數學物理方程及其近似方法(第二版)

第1章 數學物理方程的基本問題
1.1數學物理方程的分類及一般性問題
1.1.1基本概念：古典解、廣義解和疊加原理
1.1.2兩個自變量二階線性方程的分類和化簡
1.1.3多個自變量線性方程的分類和標准型
1.1.4數學物理方程的一般性問題
1.2波動方程與定解問題的適定性
1.2.1波動方程的Cauchy問題
1.2.2非齊次波動方程和推遲勢
1.2.3能量不等式和Cauchy問題的適定性
1.2.4混合問題解的唯 一性和穩定性
1.2.5一般雙曲型方程的能量積分
1.3 Laplace方程與Helmholtz方程
1.3.1二個自變量的Laplace方程和Hilbert變換
1.3.2調和函數的基本性質
1.3.3邊值問題的適定性
1.3.4Helmholtz方程與輻射問題
1.3.5—般橢圓型方程的積分估計
1.4熱傳導方程與Schrodinger方程
1.4.1熱傳導方程的Cauchy問題
1.4.2一維熱傳導方程的混合問題
1.4.3色散型Schrodinger方程
1.4.4極值原理和混合問題的適定性
1.4.5一般拋物型方程的能量積分估計
1.4.6三類典型方程定解問題提法比較
習題一
第2章 本征值問題和分離變量法
2.1Hilbert空間及完備的正交函數集
2.1.1Hilbert空間和平方可積函數空間
2.1.2完備的正交歸一函數集
2.1.3有限區間上的完備系：Legendre和Chebyshev多項式
2.1.4單位球面上的完備系：球諧函數
2.2微分算子的本征值問題
2.2.1Hermite對稱算子及本征值問題
2.2.2有限個離散譜或混合譜
2.2.3非Hermite對稱算子：常微分算子
2.2.4非Hermite對稱算子：偏微分算子
2.3Sturm—Liouville系統和多項式系統
2.3.1Sturm—Liouville系統
2.3.2Bessel算子和Bessel方程
2.3.3Legendre算子和Legendre方程
2.3.4S—L多項式系統和Laguerre多項式
2.3.5Hermite多項式
2.4有界區域定解問題的分離變量法
2.4.1波動方程的齊次混合問題
2.4.2熱傳導和色散型方程的齊次混合問題
2.4.3橢圓型方程的邊值問題
2.4.4非齊次問題的本征函數展開
2.4.5非Hermite對稱算子
2.5正交曲線坐標系中的分離變量
2.5.1球坐標系中的Laplace算子
2.5.2圓錐形區域
2.5.3量子力學中的氫原子
2.5.4圓柱坐標系中的Laplace算子
2.5.5柱函數：Bessel函數的幾種不同形式
2.6無窮區域的分離變量法
2.6.1無限大區域：波動方程的Cauchy問題
2.6.2半無限大區域：Laplace方程的邊值問題
2.6.3徑向無限區域、Hankel變換和平面波導
2.6.4軸向無限區域和等截面波導
2.6.5波動方程的非衍射解
習題二
第3章 Green函數方法
3.1廣義函數及Dirac Delta函數
3.1.1廣義函數概念和運算法則
3.1.2廣義函數的導數
3.1.3廣義函數的Fourier變換
3.1.4弱收斂、弱解和Dirac Delta函數序列
3.1.5 曲線坐標中的Dirac Delta函數
3.2二階常微分方程的Green函數
3.2.1Cauchy問題的Green函數
3.2.2S—L型方程的邊值問題
3.2.3廣義Creen函數
3.2.4非Hermite對稱算子的邊值問題
3.3高維邊值問題的Green函數
3.3.1非齊次問題的積分公式
3.3.2Helmholtz方程的Green函數
3.3.3無界空間的Green函數和基本解
3.3.4鏡像法求邊值問題的Green函數
3.3.5曲線坐標中的基本解
3.3.6運動介質中的基本解
3.4混合問題的含時Green函數
3.4.1熱導方程的Green函數
3.4.2波動方程的Green函數
3.4.3Cauchy問題的基本解
3.4.4運動電荷產生的場
3.4.5徑向無限大區域的含時Green函數
3.5廣義Green公式及非齊次問題的積分解
3.5.1廣義Green公式
3.5.2三維橢圓型方程的Green函數
3.5.3拋物型方程的Green函數
3.5.4雙曲型方程的Green函數
3.5.5拋物近似的波動方程
習題三
第4章 變分近似方法
4.1變分問題和古典法
4.1.1泛函和泛函極值的基本概念
4.1.2多個變量的變分問題
4.1.3變端點問題，自然邊界條件和內部邊界條件
4.1.4泛函的條件極值問題
4.1.5Hamilton原理與最小位能原理
4.2變分法在邊值問題中的應用
4.2.1邊值問題與變分問題的等價：正算子
4.2.2變分解的存在性：正定算子
4.2.3Ritz近似方法
4.2.4Galerkin法和非齊次邊界問題
4.2.5基於Galerkin法的時域問題
4.3變分法在本征值問題中的應用
4.3.1本征值問題與變分問題的等價
4.3.2完備性定理的證明
4.3.3極值定理、本征值與區域的關系
4.3.4Ritz法和Galerkin法
4.4有限元近似方法
4.4.1一維邊值問題的有限元法
4.4.2二維邊值問題的有限元法
4.4.3基於Galerkin法的時域有限元近似
4.4.4本征值問題的有限元近似
4.5變分的其他近似方法
4.5.1Kantorovich法
4.5.2最速下降法與有界正定算子
4.5.3共軛梯度法
4.5.4矩量法和本征值問題
習題四
第5章 積分方程及其近似方法
5.1積分方程的形成及分類
5.1.1Volterra積分方程的形成
5.1.2Fredholm積分方程的形成
5.1.3積分—微分方程的形成
5.1.4非線性積分方程的形成
5.1.5Abel方程及第一類積分方程的不適定性討論
5.2第二類Fredholm積分方程的近似方法
5..2.1第二類Fredholm方程的迭代法
5.2.2Banach空間中第二類Fredholm方程的迭代技術
5.2.3可分核方程和有限秩核近似
5.2.4矩量法和Galerkin近似
5.2.5Nystrom方法
5.2.6非線性積分方程的迭代法
5.3平方可積函數空間中的積分方程
5.3.1Hernute對稱的平方可積核
5.3.2第二類Fredholm積分方程及微擾論
5.3.3平方可積Hermite對稱核的極值性質
5.3.4本征值問題的有限秩近似
5.3.5一般平方可積核
5.4Fourier變換及其他積分變換
5.4.1Fourier變換及逆變換
5.4.2分數導數和分數Laplace算子
5.4.3分數階Fourier變換
5.4.4Laplace變換和Hankel變換
5.4.5Hilbert變換及逆變換
5.5邊界元近似方法
5.5.1Kirchhoff邊界積分公式
5.5.2位勢問題的邊界元近似
5.5.3Helmholtz方程的外邊值問題
5.5.4時域邊界元近似
習題五
……
第6章 微擾方法和漸近展開
第7童數學物理方程的逆問題
第8章 非線性數學物理方程
參考文獻