物理學中的數學方法

前 言

第1章 變分法 1
1.1 泛畫和泛畫的極值問題 1
1.1.1 泛函的概念 1
1.1.2 泛函的極值問題 2
1 2 泛函的變分和最簡單情形的歐拉方程 5
1.2.1 泛菌的變分 5
1.2.2 最簡單情形的歐拉方程 9
1.3 多個函數和多個引數的情形 13
1.3.1 多個函數 13
1.3.2 多個引數 15
1.4 泛函的條件極值問題 17
1.4.1 等用問題 17
1.4.2 測地結問題 21
1.5 自然邊界條件 23
1 6 變分原理 26
1.6.1 經典力學的變分原理 27
1.6.2 量子力學的變分原理 32
1 7 變分法在物理學中的應用 33
1.7.1 在經典物理中的應用 34
1.7.2 在量子力學中的應用 41
習題 47
附錄1A 函數的極值問題 50
參考文獻 52

第2章 希爾伯特空間53
2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間 53
2.1.1 錢性空間 53
2.1.2 內積壁間 58
2.1.3 希爾伯特空間 67
2.2 內積空間中的運算元 69
2.2.1 運算元與伴隨算於 69
2.2.2 自伴運算元 76
2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理 83
2.3 完備的正交歸一函數集合 84
2.3.1 收斂的類別 84
2.3.2 函數集合的完備性 86
2.3.3 N維數城空間和希爾伯特函數空間 90
2.3.4 正變多項式 91
2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近 95
2.4.1 魏爾斯特拉斯定理 95
2.4.2 多項式逼近 97
習題 103
附錄2A 數e不是一個有理數的證明 107
參考文獻 108

第3章 二階線性常微分方程 109
3.1 二階線性常微分方程的一般理論 109
3.1.1 解的存在唯一性定理 109
3.1.2 齊次方程解的結構 110
3.1.3 非齊次方程的解 116
3.2 施圖姆劉維爾型方程的特徵值問題 119
3.2.1 施圖姆劉錐爾型方程的形式 119
3.2.2 施圖姆-劉維爾方程的邊界條件 120
3.2.3 施圖姆-劉維爾特徵值問題 122
3.2.4 施圖姆-劉維爾特徵值問題舉例 127
3.3 施圖姆一劉維爾型方程的多項式解集 129
3.3.1 核函數和權函數的可能的形式 129
3.3.2 多項式的級數運算式和微商表示 133
3.3.3 母函數關係 139
3.3.4 正變的施圖姆-劉維爾多項式解集的完備性定理 141
3.3.5 正變多項式解集在數值積分中的應用 142
3.4與多項式的施圖姆一劉維爾系統有關的方程和畫數 145
3.4.1 拉蓋爾函數 145
3.4.2 勒讓德函數 149
3.4.3 切比雪夫函數 154
3.4.4 厄米函數 158
3.5 切比雪夫雙曲函數 165
3.5.1 微分方程的建立 165
3.5.2 微分方程的求解 166
3.6 二階常微分方程的複變函數理論 169
3.6.1 齊次線性方程組的解 169
3.6.2 二階常微分方程 181
3.7 非自伴的二階常微分方程 187
3.7.1 常微分方程的伴隨方程 187
3.7.2 施圖姆-劉維爾運算元 188
3.7.3 非自伴二階常微分方程的完備集 191
3.8 非齊次方程有解的條件 192
習題 196
附錄3A 初值問題(3.1.4)的解的存在唯一性的證明 201
附錄3B 二重求和中變數的代換 204
附錄3C 關於施圖姆劉維爾理論向狄拉克型方程的推廣 204
參考文獻 205

第4章 貝塞爾函數 207
4.1 貝塞爾方程 207
4.1.1 貝塞爾方程及其解 207
4.1.2 第一類和第二類貝塞爾函數 213
4.2 貝塞爾西數的基本性質 216
4.2.1 貝塞爾函數的遞推公式 216
4.2.2 貝塞爾函數的漸近式 219
4.2.3 貝塞爾函數的零點 219
4.2.4 朗斯基行列式 222
4.3 整數階貝塞爾函數 223
4.3.1 奇偶性和特殊點的值 224
4.3.2 整數階貝塞爾函數的母函數 225
4.4 半奇數階貝塞爾函數 229
4.5 第三類貝塞爾函數和球貝塞爾函數 232
4.5.1 第三類貝塞爾函數 232
4.5.2 球貝塞爾函數 235
4.6 虛變數(或變形)貝塞爾函數 241
4.6.1 第一類和第二類變形的貝塞爾函數 241
4.6.2 整數階變形貝塞爾函數 246
4.6.3 半奇數階變形貝塞爾函數 248
4.7 變數為實數的貝塞爾函數 248
4.7.1 貝塞爾方程的特徵值問題 248
4.7.2 特徵函數族的性質 250
4.7.3 球貝塞爾方程的特徵值問題 254
習題 255
附錄4A r(z)函數的導數與ψ(z)函數 261
附錄4B 第二類貝塞爾函數運算式 263
參考文獻 265

