銀行的算法，哪裡跟你不一樣？：打敗合法金融陷阱，有方法

怎樣看穿金錢計算陷阱？

問題01　存款，複利真的比單利划算？
下表為存款一百萬元，以年利率六%單利（存款Ａ）、五％複利（存款Ｂ）兩種方式計算，累計十年之利息試算表。這兩種計算利息的方式會在第二年後產生差異。

　 存款Ａ是以當初一百萬元本金的六％計算，也就是每年產生六萬元的利息，這稱為「單利」；存款Ｂ第一年生出的利息（不扣稅的話是五萬元）在第二年時滾入本金，所以第二年的利息是一百零五萬元的五％，這稱為「複利」。

　 根據表中計算出的十年內利息所得來看，雖然存款Ａ的利率較高，但因複利作用，存款Ｂ的總利息反而較多。

　 很多理財專家都使用類似表格來舉例，藉以推論「複利比單利有利」，這種觀點可說比比皆是。不過在此我想請讀者思考看看，前述計算過程與背後邏輯的矛盾之處（請假設沒有扣稅，以簡化思考）。

真相01　直接比較單利與複利的所得，你可能虧大了
　 金融計算中，「複利計算」原本就是理所當然的。好比說，借錢時如果沒有支付利息，那麼你沒付給債主的利息一定會加進本金裡，使利息負擔越來越重——這樣子思考應該比較容易理解。

　 所以存款Ａ要以單利來計算，必須符合一個前提：每年收取的六萬元利息沒有留在戶頭裡、全部消費掉。只有這樣才能合理地解釋，為何無法採用複利計算。存款Ａ在第一年獲得的六萬元利息，如果沒花掉，本來應該滾入本金當中，可是第二年以後的利息，卻一直以最初的本金一百萬元為基礎計算單利，實在不合理。這種計算方式等於認定存款人一定會刻意將利息提領出來揮霍掉，與常理不太相符。

　 順著以上說法的邏輯來做比較，首先，存款Ｂ的意思是，以複利計算所得的利息，全部都要等到十年後才能領取；相對的，存款Ａ的意思是，利息是每年領取，可以自由使用（可用來消費，也可另作存款），所以兩者的利息所得金額不能像前一頁的表一樣，直接拿來做比較。

　 年利率一％的差距其實很大，所以存款Ａ才是較有利的存款方式，如果是我，當然會選擇存款Ａ。單利與複利的道理，其實比想像中困難。

問題02　銀行的複利表白紙黑字，這也假得了嗎？
　 我們還會繼續再談幾個複利與單利的問題，首先，是前一個問題的複習題。

　 例如某項具複利效果的金融商品，當資金為一百萬元、年利率五％，比較單利和複利的效果：單利的話，四十年只增加到三百萬元，同樣四十年的時間，複利則是增加為七百零四萬元，複利的威力在此再度得到證明。

　 長期下來竟會產生如此大的差距，好像還是「複利比單利有利」，可是，到底哪裡有問題？

真相02 複利表沒說，四十年以後的一萬塊，不值一萬塊
　 如果你能充分了解第一個問題的真相，下面的說明應該不會太難懂。

　 一年計算一次單利，那麼每年應可領取五萬元的利息（如果不以相同的一年為期來計算，那麼要比較單利和複利的計算結果就沒有意義了），這麼一來，單利計算四十年，所算出的三百萬元本利和當中，會包含了一年後拿到的五萬元，也包含了兩年後拿到的五萬元，以及三年、四年……每一年年底可以拿到的五萬元。

　 另一方面，複利計算的本利和為七百零四萬元，全部都要在四十年後才拿得到，因此，前頁的圖表是把一年後拿的一萬元和四十年後拿的一萬元視為等值，單純的相加起來，然後和單利的計算結果比較大小。

　 可是，一年後的一萬元和四十年後的一萬元，雖說都是一萬元，價值卻完全不同。當然，較早拿到的價值比較高（因為通貨膨脹），這種特性在金融世界中尤其重要。

　 如果想要加總做評價，計算前應推估四十年後的一萬元價值約為現在的多少錢（例如，四十年後的一萬元，只值現在的四千元），也就是應該先設定好換算前提再來計算。一年後或兩年後、三年後的一萬元，也必須經過同樣的換算過程。

