9-11 高斯－博內公式③
――雙曲幾何結構9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
這一節，一起來用曲率與面積，求曲率為1的曲面的歐拉示性數。
對曲率為1的閉曲面，進行多角形分割，跟前一節相同，令頂點數為v、邊數為 e、面數為 f、各面為 mi 角形、內角為α(i, 1)、α(i, 2)、⋯⋯、α(i, mi)，（i＝1, 2, ⋯ , f）。
曲率為1之曲面上的雙曲三角形，面積是π－（雙曲三角形的內角和），在此不做詳細解釋。因此，下述式子成立：
（雙曲 mi 角形的面積）＝π(mi－2)－α(i, 1)－α(i, 2)－⋯－α(i, mi)
跟前一節相同，由各面（mi 角形）所得的上述等式，相加全部的左式、右式後，下式成立：
∑ fi＝1[α(i, 1)＋α(i, 2)＋⋯＋α(i, mi)]＝2πv, m1＋m2＋⋯＋mf＝2e
可得下述等式：
S＝2πe－2πf－2πv＝－2π(v－e＋f )
因此，在這樣的情況下，可知高斯－博內公式成立如下：
(－1)‧S＝2π‧（歐拉示性數）
9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
由高斯－博內公式，可知閉曲面高斯曲率的正負號，與歐拉示性數的正負號相同。
可定向閉曲面有球面、環面、雙人游泳圈、⋯⋯、n 人游泳圈（n＝0, 1, ⋯），其歐拉示性數為 2－2n（參見3-8節）。其中，可將零人游泳圈想成是球面（圖9-12-1）。
因此，n 人游泳圈在 2－2n＞0。所以，當 n＝0，此曲面具有橢圓幾何結構；在 n＝1 時，具有歐幾里得幾何結構；在 n≧2時，具有雙曲幾何結構。
而不可定向閉曲面是根據含有幾條莫比烏斯帶進行分類（圖9-12-2），含有 n 個的曲面Mn歐拉示性數為 2－n（其中，n＝0, 1, ⋯。參見5-11節）。由此可知，曲面mn在2－n＞0。因此當 n＝1（M0為球面，所以n≠0），此曲面具有橢圓幾何結構；n＝2 時，具有歐幾里得結構；n≧3時，具有雙曲幾何結構。其中，假設曲面是曲率固定的齊性圖形。
除了圖9-12-1球面，其他圖形不具齊性，非齊性圖形也有類似的公式成立，但該公式需用到積分符號，在此不深入討論，僅簡略說明。無論是如圖9-12-1的非齊性環面，還是更為歪曲的環面，從整體來看，連續相加曲面上的高斯曲率，最後會是一個定值。環面的正曲率和負曲率對消，可想成整體變為0。
Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？
前一章 Column8 說明了複雜網路，但其實在圖論（Graph Theory）中，已有明確定義簡圖的複雜度，在這裡大略介紹一下。由簡圖所有頂點作成、不同等「樹」（非封閉路徑的連通圖）的數量，稱為複雜度。「同等」是指，簡圖的頂點集合與邊集合一致的情況（參見圖1）。將總頂點數為 n 的完全圖表（所有頂點間皆以邊相連的簡圖）記為 Kn，K3的複雜度如圖2所示為「3」；K4的複雜度如圖3所示為「16」。
10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？
太空人在太空中進行艙外活動時，他們的周圍是無限延伸的三維空間。
排除黑洞、白洞等特異狀況，宇宙可想成是局部與 ℝ3 同胚的三維空間。這樣的空間稱為三維流形。
宇宙的全貌目前仍舊不明。如同二維人難以認識曲面的形狀，我們三維人也難以想像三維空間的形狀。
然而，若用存在於三維世界的圖形來表示宇宙，我們或許就能夠認識其形狀。例如，圓筒不存在於二維世界，所以二維人難以想像其形狀，但若用平面切開的截面形狀（圓形），加以連接，就能理解為「類似圓環面的形狀」（圖10-1）。同理，我們也能利用三維圖形想像宇宙的形狀。
幸運的是，龐加萊猜想的證明，讓我們對宇宙形狀有更進一步的理解。將宇宙視為沒有盡頭、非無限延伸的三維世界，則宇宙可由多個齊性流形「構成」。關於「構成」一詞會在10-10節概略講解，構成宇宙的流形，大致可分為八種齊性幾何結。
宇宙以局部來看是 ℝ3 ，但整體來看未必是 ℝ3 。在本章中，會介紹幾種具有齊性幾何結構的具體圖形，其中可能就有與宇宙形狀相同的圖形。
10-2 一維球面與二維球面
一維球面的圓形是與以 ℝ2上的原點為中心、半徑為1的圓 S1同胚；二維球面的圓形是與以 ℝ3上的原點為中心、半徑為1的球面 S 2 同胚。這一節要來講解，如何讓一維人和二維人，分別理解一維球面和二維球面的形狀。
想讓一維人理解一維球面，必須用一維世界中的圖形（點、線）來說明。所以，在此切開一維球面，用截面的形狀來解釋。
