大自然的數學遊戲

序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼？
第三章 數學是什麼？
第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
第七章 噠噠的馬蹄聲
第八章 骰子扮演上帝嗎？
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結 語 開創形態數學
附 錄 名詞注釋
延伸閱讀

 

序

模式、模式、處處皆模式
李國偉

　　在這本書中，pattern是很關鍵的字眼，但是如何翻譯它卻是很傷腦筋的事。如果你翻開字典，大概多數解釋成「圖案、花樣、式樣、典型」。你可以想像一面龐大的牆，上面貼著美麗的壁紙，壁紙總可以從一塊印好特別設計圖畫的區域出發，再把圖畫反覆向四方擴散開來。這就是pattern的一種最具代表性的具象意義。

　　壁紙在視覺上帶來的規則性，就反映在圖案、花樣、式樣這些字眼裡。反過來當我們讀到這些字眼時，心裡便自然興起某種圖形的條理。但是我們現在需要把心理的認知向更抽象的層次提升，pattern標誌了物件之間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至思維的方式。

　　總而言之，pattern與規律性是密不可分的，它強調的是形式上的規律，而非實質上的規律。譬如說兩個蘋果的組成化學成分相當雷同，但是pattern的規律表現在它們長的樣子類似。

　　用圖案、花樣、式樣這些字眼翻譯pattern，似乎過於具象，但如果新造一些名詞，像「形樣」、「樣形」，或前面的「形」字都改成「型」字，讀者恐怕很難適應，也不容易掌握它的意思。因此我們採取中國大陸上專家討論這方面理論，已經漸漸約定俗成的翻譯法，把pattern譯作「模式」。

　　數學的世界

　　「模式」其實也是一個舊瓶，不過經由本書，讀者可以品嚐到它所容納的新酒，而且好像除了它，別的瓶子還不太容易裝這種新酒。

　　所謂的新酒，也就是本書所要傳達的核心觀念，就是說數學是研究模式的科學。

　　在巴比倫的時代，人已經會用數字記帳了。在古埃及的時代，丈量尼羅河氾濫後的田界，已經發展出幾何學。所以數學很久以來，被認為是研究「數」與「形」的學問。十七世紀牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）與萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）發明微積分，開始有能力掌握變動的量。函數與變換的概念，也因而日漸成長為數學裡重要的結構。這種比「數」與「形」更抽象的概念一旦成為數學研究的對象，人類創造各類抽象對象的限制似乎完全消失。數學的世界充滿了不具實存意義的物件，可是它們之間的規律，又持有比物理世界更絕對的確定性。

　　因此到了現代，數學已經遠超出研究「數」與「形」的範圍。如何刻劃數學研究的對象與特性，成為一個值得令人重新深思的課題。「模式」便是在這樣一種知識發展的背景中，被提出並且賦予統合意義的說法。

　　風吹草低見牛羊

　　本書的作者史都華是一位有成就的數學家，更練就一枝生花妙筆，在很多地方傳播數學的新知。他可能是繼《科學人》（Scientific American）雜誌「數學遊戲」專欄作家葛登能（Martin Gardner，《跳出思路的陷阱》及《啊哈！有趣的推理》作者）之後，寫數學普及文章最多產、也最有影響力的一位作家。

　　本書的特點在充分利用動力學，特別是非線性動力學的實例，說明模式的無所不在。這些數學的成果雖然是非常晚近的進展，但是像碎形、混沌等等新名詞，都能在極短時間內俘虜了大眾幻想的心。

　　自來水龍頭滴下的水滴，到底是以什麼過程與形式落下？馬匹奔騰的四蹄，到底什麼樣的順序與節奏邁進？環繞樹枝生長的葉片，到底按照什麼規則一圈圈伸展開來？這些現象都是日常生活中最容易看到的，但是它們背後的動力學成因，卻到最近幾年才搞清楚。如果你不看這本書，恐怕還不敢相信很普通的模式，卻具有極奧妙的產生機制。

　　「天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊。」你可以想像一枝枝草葉在風中擺盪的情景，但是巨大數量的草葉個別的運動狀態，簡直無法精確描述。然而牧草的原則，卻又像浩瀚的海洋，葉尖在風行下會如波浪般有規則、有韻律的起伏。因此一旦尋找到適當的尺度，就有可能發現形態或運動的規律模式。當代的數學仍在努力尋找恰當的語言與工具，去表達與發掘更深刻的模式。作者所倡議的新數學——「形態數學」（morphomatics），恐怕是我們別無選擇、非得邁進的道路。