　 金額雖然可以輕易相加，但是單純的直接相加起來，就混亂了真正的價值。

行家這麼說　錢莊重利的關鍵在於計息間隔
　 正如真相01所說的，只要利息沒有用掉，只要你這筆錢留在金融的世界中，一定是以複利計算的。因此，利息計算的重點反而是「計息的間隔」。

　 假設將一百萬元存為一年期的定存，而年利率為二○％，計息間隔為一年，那麼一年後的利息就是二十萬元。

　 如果改成半年計息一次，會如何呢？存入半年後，可得年利率二○%的一半，一百萬元的一○％，也就是十萬元。這筆利息若是馬上被領出消費掉，一年到期時利息只會有十萬元；但前半年的利息如果加到本金，本金增為一一○萬元，到期時以一一○萬元的一○％計息，即十一萬元，一年合計便有二十一萬元利息。

　 計息的間隔以半年為單位，明顯比一年有利。以半年計息一次的情況來說，就算前半年獲得的利息立刻花掉，一年內合計的利息只有二十萬元，還是比一年計息一次有利。因為其中的十萬元可以提早半年拿到。

　 同一筆存款，一樣是年利率二○％的條件，如果改成每三個月計息一次，則更有利。三個月是一年的四分之一，年利率二○％的四分之一是五％，即每三個月可以拿到五％利息，總金額增為一○五萬元，利息不花掉，滾入本金，以複利計算，半年後本利和為一一○．二五萬元，所以比每半年計息一次（本利和一一○萬元）更有利。

雖然有點嘮叨，我還是要再說一次，造成這種差距的因素並不是複利，而是計算利息的間隔頻率。如果年利率相同，以三個月為單位計息，和以一年或半年為單位計息相比，即使每三個月領到的利息立刻消費掉，而變成單利計算，還是比較有利，因為你可以提早拿回利息。

　 當然，以一個月為單位計息，更為有利，而以一天為單位，則又更加有利。實際上也有以一天計息一次為賣點的金融商品。

　 不過，到目前為止我們談的計算，其實在前提上是有問題的。假設兩筆都是一年期的存款，如果存款Ｘ單純以一年為單位計息，而存款Ｙ則以一個月為單位複利計息，兩者設定的利率竟然相同，並不合理。銀行在計算的時候，存款Ｙ的本利和金額較高、比較有利，因此銀行會將存款Ｘ的利率設定得高一些，也就是說年利率一定高於月利率。結果，跟銀行往來的時候，計息間隔或單利、複利的差別，現實生活中沒有那麼明顯，因為已經調整過了，不過，假如實際上有明顯的差距，就是商品設計有問題。

按：現實生活中，這種設計有問題的借貸條件還真的存在，那就是民間借貸（地下錢莊）：假設你用兩分利（二○％）借了一百萬，說好借一個月。但錢莊跟你輕描淡寫說七天算一次利息喔！你別以為月底你連本帶利還一二○萬就沒事。七天算一次利息，意思是七天以後你就要付出本利一二○萬，然後一個月有四週，本利滾了四次，月底你得還他本利和二○七．三六萬！

問題03　外幣存款，一個月複利比一年單利划算？
　 曾經有某家大型銀行的廣告刊載了以下的理財建議：理財時，應儘量活用複利效果。以同樣的利率（年利率）存款一年，與其採用「一年定存、單利」的形式，不如採用「一個月定存，到期自動轉存下一期、持續一年，等於每月複利一次」的方式，複利效果更能有效地發揮。

這則建議刊載於外幣存款的廣告中，銀行理財專員還會試著以具體的數值來幫你思考：利率設定為六％，一萬美元存款一年，比較一年後的利息金額。

　 若為一年單利，一年後可得六百美元利息；若為一個月複利，年利率六％，月利率則為○•五％（六％除以十二個月），每個月將所得利息滾入本金，可算出一年後拿到的利息約六百一十七美元。的確，一個月複利的方式看來是可以多拿到約十七美元的利息。

