拓樸學超入門：從克萊茵瓶到宇宙的形狀

9-11 高斯－博內公式③

――雙曲幾何結構9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係

這一節，一起來用曲率與面積，求曲率為1的曲面的歐拉示性數。

對曲率為1的閉曲面，進行多角形分割，跟前一節相同，令頂點數為v、邊數為 e、面數為 f、各面為 mi 角形、內角為α(i, 1)、α(i, 2)、⋯⋯、α(i, mi)，（i＝1, 2, ⋯ , f）。

曲率為1之曲面上的雙曲三角形，面積是π－（雙曲三角形的內角和），在此不做詳細解釋。因此，下述式子成立：

（雙曲 mi 角形的面積）＝π(mi－2)－α(i, 1)－α(i, 2)－⋯－α(i, mi)

跟前一節相同，由各面（mi 角形）所得的上述等式，相加全部的左式、右式後，下式成立：

∑ fi＝1[α(i, 1)＋α(i, 2)＋⋯＋α(i, mi)]＝2πv, m1＋m2＋⋯＋mf＝2e

可得下述等式：

S＝2πe－2πf－2πv＝－2π(v－e＋f )

因此，在這樣的情況下，可知高斯－博內公式成立如下：

(－1)‧S＝2π‧（歐拉示性數）

9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係

由高斯－博內公式，可知閉曲面高斯曲率的正負號，與歐拉示性數的正負號相同。

可定向閉曲面有球面、環面、雙人游泳圈、⋯⋯、n 人游泳圈（n＝0, 1, ⋯），其歐拉示性數為 2－2n（參見3-8節）。其中，可將零人游泳圈想成是球面（圖9-12-1）。

因此，n 人游泳圈在 2－2n＞0。所以，當 n＝0，此曲面具有橢圓幾何結構；在 n＝1 時，具有歐幾里得幾何結構；在 n≧2時，具有雙曲幾何結構。

而不可定向閉曲面是根據含有幾條莫比烏斯帶進行分類（圖9-12-2），含有 n 個的曲面Mn歐拉示性數為 2－n（其中，n＝0, 1, ⋯。參見5-11節）。由此可知，曲面mn在2－n＞0。因此當 n＝1（M0為球面，所以n≠0），此曲面具有橢圓幾何結構；n＝2 時，具有歐幾里得結構；n≧3時，具有雙曲幾何結構。其中，假設曲面是曲率固定的齊性圖形。

除了圖9-12-1球面，其他圖形不具齊性，非齊性圖形也有類似的公式成立，但該公式需用到積分符號，在此不深入討論，僅簡略說明。無論是如圖9-12-1的非齊性環面，還是更為歪曲的環面，從整體來看，連續相加曲面上的高斯曲率，最後會是一個定值。環面的正曲率和負曲率對消，可想成整體變為0。

Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？

前一章 Column8 說明了複雜網路，但其實在圖論（Graph Theory）中，已有明確定義簡圖的複雜度，在這裡大略介紹一下。由簡圖所有頂點作成、不同等「樹」（非封閉路徑的連通圖）的數量，稱為複雜度。「同等」是指，簡圖的頂點集合與邊集合一致的情況（參見圖1）。將總頂點數為 n 的完全圖表（所有頂點間皆以邊相連的簡圖）記為 Kn，K3的複雜度如圖2所示為「3」；K4的複雜度如圖3所示為「16」。

10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？

太空人在太空中進行艙外活動時，他們的周圍是無限延伸的三維空間。

排除黑洞、白洞等特異狀況，宇宙可想成是局部與 ℝ3 同胚的三維空間。這樣的空間稱為三維流形。

宇宙的全貌目前仍舊不明。如同二維人難以認識曲面的形狀，我們三維人也難以想像三維空間的形狀。

然而，若用存在於三維世界的圖形來表示宇宙，我們或許就能夠認識其形狀。例如，圓筒不存在於二維世界，所以二維人難以想像其形狀，但若用平面切開的截面形狀（圓形），加以連接，就能理解為「類似圓環面的形狀」（圖10-1）。同理，我們也能利用三維圖形想像宇宙的形狀。

幸運的是，龐加萊猜想的證明，讓我們對宇宙形狀有更進一步的理解。將宇宙視為沒有盡頭、非無限延伸的三維世界，則宇宙可由多個齊性流形「構成」。關於「構成」一詞會在10-10節概略講解，構成宇宙的流形，大致可分為八種齊性幾何結。

宇宙以局部來看是 ℝ3 ，但整體來看未必是 ℝ3 。在本章中，會介紹幾種具有齊性幾何結構的具體圖形，其中可能就有與宇宙形狀相同的圖形。

10-2 一維球面與二維球面

一維球面的圓形是與以 ℝ2上的原點為中心、半徑為1的圓 S1同胚；二維球面的圓形是與以 ℝ3上的原點為中心、半徑為1的球面 S 2 同胚。這一節要來講解，如何讓一維人和二維人，分別理解一維球面和二維球面的形狀。

