普通數學

1.1　邏輯符號

邏輯是除去事物的表象，而研究事物的本身結構及其相互關係的一門學問，它不僅能培養我們發現問題的能力，亦能訓練我們推理思考與解決問題的能力，因此邏輯是數學學習上不可或缺的一項基本工具。在本節中我們將介紹基礎的邏輯符號及其性質，而在1.2節中我們將介紹有效論證。

1.1.1　敘述

句子是語言運用的基本單位，若依照用途或功能分類，可以簡單分為直述句、疑問句、祈使句和感嘆句四種。而「能夠客觀辨別真假的直述句」，我們才稱之為

「敘述」。例如：

(a)小明長的很高。

(b)小明身高超過180公分。

(c)你吃飽了嗎？

(d)上課請不要吃東西。

(e)今天的夕陽好美喔！

其中，(a)和(b)是直述句，(c)是疑問句，(d)是祈使句，(e)是感嘆句；而(a)雖然是直述句但卻無法客觀決定其真假，所以(a)不是敘述

，相反的，(b)可以明確地知道其真假，所以(b)是敘述。

如果一個敘述所表述的內容與事實完全相符，我們就稱此敘述為「真（ture）」，否則就稱此敘述為「假（false）」。因為敘述是可客觀辨別真假的

句子，因此，一個敘述不是真的便是假的，不會有既不真也不假這種模稜兩可的情形。

句子若依照結構分類，則可以分成單句和複句兩種。單句是最小單位的句子，在邏輯學上，通常以英文字母P、Q、R、…來表示單句；複句（或稱複合敘述）

則是由兩個或兩個以上的單句合起來所構成的一個比較複雜的句子，而將這些單句合起來的字詞則稱為「語句連詞」，以下將介紹常用的語句連詞及其性質。

1.1.2　否定敘述

給定一個敘述，我們可以述說一個新的敘述，使其真、假與原敘述正好相反，此新的敘述稱為原敘述的「否定敘述」，例如：

(a)「小明今天上課遲到」的否定敘述是「小明今天上課沒有遲到」。

(b)「所有的學生都認識校長」的否定敘述是「有些學生不認識校長」。

注意：「這隻狗的毛是黑的」的否定敘述不是「這隻狗的毛是白的」。「這隻狗的毛是黑的」的否定敘述為何？留給讀者自行思考。

1.1.3　連言

將兩個敘述用「而且」、「並且」、「和」、「與」、「但是」、…等類似的連接詞連接起來，其所形成的敘述稱為這兩個敘述的「連言」，而此個別的兩個敘

述則稱為此一連言敘述的「連言因子」。例如：

(a)牛頓是英國人而高斯是德國人。

(b)大一學生必須選修國文和英文。

(c)235而236。

上述三句都是連言，其中(a)的兩個連言因子是「牛頓是英國人」以及「高斯是德國人」；(b)的連言因子是「大一學生必須選修國文」以及「大一學生必須選修英文」；(c)的連言因子是「235」以及「236」。

一個連言敘述要為真，必須其連言因子皆為真，若連言因子中至少有一個為假，則其所形成的連言敘述就為假。例如：

「235而236」是真（正確）的；

「235而235」是假（錯誤）的。

1.1　邏輯符號

邏輯是除去事物的表象，而研究事物的本身結構及其相互關係的一門學問，它不僅能培養我們發現問題的能力，亦能訓練我們推理思考與解決問題的能力，因此邏輯是數學學習上不可或缺的一項基本工具。在本節中我們將介紹基礎的邏輯符號及其性質，而在1.2節中我們將介紹有效論證。

1.1.1　敘述

句子是語言運用的基本單位，若依照用途或功能分類，可以簡單分為直述句、疑問句、祈使句和感嘆句四種。而「能夠客觀辨別真假的直述句」，我們才稱之為

「敘述」。例如：

(a)小明長的很高。

(b)小明身高超過180公分。

(c)你吃飽了嗎...

第1章　基礎邏輯與集合
1.1 邏輯符號
1.2 有效論證
1.3 集合
1.4 集合的基本運算及其性質

第2章　數系
2.1 整數系
2.2 有理數系
2.3 實數系

第3章　數的計算
3.1 數的運算
3.2 數的次序性質
3.3 因數、倍數、質數、最大公因數與最小公倍數

第4章　坐標系統
4.1 坐標系
4.2 直角坐標平面
4.3 區間
4.4 方程式和圖形
4.5 二元一次聯立方程式的圖形
4.6 二次方程式的圖形
4.7 定義域、值域
4.8 空間概念
4.9 空間坐標系

第5章　多項式
5.1 多項式
5.2 簡化代數式、多項式之四則運算
5.3 因式分解、餘式定理
5.4 四代數分式、代數分式的四則運算

第6章　函數
6.1 函數的定義
6.2 函數符號
6.3 合成函數
6.4 反函數
6.5 多項式函數

第7章　直線方程式（含不等式）
7.1 距離公式
7.2 座標系直線
7.3 二元一次方程式（直線方程式）
7.4 二元一次聯立方程式
7.5 不等式
7.6 方程式和圖形

第8章　曲線方程式
8.1 一元二次方程式
8.2 二次函數
8.3 三次式的性質

第9章　空間中的平面與直線
9.1 空間概念
9.2 空間向量的內積
9.3 外積、體積及行列式
9.4 平面方程式
9.5 空間直線方程式

第10章　證明
10.1 算術和代數的論證
10.2 證明法
10.3 古典平面幾何定理

第11章　幾何圖形
11.1 平面知己和圖形與其對應的度量
11.2 空間形體

第12章　解析幾何
12.1 扇形的弧長與面積
12.2 圓

第13章　級數
13.1 數列
13.2 級數

第14章　指數函數、對數函數
14.1 指數表徵
14.2 指數函數
14.3 對數函數

第15章　排列與組合
15.1 加法原理與乘法原理
15.2 直線排列
15.3 重複排列
15.4 環狀排列
15.5 相異物組合
15.6 重複組合
15.7 二項式定理
15.8 二項係數的性質
15.9 加法原理的一般化—排容原理

第16章　機率與統計
16.1 機率的定義與性質
16.2 機率性質與定理應用
16.3 敘述統計與統計量數
16.4 變數分類與統計圖表

第17章　三角函數
17-1 銳角三角函數
17-2 廣義角與極坐標
17-3 正弦定理與餘弦定理
17-4 差角公式
17-5 三角測量

第1章　基礎邏輯與集合
1.1 邏輯符號
1.2 有效論證
1.3 集合
1.4 集合的基本運算及其性質

第2章　數系
2.1 整數系
2.2 有理數系
2.3 實數系

第3章　數的計算
3.1 數的運算
3.2 數的次序性質
3.3 因數、倍數、質數、最大公因數與最小公倍數

第4章　坐標系統
4.1 坐標系
4.2 直角坐標平面
4.3 區間
4.4 方程式和圖形
4.5 二元一次聯立方程式的圖形
4.6 二次方程式的圖形
4.7 定義域、值域
4.8 空間概念
4.9 空間坐標系

第5章　多項式
5.1 多項式
5.2 簡化代數式、多項式之四則運算
5.3 因式分解、餘式定理 ...