　 不過這個計算是有問題的，問題出在哪裡呢？

真相03　拿確實的金額和不確實的金額作比較
　 前述問題的計算，背後所依據的是一個不存在於現實生活中的假設。

首先，銀行如果真的有一個商品，採取一個月定存到期自動轉存的形式，那麼這種理財工具不太可能設為固定利率，應該是每個月的利率可能都會變動（採取浮動利率）。

所以，第二個月後不見得還是年利率六％。一個月定存、複利滾一年，由於利率未定，沒辦法確切算出一年下來會有多少利息收入。

　 第二，一年期定存與一個月期定存的利率相同，此一假定也有問題。一年期定存必須等一年到期才可將錢領出，一個月定存只要過一個月就能領出，前者的便利性較低，所以一般來說一年期定存的利率會高一些。

　 有一些例外的情況，會使一個月定期的利率和一年定存的利率相同。第一個可能性，是該銀行暫時讓一個月定存的利率顯得有利可圖，用來吸引民眾。但這種情形，你必須先有心理準備：第二個月以後銀行會調降利率。

　 第二個可能，則是金融人士多數預測「幾個月後可能降息」，銀行反映此種預期，將一年期定存的利率調低，結果變得和一個月期定存的利率相同。這種情況下，由於多數專家預測利率會下降，所以一個月之後定存利率降低的危險性很高。

　 不管是哪一種情況，都顯示不能僅著眼於複利效果，就貿然選擇「一個月定存、到期自動轉存」的存款方式。你可能第二個月就因為利率調低而後悔。

問題04 先打折、再用會員價，還是先用會員價、再打折？
　 某家服飾店今天舉行拍賣，所有商品打七折，標價雖然還是原價，但到收銀台結帳時會減掉三○％的金額。此外，持有會員卡者，也適用會員優惠一○％，打折再打折，很划算。

　 會員卡的折扣也是在結帳時扣除，但是，折扣並不是三○％加上一○％、直接加起來變成四○％的折扣，而是總金額先減掉三○％後，店家實拿的七成部份再減一○％，或者先減一○％後再少拿三○％。

　 那麼，對於希望結帳時能更占便宜的人而言，下列三個算法哪一種才正確？

　○1先減三○％較有利
　○2先減一○％較有利
　○3都一樣

真相04　如果這題你也錯，銀行吃死你！
　 答案是○3，因為不論先扣三○％或先扣一○％，最後的折扣幅度都一樣。依照上圖的思考方式，這就變成一個很簡單的問題。對定價進行○•七倍和○•九倍兩次乘法計算來說，只是誰先誰後的問題而已，如果了解「ａ×ｂ＝ｂ×ａ」的原則，不必實際計算，也可發現兩種算法的結果是相等的。

　 不過，筆者試著口頭詢問身邊的大學教職員，答錯的人居然超過半數。認為不必實際計算就能簡單作答的，多半會依直覺認為「以○1的方法，先減掉大的折扣較有利」。甚至連經濟學者、數學專家等經常使用高等數學的人也會搞錯（問學生的話，大部分都答錯）。相反的，自覺不擅長計算而進行筆算的人，不必真正計算，在書寫的階段就能發現正確的答案。

怎樣看穿金錢計算陷阱？問題01　存款，複利真的比單利划算？下表為存款一百萬元，以年利率六%單利（存款Ａ）、五％複利（存款Ｂ）兩種方式計算，累計十年之利息試算表。這兩種計算利息的方式會在第二年後產生差異。　 存款Ａ是以當初一百萬元本金的六％計算，也就是每年產生六萬元的利息，這稱為「單利」；存款Ｂ第一年生出的利息（不扣稅的話是五萬元）在第二年時滾入本金，所以第二年的利息是一百零五萬元的五％，這稱為「複利」。　 根據表中計算出的十年內利息所得來看，雖然存款Ａ的利率較高，但因複利作用，存款Ｂ的總利息反而較多...