觀念數學（2）：中學代數解題策略

前言

自2009年出版了《觀念數學1──如何學好中學數學》，得到了廣大的迴響，很多老師推薦學生閱讀，因為書中精確的指出了學生學習的問題與解決的方向，讓學生從書中得到了啟發，用更正確的方式學習，從而找到了更輕鬆、也學得更好的方法。

可是也有學生雖然發現自己學習有問題，卻很難真正改變自己的學習方法。因為在沒有其他幫助下，很難全面翻新自己已經習慣多年的學習方式。其中最困難的，是建立解題策略與運用自己的思考去解題，而這兩者是息息相關的。先熟悉基本定義、公式，也做過了基本題與標準題，許多同學都做得到，可是如何建立自己的解題策略？又如何運用思考來解題？

本書就是以此為目的，一方面介紹簡單的解題策略，另一方面引導學生以標準的思考去解題。本書大量採用學測與指考的試題，讓學生體驗出，只用簡單的解題策略與思考，就足以應付大考的題目了，讓學生由此開始，能去解出那些沒見過的題目，真正享受解決問題的樂趣。



學生的困難

很多學生總覺得課本太簡單，可是真的考到課本上的基本概念，又未必答得出來。一方面無法深入去讀通課本，同時擔心課本太簡單，結果又四處學了很多一知半解的東西。最後反而貪多嚼不爛，感覺好像學了很多，卻又學得支離破碎，遇到問題完全使不上力，久了以後就對數學失去信心，不知如何應付。不少同學覺得數學科投資報酬率很低，其實就是這種努力後卻覺得無力。

常有學生或家長問我：「每天要做多少題數學才夠？」、「每天要做數學多久才夠？」或是「如果做完數學課本與講義，那麼可以得到多少分？」這樣的問題我答不出來，我聽到的只是對數學的誤解。如果一個籃球選手問林書豪：「每天要練球多久，才能進到NBA打籃球？」我猜林書豪也沒有確切的答案。

學數學也一樣，問題不是做多少題，而是思考了多少。傳統思維告訴我們：「只要功夫下得深，鐵杵磨成繡花針。」我相信理論上做得到，但我寧願把鐵杵賣了，得到的錢應該夠買一包繡花針。方法對了，就會事半功倍。

要細說錯誤的學習方式，可以閱讀我的前一本書；如果要簡單的說，一是學習不夠深入，二是沒有思考。無論是上課或自我練習，都要常常問自己，我思考了多久？狂做題目而沒有思考，只是走馬看花，沒有實質收穫。如果學習數學只是一題一題做，沒有統整的思考過程，當然得到的能力都是支離破碎而無法運用的。



什麼是解題策略？

做過一些相關連的題目後，就該想一想，它們的解法有沒有共通處？有沒有不同處？能不能找到一些通則？找到了就變成一個解題策略。運用這個策略再去解更多的題目，有時很有效，這就是個好的策略；有時無效，我們就發現這策略的缺陷或限制，也許再修改一點，就能使策略解決更多的問題。這時候我們學過的東西就組織起來了，不再是零碎而易混淆。一個策略可以解出一群問題，這樣學習就更有效率了，即使對題目的印象模糊了，依然可以用策略解題解出。經過思考的策略自有因果關係，不會忘記。小的策略又可能整合成更大、更有效的大策略，運用成熟的策略，就能去解決那些從沒見過的題目了。

比較一下，心中缺乏「解題策略」的狀況：公式、定理都會，一般的題目也會，可是沒見過的題目就不會做，或根本不知從何想起。可是看完解答後，才發現原來可以這樣做，又發現需要用的方法、公式自己都會，可是就是無法組織起來，好像空有一堆「知識」，卻不能組織成為「解題能力」。

什麼是引導思考解題？

我將題目分類成基本題、標準題、思考題，中等程度學生很快就能熟練基本題，然後學會標準題，接著就會面對思考題了。思考題是那些將標準題再變化、整合，或是根本沒見過的題目。也有學生覺得，我沒見過的題目我當然不會，真的嗎？我們學「解題」，是學會解決問題，不是「記下特定方式去解特定問題」。

題目包括三樣東西：已知、求解、範圍，我們必須分析題目，自己找出解題的方向並執行，有時還需嘗試錯誤再修正，得到答案再檢核答案，這完整的過程就是思考解題。就像在一個未知的世界摸索，也有很多不同的方式與規則，成功時更會有許多成就感。

本書的內容

本書共分七章。

第一章談代數解題策略，主要在整合並推廣在國中學過的數學，逐步建立一個重要的解題策略。

第二章到第六章大致配合高中第一冊與第二冊第一章的內容，深化課本內容，也建立一些小策略，並引導學習思考解題。

第七章談根據給定的定義解題，會提出一套完整的解題策略，讓讀者運用數學知識，去解決那些沒見過的題目。

題目多採用近年學測、指考題，也希望讀者體會：只要用課本知識，配合解題策略，就能輕鬆解出這些題目了。每個題目的詳解前附有「思考」，引導讀者配合題目循序思考，找出解題方向。詳解後附有「說明」，做一些補充或引導讀者對解題過程做一點回顧，希望能再深化學習。

大考中心自2002年起，都會公布正式大考選擇題與選填題的答對率，題後也附上供讀者參考，可藉此了解各題的難易程度。有時也會看到不難的題目，但答對率很低，這種題目多是當年的全新題目，已變成現在的標準題了。