想讓一維人理解一維球面，必須用一維世界中的圖形（點、線）來說明。所以，在此切開一維球面，用截面的形狀來解釋。

如圖10-2-1，用第二座標 y 切開單位圓 S1。在 y＝－1 切開，截面是一點；在－1＜y＜1 切斷，截面是兩點；在 y＝1 切開，截面又變回一點。

所以，我們可以說：一維球面的圖形是從某處以一點出現後，立刻變成兩點，持續維持兩點到某處後，又再度變回一點消失。

一維人透過分別連接 y＝－1∼0與 y＝0∼1 的截面圖形，認識到兩條線段，即可理解一維球面是黏合兩條線段邊界的圖形。

同理，將球面S2切開，觀測截面的圖形，會從一點（第三座標 z＝－1）開始轉為圓周，圓周半徑逐漸變大（－1＜z＜0），到 z＝0 達到最大半徑1後，接著逐漸變小（0＜z＜1），最後變成一點消失。

在 z＝－1∼0 與 z＝0∼1 都會形成圓盤，所以二維人可理解：二維球面是黏合兩圓盤邊界的圖形（圖10-2-2）

9-11 高斯－博內公式③

――雙曲幾何結構9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係

這一節，一起來用曲率與面積，求曲率為1的曲面的歐拉示性數。

對曲率為1的閉曲面，進行多角形分割，跟前一節相同，令頂點數為v、邊數為 e、面數為 f、各面為 mi 角形、內角為α(i, 1)、α(i, 2)、⋯⋯、α(i, mi)，（i＝1, 2, ⋯ , f）。

曲率為1之曲面上的雙曲三角形，面積是π－（雙曲三角形的內角和），在此不做詳細解釋。因此，下述式子成立：

（雙曲 mi 角形的面積）＝π(mi－2)－α(i, 1)－α(i, 2)－⋯－α(i, mi)

跟前一節相同，由各面（mi ...

本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學（Topology）概念。

在「拓樸學的世界」中，圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別，跟圓盤全都是相同的圖形，也都稱為圓盤。在這個世界上，我們平常不會稱為圓盤的形狀，竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球，一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」，但在拓樸學的世界中，只要球沒有破掉，球在飛行過程中的形狀完全相同。

可能有些人會覺得，這樣來看，「世間萬物不就都是相同的形狀？」但其實不然。例如，將咖啡杯的把柄部分放大後，會跟甜甜圈是同樣的形狀，但跟球體卻是不一樣的。此處，數學的「球體」是指，中間為實心的球狀物體，如同實心彈力球般的東西。

以拓樸學的觀點，判斷兩圖形是否相同，通常是相當困難的事，但我們可用各種「工具」進行判斷。透過這些工具，我們能以拓樸學的觀點捕捉圖形的特徵。這些工具稱為拓樸不變量（topological invariant）。

我們生存於三維空間中，因此無法將超過三維的形狀重現為眼前的物體，就連想像也極為困難。我們能夠想像歪曲的平面──曲面，但對歪曲的空間卻摸不著頭緒。然而，即便是數學上無法實際想像的圖形，也可透過拓樸不變量，以拓樸學的觀點進行討論。

在討論可想像與不可想像的圖形時，閉曲面是饒有趣味的概念。閉曲面如同其名是指「封閉的曲面」，例如球面、游泳圈等曲面，詳細內容會在本書正文中說明。球面是球體表面的圖形，例如沙灘排球等物體表面。

以拓樸學的觀點來分類閉曲面，我們能用孔洞數進行區別。由此可知，沙灘排球的孔洞數為0個，游泳圈的孔洞數為1個，所以兩者為不同物體；單人游泳圈與雙人游泳圈的孔洞數分別為1個和2個，所以在拓樸學上是不同物體。

試著比較不同的閉曲面，會發現球和泳圈兩者的彎曲狀態不一樣。例如，就我們的三維觀點來看，會認為球面是彎曲的，平面是平坦沒有彎曲的，因此能夠理解平坦平面與彎曲球面的彎曲狀態不一樣。游泳圈各處的彎曲狀態不同，平均值也與球面的彎曲狀態不一樣。雖然在拓樸學上「即便彎曲也是相同形狀」，但球和泳圈卻是不同形狀，出現令人意外的結果。

幾何化猜想（Geometrization Conjecture）讓我們能用彎曲形態來分類三維流形（manifold），也就是空間扭曲。

幾何化猜想提出後，數學家們煩惱數百年之久的著名龐加萊猜想（Poincare Conjecture），也在幾何化猜想得到證明後，於2003年左右成功得證。這些會在第9章與第10章概略說明。

本書的目標讀者是對數學有興趣的高中生、社會人士等，即便沒有學過大學數學的人，也能理解本書內容。期望各位能因此對拓樸學的構想、思維稍微產生一點興趣。

最後，本書的付梓出版深受許多人照顧，感謝science•i編輯部石井顯一先生多次幫忙校正、製作插圖等，各位同仁處理細部的修正，同時由衷感謝給予我執筆機會的今野紀雄教授。

名倉真紀

本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學（Topology）概念。

在「拓樸學的世界」中，圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別，跟圓盤全都是相同的圖形，也都稱為圓盤。在這個世界上，我們平常不會稱為圓盤的形狀，竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球，一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」，但在拓樸學的世界中，只要球沒有破掉，球在飛行過程中的形狀完全相同。

可能有些人會覺得，這樣來看，「世間萬物不就都是相同的形狀？」但其實不然。例如，將咖啡杯的把柄部分放大後，...

