隨機微分方程導論

前言

第1章 緒論 1
1.1 動機 1
1.2 確定和隨機微分方程 2
1.3 隨機微分 3
1.4 Ito鏈式法則 4
第1章 練習 6

第2章 概率論中的基本理論 8
2.1 基本定義 8
2.1.1 Bertrand悖論.8
2.1.2 概率空間 10
2.1.3 隨機變數 12
2.1.4 隨機過程 14
2.2 數學期望、方差 15
2.3 分佈函數 17
2.4 立性 20
2.4.1 條件概率 20
2.4.2 立事件 21
2.4.3 立隨機變數 23
2.5 Borel-Cantelli引理 26
2.6 特徵函數 27
2.7 強大數定律、中心極限定理 29
2.7.1 強大數定律 29
2.7.2 Laplace-De Moivre定理 32
2.7.3 中心極限定理 34
2.8 條件期望 36
2.8.1 動機 36
2.8.2 條件期望的定義方法1 .36
2.8.3 條件期望的定義方法2 .38
2.8.4 性質 40
2.9 鞅 42
2.9.1 定義 42
2.9.2 鞅不等式 44
第2章 練習 45

第3章 布朗運動和白色雜訊 50
3.1 動機 50
3.1.1 溯源 50
3.1.2 隨機遊走 51
3.1.3 數學驗證 52
3.2 布朗運動的定義、基本性質 54
3.2.1 布朗運動的定義 54
3.2.2 聯合概率的計算 54
3.2.3 白色雜訊 56
3.3 構造布朗運動.59
3.3.1 正交基展開 59
3.3.2 布朗運動的構造 60
3.3.3 Rn上的布朗運動 66
3.4 樣本路徑 68
3.4.1 樣本路徑的連續性 68
3.4.2 處處不可微性 71
3.5 Markov性 74
第3章 練習 76

第4章 隨機積分 78
4.1 預備知識 78
4.1.1 Paley-Wiener-Zygmund隨機積分 78
4.1.2 黎曼和 80
4.2 Ito積分 85
4.2.1 非可料過程 85
4.2.2 階梯過程 86
4.2.3 Ito積分的定義和性質 89
4.2.4 定義擴展 90
4.2.5 Ito不定積分 91
4.3 Ito公式和乘積公式 92
4.3.1 Ito公式 92
4.3.2 Ito公式的應用 93
4.3.3 Ito乘積公式 95
4.3.4 Ito公式的證明 98
4.3.5 更一般的Ito公式 98
4.4 高維中的Ito積分 99
4.4.1 符號和定義 99
4.4.2 Ito公式和乘積公式 100
第4章 練習 103

第5章 隨機微分方程 105
5.1 定義和例子 105
5.1.1 預備工作 105
5.1.2 線性隨機微分方程的例子 106
5.2 解的存在唯一性 112
5.2.1 一維情形 112
5.2.2 通過變數代換解隨機微分方程 114
5.2.3 一般的存在唯一性定理 116
5.3 解的性質 121
5.4 線性隨機微分方程 123
5.4.1 解的形式:狹義線性隨機微分方程 124
5.4.2 解的形式:一般標量線性方程 125
5.4.3 線性隨機微分方程的一些解法 125
第5章 練習 128

第6章 應用與拓展.131
6.1 停時 131
6.1.1 定義、基本性質 131
6.1.2 隨機積分和停時 133
6.1.3 帶停時的Ito公式 134
6.1.4 布朗運動和Laplace運算元 135
6.2 在偏微分方程中的應用、Feynman-Kac公式 135
6.2.1 偏微分方程解的概率表示公式 135
6.2.2 Feynman-Kac公式 138
6.3 優停時 140
6.3.1 隨機微分方程的停時 140
6.3.2 優停時 141
6.3.3 解值函數問題 143
6.3.4 設計優停時 143
6.4 期權定價 144
6.4.1 基本問題 145
6.4.2 套利和對沖 145
6.4.3 數學模型 146
6.4.4 總結 148
6.5 Stratonovich積分 148
6.5.1 動機 148
6.5.2 近似白色雜訊 149
6.5.3 近似解 149
6.5.4 Stratonovich積分的定義 150
6.5.5 Stratonovich鏈式法則 152
6.5.6 SDE的轉換公式 153
6.5.7 總結 154
第6章 練習 154

附錄156
附錄A Laplace-De Moivre定理的證明 156
附錄B 離散鞅不等式的證明158
附錄C 不定 Ito積分連續性的證明 159
參考文獻 161