如何使用本書？

如果讀者是高一的學生，請先學第一章，當做銜接國中與高中的跳板，並建立簡單的思考解題策略。然後配合學校的進度，先學會課本內容，再利用本書相應的章節，熟悉並應用各個解題策略，也由實例中琢磨自己運用解題策略與思考的能力，然後就可以到處找各種難題來自我挑戰，享受解題的樂趣。

如果讀者是要準備學測、指考的高三學生，也請先學第一章，然後依章節先看完課本一次，並注意課本中的每一個細節，隨後用本書做統整學習，也練習用自己的思考去解題。不要怕題目沒見過，解出沒見過的題目才是真正的解題。一旦解題策略熟悉後，也可以重新看那些標準題，可能會發現，有了合適的解題策略後，那些標準題會變成很自然就解出的問題了。

不論是哪一種學生，在讀到實例時，先看清題目，然後先試著自己解，解不出時，先看題目後的「引導思考」，一條一條看，也許看幾條並想過後就會解了，當看完引導思考後，可以重新再想一次，盡量能由自己解出來。最後會做或看了詳解後，再做一次回顧，也看一遍題後的說明，讓想法深入心中。只要用上述方式學習，漸漸就會感覺到深入學習的效果，雖然學一題的時間多很多，但學一題就有一題的效用，而且有累積的效果。

如果讀者是數學老師，閱讀本書是想增加更多不同的想法與比較。若您能認同我的觀念，懇請大家在講解思考題時，能在正式解題前，先引導學生看清題目，並用一些問題引導學生思考後，再帶著學生解題目。也許這樣會多花點時間，可是「教學生會思考」比「多教幾題」更重要吧。

再一些叮嚀

不管有多少策略，總要先看清題目，完整看完題目後才開始選擇有效的策略。前面提過，題目包括三樣東西：已知、求解、範圍，看完題目後考慮一下，也許只需要使用定義就可算出，也許是一個常見的標準題，看完就知道該如何做了。如果都不是，我們就必須自己從題目中去找尋做法。

「解題策略」就是在解思考題時我們的方向，尤其對於那些沒見過、有點難的問題，也許看完題目後，我們也不知道或不確定怎樣做一定會有答案，於是我們會「試試看」，這樣變化一下，那樣轉換一下，或者代入某公式看看結果如何？這些「試試看」不應該只是盲目的試運氣，而是找到方向，或至少知道哪些方向較有希望，或者是這樣做會離答案愈來愈近。

沒有完美的解題策略，沒有一個解題策略可以保證解出所有題目。別指望有人提供一個策略，從此就所向無敵。當我們心中有基本的解題策略後，小心呵護它，隨著更多的刺激，它會愈來愈擴大，愈來愈有效。愈大的策略，卻不一定愈複雜，有時還會更簡單，只是運用要更靈活。

有沒有解題策略又好用，又容易學？我提供一個：

一次條件式，可以代入其他部分消去一個文字數。

有沒有解題策略既規則簡單，又適用範圍大？我提供一個：

觀察已知與求解，哪些部分相同？哪些部分不同？將不同化為相似。

能將體會這策略並善用，就已經成為解題高手了。

前言

自2009年出版了《觀念數學1──如何學好中學數學》，得到了廣大的迴響，很多老師推薦學生閱讀，因為書中精確的指出了學生學習的問題與解決的方向，讓學生從書中得到了啟發，用更正確的方式學習，從而找到了更輕鬆、也學得更好的方法。

可是也有學生雖然發現自己學習有問題，卻很難真正改變自己的學習方法。因為在沒有其他幫助下，很難全面翻新自己已經習慣多年的學習方式。其中最困難的，是建立解題策略與運用自己的思考去解題，而這兩者是息息相關的。先熟悉基本定義、公式，也做過了基本題與標準題，許多同學都做得到，可是如何建...

第一章 代數解題策略
第1節 代數解題策略
第2節 解方程式
第3節 解方程組
第4節 求值問題
第5節 代換
第6節 化簡的方向
第7節 比大小的問題
第8節 其他解題需要的觀念

第二章 二次函數
第1節 函數與一次函數
第2節 二次函數

第三章 多項式的問題
第1節 多項式的運算與乘法公式
第2節 餘式定理與因式定理
第3節 解高次方程式
第4節 解不等式

第四章 方程式的問題
第1節 高次方程式的問題
第2節 一次聯立方程組的問題

第五章 指數、對數的問題
第1節 指數函數
第2節 對數函數
第3節 對數表應用

第六章 數列、級數的問題
第1節 等差數列與級數
第2節 等比數列與級數
第3節 一般數列、級數問題
第4節 數學歸納法

第七章 根據給定的定義解題
第1節 給定數學化定義或公式
第2節 依題意找出數學化定義或公式
第3節 依題意找出特定的程序

第一章 代數解題策略
第1節 代數解題策略
第2節 解方程式
第3節 解方程組
第4節 求值問題
第5節 代換
第6節 化簡的方向
第7節 比大小的問題
第8節 其他解題需要的觀念

第二章 二次函數
第1節 函數與一次函數
第2節 二次函數

第三章 多項式的問題
第1節 多項式的運算與乘法公式
第2節 餘式定理與因式定理
第3節 解高次方程式
第4節 解不等式

第四章 方程式的問題
第1節 高次方程式的問題
第2節 一次聯立方程組的問題

第五章 指數、對數的問題
第1節 指數函數
第2節 對數函數
第3節 ...