗色
10.7 黎曼的論文（質數計數函數）
10.7.1 質數計數函數π(x) 與對數積分Li(x)
10.7.2 傅立葉反轉換公式
10.7.3 關於質數冪pn的有趣研究
10.7.4 邁向質數顯式公式
10.7.5 使用莫比烏斯反演公式的計算
10.7.6 非平凡零點所揭示的質數
10.7.7 黎曼論文總結
10.8 迷你黎曼猜想
10.8.1 迷你Zeta函數
10.8.2 迷你歐拉乘積
10.8.3 ZN(s) 的函數方程式
10.8.4 ZN(s) 的迷你黎曼猜想
10.8.5 若ZN(s) = 0 則Re(s) = 0 的證明
10.9 跨越時空
10.9.1 餐廳.
10.9.2 讀完黎曼的論文之後
10.9.3 黎曼留下的遺產
10.9.4 新的旅程
尾聲
後記
參考文獻與延伸閱讀
索引

給讀者　i
序章　xiii
第 1 章 質數定理
1.1 質數是直線
1.1.1 在客廳
1.1.2 質數的定義
1.1.3 南瓜湯
1.1.4 各種版本的質數定義
1.1.5 因數的分布
1.1.6 對數函數log
1.2 質數有無限多個
1.2.1 由梨的提問
1.2.2 質數無限性的證明（歐幾里得）
1.2.3 質數無限性的證明（反證法）
1.3 質數的分布
1.3.1 質數的分布？
1.3.2 少年高斯
1.3.3 質數定理
1.3.4 抽出質數的抽籤
1.3.5 不斷重複的提問
1.3.6 目擊情報

第 2 章 歐拉乘積
2.1 自家
2.1.1 無窮等比級數的和
2.1.2 倒數計時
2.2 書...