序
第 1 章 拓樸學是什麼？
「相同形狀」是什麼情況？
1-1 「相同形狀」是什麼？
1-2 位相的「相」是什麼？
1-3 「同胚」是什麼圖形？
1-4 位相的「位」是什麼？
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學

第 2 章 簡圖是什麼？
是否能「一筆畫」完成？
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼？
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼？
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？

第 3 章 認識拓樸不變量
圖形區別的工具
3-1 「歐幾里得空間」是什麼？
3-2 「圖形」是什麼？
3-3 「拓樸不變量」是什麼？
3-4 「成分數」與「維度」是拓樸不變量
3-5 計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼？
3-6 「單元分割」求歐拉示性數
3-7 「正多面體」的歐拉示性數
3-8 「T1、T2」的歐拉示性數
Column 3 「三菱形」能否一筆畫完不重覆？

第 4 章 映射是什麼？
理解拓樸學，不可不知「連續映射」
4-1 「映射」是集合到集合的對應
4-2 「連續映射」是什麼？
4-3 「同胚映射」是什麼？
4-4 舉例說明「同胚映射」
4-5 合痕形變與同倫形變
4-6 稱為「德恩扭轉」的同胚映射
Column 4 「定點定理」是什麼？

第 5 章 流形是什麼？
二維流形是指曲面
5-1 「流形」是什麼圖形？
5-2 在流形上畫「座標」
5-3 「有邊界的流形」是有盡頭的圖形
5-4 「開流形」與「閉流形」的區別
5-5 「有邊界流形」的例子
5-6 閉曲面的「展開圖」是什麼？
5-7 眼睛看不見，但可用展開圖表示的「射影平面」
5-8 曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」
5-9 流形的「方向」
5-10 以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」
5-11 「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」
Column 5 DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎？

第 6 章 嵌入圖形與浸入圖形
探討空間中的圖形
6-1 「正則射影圖」是什麼？
6-2 交叉交換轉為平凡扭結
6-3 四維空間中的扭結
6-4 「嵌入」是什麼？
6-5 扭結為邊界的「塞弗特曲面」
6-6 「扭結的虧格」是「扭結的不變量」
6-7 「浸入」是什麼？
6-8 「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形
6-9 「射影平面」浸入圖形
6-10 四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣？
Column 6 三維空間的射影平面是什麼形狀？

第 7 章 認識基本群
探討「封閉繩子＝環路」
7-1 從繩子能否收回，認識曲面的形狀
7-2 能夠縮成一點就是「單連通」
7-3 「同倫環路」是什麼？①
7-4 「同倫環路」是什麼？②
7-5 「基本群」是什麼？
7-6 「生成元」是什麼？
7-7 「圓周」的基本群
7-8 「環面」的基本群
Column 7 架橋遊戲
第 8 章 扭結的不變量
不變動也知道是否等價
8-1 判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」
8-2 三種變形「萊德邁斯特移動」
8-3 「三色性」是扭結不變量
8-4 「聯立方程式」判斷是否具有三色性
8-5 「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量
Column 8 什麼是「複雜網路」？

第 9 章 曲面幾何
三種曲率
9-1 彎曲狀態相同的「齊性流形」
9-2 「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態
9-3 「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態
9-4 圓柱、圓錐的高斯曲率為0？
9-5 平坦環面的曲率為0
9-6 「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構
9-7 「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 .
9-8 「球面三角形」內角和大於180°
9-9 高斯－博內公式①──橢圓幾何結構
9-10 高斯－博內公式②──歐幾里得幾何結構
9-11 高斯－博內公式③──雙曲幾何結構
9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？

第 1 0 章 宇宙是什麼形狀？
可能的形狀有哪些？
10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？
10-2 一維球面與二維球面
10-3 三維球面──橢圓幾何結構
10-4 三環面──歐幾里得幾何結構
10-5 K 2 ×S 1 ──歐幾里得幾何結構
10-6 透鏡空間──橢圓幾何結構
10-7 龐加萊十二面體空間──橢圓幾何結構
10-8 塞弗特－韋伯空間──雙曲幾何結構
10-9 積與束
10-10 幾何化猜想

英日文參考文獻
索引

序
第 1 章 拓樸學是什麼？
「相同形狀」是什麼情況？
1-1 「相同形狀」是什麼？
1-2 位相的「相」是什麼？
1-3 「同胚」是什麼圖形？
1-4 位相的「位」是什麼？
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學

第 2 章 簡圖是什麼？
是否能「一筆畫」完成？
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼？
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼？
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？

第 3 ...