第5章 狄拉克δ函數 267
5.1 δ函數的定義與性質 267
5.1.1 δ函數的定義 267
5.1.2 δ函數是一個廣義函數 268
5.1.3 δ函數的傅裡葉變換和拉普拉斯變換 269
5.1.4 廣義函數的導數和積分 270
5.1.5 δ函數中的定值是個複數的情況 272
5.2 δ函數視為普通函數的弱收斂極限 273
5.2.1 普通函數的弱收斂的幾種形式 273
5.2.2 證明式(5.2.7a)時的弱收斂極限是6函數 277
5.2.3 證明式(5.2.9b)的弱收斂極限是6函數 277
5.2.4 證明式(5.2.11)的弱收斂極限是6函數 279
5.2.5 應用舉例 280
5.3 多維空間中的δ函數 282
5.3.1 直角坐標系 282
5.3.2 直角坐標系到曲錢坐標系的變換 283
5.4 δ函數的廣義傅裡葉展開 286
習題 290
參考文獻 292

第6章 梅林函數 294
6.1 格林函數的基本理論 294
6.1.1 格林函數的定義 294
6.1.2 格林函數的作用和性質 295
6.1.3 格林函數的求解方法 297
6.1.4 格林函數的物理意義 303
6.2 拉普拉斯運算元的基本解 305
6.2.1 三維情況 307
6.2.2 二維情況 308
6.2.3 一維情況 310
6.3 阻尼振子的格林函數 312
6.3.1 齊次方程的解 312
6.3.2 求解格林函數 313
6.3.3 方程的通解 314
6.3.4 無阻尼的情況 314
6.3.5 邊界條件對格林函數的影響 315
6.4 二階常微分方程的格林函數 316
6.4.1 格林函數的對稱性 317
6.4.2 二階微分方程邊值問題的解 318
6.4.3 廣義格林函數 320
6ι4 求解二階微分方程邊值問題的實例 326
6.5 高維空間的格林函數 333
6.5.1 二階微分方程與格林函數 333
6.5.2 二維格林函數求解實例 336
6.5.3 三維格林函數求解實例 351
6.5.4 光的小孔衍射354
6.5.5 三維空間中粒子散射的問題 362
6.6 鏡像法求解格林函數 363
6.6.1 鏡像法的基本理論 363
6.6.2 三維空間實例 366
6.6.3 三維壁間實例 371
6.7 一階微分方程的格林函數 373
6.7.1 非齊次方程邊值問題 373
6.7.2 齊次方程邊值問題 373
6.7.3 非齊次方程與格林函數 374
6.7.4邊值問題的通解 375
6.8 非自伴微分方程的格林函數 376
6.8.1 伴隨格林函數 376
6.8.2 非齊次微分方程的解 378
習題 379
參考文獻 382

第7章 範數 383
7.1 巴拿赫空間 383
7.1.1 巴拿赫空問 383
7.1.2 赫爾德不等式 386
7.1.3 閔可夫斯基不等式 389
7.2 向量範數 390
7.2.1 向量範數 390
7.2.2 向量範數的等價性 393
7.3 矩陣範數 394
7.3.1 矩陣範數 394
7.3.2 矩陣的譜範數和譜半徑 400
7.3.3 矩陣測度 403
7.4 運算元範數 407
7.4.1 運算元的範數 407
7.4.2 伴隨運算元 411
7.4.3 投影運算元 414
7.5 全連續運算元 417
7.5.1 線性相分變換用有限秩線性積分變換逼近 417
7.5.2 全連續運算元 419
習題 424
參考文獻 426

第8章 積分方程 428
8.1 積分方程的基礎理論 428
8.1.1 積分方程的定義和分類 428
8.1.2 積分方程與微分方程的關係 430
8.1.3 關於齊次積分方程的理論 433
8.2 線性積分方程的反覆運算技術 437
8.2.1 弗雷德霍姆線性積分方程 437
8.2.2 第二類沃爾泰拉線性積分方程 447
8.3 非線性方程的反覆運算技術 448
8.3.1 選代步驟 448
8.3.2 利普希茨條件 450
8.3.3 利用收縮的概念 452
8.3.4 彈簧的非諧振動 453
8.4 退化核的弗雷德霍姆線性積分方程 455
8.4.1 可分核 455
8.4.2 有限秩核 462
8.4.3 核技特徵系的展開 471
8.5 卷積型積分方程的求解 473
8.5.1 弗雷德霍姆卷積型積分方程 473
8.5.2 沃爾泰拉卷積型積分方程 476
8.6 多項式類型的積分方程 479
8.6.1 只含多項式的弗雷德霍姆積分方程的解法 479
8.6.2 母函數法 481
習題 483
參考文獻 488

第9章 數論在物理道問題中的應用 490
9.1 陳-莫比烏斯變換 490
9.1.1 引言 490
9.1.2 真比烏斯變換 492
9.1.3 陳-莫比烏斯變換 497
9.2 晶體中聲子態密度的逆問題 500
9.2.1 逆變換公式 500
9.2.2 低溫近似 502
9.2.3 高溫近似 505
9.3 晶體內原子間相互作用勢的逆問題 507
9.3.1 一維情況 508
9.3.2 二維情況 512
9.3.3 三維情況 516
9.4 加性莫比烏斯變換及其應用 523
9.4.1 函數的加性莫比烏斯變換及其應用 523
9.4.2 數列的加性莫比烏斯變換及其應用 529
9.5 與表面和介面有關的對勢反演問題 532
9.5.1 孤立原子與半無限大晶體內