數學物理方程現代數值方法

前言

第1章 偏微分方程基礎知識1
1.1基本概念1
1.2偏微分方程的分類2
1.3多變元微積分3
1.3.1Gateaux導數3
1.3.2Prechet導數6
1.4練習9
參考文獻10

第2章 Sobolev空間基本知識11
2.1空間*和*11
2.2Lp空間12
2.2.1Lp空間的定義12
2.2.2Lp空間的性質13
2.3廣義導數14
2.3.1一階廣義導數14
2.3.2a階廣義導數16
2.4Sobolev空間17
2.4.1一階Sobolev空間*17
2.4.2k階Sobolev空間*17
2.4.3*空間18
2.4.4跡運算元19
參考文獻20

第3章 Galerkin方法21
3.1背景21
3.2預備知識21
3.3變分問題23
3.4離散格式23
3.5Galerkin方法的適定性25
3.5.1存在專享性25
3.5.2穩定性25
3.5.3收斂性25
3.6計算實例27
3.7練習29
參考文獻31

第4章 有限元方法及其誤差估計32
4.1背景與簡介32
4.2拉格朗日插值基函數33
4.2.1網格剖分33
4.2.2線性有限元空間34
4.2.3基函數34
4.3泊松問題的有限元方法40
4.3.1泊松問題40
4.3.2計算流程40
4.4誤差估計43
4.4.1偏微分方程的正則估計43
4.4.2H1範數下的誤差估計43
4.4.3L2範數下的誤差估計46
參考文獻47

第5章 泊松問題的其他數值方法48
5.1非協調有限元方法48
5.2有限體積元方法52
5.3練習55
參考文獻55

第6章 不可壓縮Navier-Stokes問題有限元應用57
6.1定常Stokes問題57
6.1.1方程的變分57
6.1.2解的存在專享性定理59
6.1.3穩定性59
6.1.4收斂性60
6.2Navier-Stokes問題62
6.2.1定常Navier-Stokes方程62
6.2.2非定常Navier-Stokes方程63
6.2.3程式實現65
6.3Freefem計算程式66
參考文獻72

第7章 修正的特徵有限元方法73
7.1特徵線方法73
7.2非穩態Navier-Stokes方程的修正特徵有限元方法75
7.2.1非穩態Navier-Stokes方程76
7.2.2特徵有限元離散77
7.3練習78
參考文獻79

第8章 隨機不可壓縮流問題全離散有限元方法80
8.1預備知識80
8.2隨機Stokes問題87
8.3時間半離散化89
8.4全離散的混合有限元方法90
8.5練習91
參考文獻92

索引93