如圖10-2-1，用第二座標 y 切開單位圓 S1。在 y＝－1 切開，截面是一點；在－1＜y＜1 切斷，截面是兩點；在 y＝1 切開，截面又變回一點。
所以，我們可以說：一維球面的圖形是從某處以一點出現後，立刻變成兩點，持續維持兩點到某處後，又再度變回一點消失。
一維人透過分別連接 y＝－1∼0與 y＝0∼1 的截面圖形，認識到兩條線段，即可理解一維球面是黏合兩條線段邊界的圖形。
同理，將球面S2切開，觀測截面的圖形，會從一點（第三座標 z＝－1）開始轉為圓周，圓周半徑逐漸變大（－1＜z＜0），到 z＝0 達到最大半徑1後，接著逐漸變小（0＜z＜1），最後變成一點消失。
在 z＝－1∼0 與 z＝0∼1 都會形成圓盤，所以二維人可理解：二維球面是黏合兩圓盤邊界的圖形（圖10-2-2）
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名倉真紀的圖書 |
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$ 200 ～ 288 | 拓樸學超入門：從克萊茵瓶到宇宙的形狀
作者：名倉真紀、今野紀雄 ／ 譯者：衛宮紘 出版社：世茂出版有限公司 出版日期：2020-02-05 語言：繁體書  共 11 筆 → 查價格、看圖書介紹
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圖書介紹 - 資料來源：TAAZE 讀冊生活 評分：
圖書名稱：拓樸學超入門：從克萊茵瓶到宇宙的形狀
解釋超導體、量子力學
2016年諾貝爾物理學獎，就是以拓樸概念解開物質的奧秘！
馬克杯和甜甜圈竟然是相同的形狀？
如何一筆畫完成柯尼斯堡七橋？
映射、流形與扭結
從曲面幾何猜想宇宙形狀
解開百年大謎——龐加萊猜想！
這些都可以用拓樸學一一解密！
2016年的諾貝爾物理獎由3位英國學者共同獲得，其中1∕2的獎金頒給目前任教於美國華盛頓大學的David J. Thouless，其餘1∕2則由美國普林斯頓大學的F. Duncan M. Haldane及美國布朗大學的J. Michael Kosterlitz分享。
這3位學者獲獎的主要貢獻是「物質的拓樸相變及拓樸相態的理論發現」，物質在極低溫的環境中常會產生一些奇異的現象，這物質會轉變成完全不同的狀態（或稱相態），即人們熟知的超導體。
這個發現不僅開啟了人們對不同於傳統四態（即固態、液態、氣態、電漿態）及傳統相變的全新領域的探索，也對當前材料、電子科學及量子電腦的發展有重要的影響。
拓樸學（topology），是在數學上一門鑽研不會受到形狀或大小的連續變化而改變的幾何性質。
例如就幾何形狀來看，碗、馬克杯、甜甜圈這3樣東西，哪兩個看起來比較相似呢？
拓樸學從數學拓樸的概念來看，馬克杯跟甜甜圈其實才是相同的。
在拓樸學中有一種克萊因瓶，這是一個非常特殊的瓶子，我們生活的空間幾何維數是三維，而克萊因瓶只能在四維及更高維空間存在，理論上無法在我們三維空間中製造出來，就好像在一個二維平面上不能制造出一個球來一樣。
這是一種沒有開口也沒有出口的瓶子，沒有裡面也沒有外面，外面就是裡面，裡面就是外面，這是一種只存在四維空間的克萊因瓶之祕！
作者簡介：
名倉真紀
日本愛媛大學理學部數學系畢業，愛媛大學研究所理學研究科碩士課程修畢，津田塾大學研究所理學研究科博士課程肄業。曾為橫濱國立大學工學部生產工學系應用數學文部技術官員、橫濱國立大學工學部生產工學系應用數學助手，現為橫濱國立大學研究所工學研究院特聘研究教員。譯作有《変換群入門》、《数学を語ろう！1幾何篇》（Springer）、《オズの数学》（產業圖書）。
今野紀雄
日本東京大學理學部數學系畢業，東京工業大學研究所理工學研究系博士課程肄業。曾為室蘭工業大學數理科學共通講座助教授，美國康乃爾大學數理科學研究所客座研究員，現為橫濱國立大學研究所工學研究院教授。主要著作有《3小時讀通統計【漫畫版】》（世茂）、《マンガでわかる複雑ネットワーク》（Science Eye新書）、《図解雑学 複雑系》、《図解雑学 確率》、《図解雑学 確率モデル》（Natsumesha）等。
譯者簡介：
衛宮紘
清華大學原子科學院學士班畢。現為自由譯者。譯作有《數學文章寫作》、《世界第一簡單機器學習》、《世界第一簡單電力系統》（世茂出版）等。賜教信箱：emiyahiro@hotmail.com.tw
章節試閱
9-11 高斯－博內公式③
――雙曲幾何結構9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
這一節，一起來用曲率與面積，求曲率為1的曲面的歐拉示性數。
對曲率為1的閉曲面，進行多角形分割，跟前一節相同，令頂點數為v、邊數為 e、面數為 f、各面為 mi 角形、內角為α(i, 1)、α(i, 2)、⋯⋯、α(i, mi)，（i＝1, 2, ⋯ , f）。
曲率為1之曲面上的雙曲三角形，面積是π－（雙曲三角形的內角和），在此不做詳細解釋。因此，下述式子成立：
（雙曲 mi 角形的面積）＝π(mi－2)－α(i, 1)－α(i, 2)－⋯－α(i, mi)
跟前一節相同，由各面（mi ...
――雙曲幾何結構9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
這一節，一起來用曲率與面積，求曲率為1的曲面的歐拉示性數。
對曲率為1的閉曲面，進行多角形分割，跟前一節相同，令頂點數為v、邊數為 e、面數為 f、各面為 mi 角形、內角為α(i, 1)、α(i, 2)、⋯⋯、α(i, mi)，（i＝1, 2, ⋯ , f）。
曲率為1之曲面上的雙曲三角形，面積是π－（雙曲三角形的內角和），在此不做詳細解釋。因此，下述式子成立：
（雙曲 mi 角形的面積）＝π(mi－2)－α(i, 1)－α(i, 2)－⋯－α(i, mi)
跟前一節相同，由各面（mi ...
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作者序
本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學（Topology）概念。
在「拓樸學的世界」中，圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別，跟圓盤全都是相同的圖形，也都稱為圓盤。在這個世界上，我們平常不會稱為圓盤的形狀，竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球，一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」，但在拓樸學的世界中，只要球沒有破掉，球在飛行過程中的形狀完全相同。
可能有些人會覺得，這樣來看，「世間萬物不就都是相同的形狀？」但其實不然。例如，將咖啡杯的把柄部分放大後，...
在「拓樸學的世界」中，圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別，跟圓盤全都是相同的圖形，也都稱為圓盤。在這個世界上，我們平常不會稱為圓盤的形狀，竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球，一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」，但在拓樸學的世界中，只要球沒有破掉，球在飛行過程中的形狀完全相同。
可能有些人會覺得，這樣來看，「世間萬物不就都是相同的形狀？」但其實不然。例如，將咖啡杯的把柄部分放大後，...
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目錄
序
第 1 章 拓樸學是什麼？
「相同形狀」是什麼情況？
1-1 「相同形狀」是什麼？
1-2 位相的「相」是什麼？
1-3 「同胚」是什麼圖形？
1-4 位相的「位」是什麼？
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學
第 2 章 簡圖是什麼？
是否能「一筆畫」完成？
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼？
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼？
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？
第 3 ...
第 1 章 拓樸學是什麼？
「相同形狀」是什麼情況？
1-1 「相同形狀」是什麼？
1-2 位相的「相」是什麼？
1-3 「同胚」是什麼圖形？
1-4 位相的「位」是什麼？
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學
第 2 章 簡圖是什麼？
是否能「一筆畫」完成？
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼？
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼？
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？
第 3 ...
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