費波納契的兔子︰50個改變歷史的數學大觀念

代數之父活到多大年紀？
把字母使用在總和中

丟番圖（Diophantus of Alexandria）是相當神祕的人物，我們不清楚他在世的年代，只能推測他出生於第3世紀初，活躍於公元250年前後。
他似乎是第一個為解方程式而用字母代表數的人，因此得到「代數之父」的尊稱。他盡可能使用整數，但又不接受簡單分數也是數。

活到多大年紀？
公元500年的《希臘詩選》（Greek Anthology）收錄了一道關於丟番圖幾歲去世的謎題：「他的少年期占了一生的1/6；接下來的1/12歲月裡，他的鬍子長出來了；在隨後1/7的人生，他娶了妻子，五年後生下兒子；兒子活到了父親一半歲數，比父親早四年去世。」
解這道謎題的其中一個方法是利用他的代數，也就是寫出一個丟番圖方程式（Diophantine equation）。令x為他活到的歲數，那麼我們就可以根據題意，寫出x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
這個方程式解出來的結果是：9x = 756，也就是x = 84。
還有一個解題方法，是認清丟番圖只喜歡用整數。由此可知，他的歲數一定可被12和7整除；12  7 = 84。把這個數代回題目驗算一下，結果絲毫不差。

《算術》
丟番圖寫了一部巨著《算術》（Arithmetica），共有13卷，但只有六卷留存下來。書中描述了130個問題，並提供數值解。
《算術》是談論代數的第一部重要著作，不僅對希臘數學有極大的影響，對阿拉伯數學及後來的西方數學也有重大的影響。丟番圖除了用符號代表未知量，還使用了表示「相等」的符號（但不是我們所用的等號「=」，等號的發明要感謝英國數學家羅伯・雷科德［Robert Recorde］）。
丟番圖的方程式大多是二次的，等式裡有以某種形式出現的x2和x。對我們來說，這樣的方程式有兩個解。譬如這個方程式
x2 + 2x = 3
可以解出
x = 1或x = 3
但是丟番圖從來沒有費神找出超過一個解（或「根」），而且可能也忽略負數，認為負數沒有意義或不合理。若把數字當成用來計數東西的基數（cardinal number），這是合乎邏輯的；沒有3顆蘋果這樣的量。不僅如此，他也沒有零的概念。
儘管有這些小缺點，丟番圖實質上為代數奠定了基礎，同時在數論方面也做出重大的進展。某位法國數學家讀到《算術》之後，竟讓他聲名大噪。

費馬最後定理
丟番圖去世幾百年之後，《算術》將激起數學上最著名的定理之一。費馬出生於1607年，是法國土魯斯高等法院的律師，也是有才華的業餘數學家。他在數學上做出幾個重大的進展，他提出的猜想大多證明是對的。
丟番圖在《算術》中討論到畢氏定理（見第26頁）。這是在說以下的方程式
x2 + y2 = z2
有無限多組整數解。費馬在他這本《算術》的頁邊空白處（用拉丁文）寫下：

一個立方數不可能寫成兩個立方數的和，一個四次方數也不可能寫成兩個四次方數的和，或者推廣到一般情況下，一個大於二次的任意次方數，都不可能寫成兩個同樣方數的和。

換句話說，費馬把畢氏方程式延伸到
xn + yn = zn
並且斷言，這個方程式在n大於2時沒有整數解。接著他寫道：「針對這個命題我有絕妙的論證，這裡的空白處太窄，寫不下。」
費馬在大約1637年寫下這段文字，但沒有發表，也沒有告訴任何人。他習慣做這樣的斷言又不提出證明，而且通常是對的。他在1665年去世，他的兒子在1670年把他的筆記集結出版，結果全世界數學家的目光都落在這個問題上，開始尋找證明。這個惱人的小謎題，就是後來眾所周知的費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）。
懸賞了無數的解題獎金，也有無數的錯誤答案提交了，數學家仍忙著解題。直到1994年，英國數學家懷爾斯和這個難題纏鬥30年之後，終於提出了篇幅很長的複雜解答（見第165頁）。
懷爾斯用到了一些費馬可能還不知道的高等近代數學，那麼費馬是不是真的有絕妙的論證呢？我們可能永遠不會知道。

代數之父活到多大年紀？
把字母使用在總和中

丟番圖（Diophantus of Alexandria）是相當神祕的人物，我們不清楚他在世的年代，只能推測他出生於第3世紀初，活躍於公元250年前後。
他似乎是第一個為解方程式而用字母代表數的人，因此得到「代數之父」的尊稱。他盡可能使用整數，但又不接受簡單分數也是數。

活到多大年紀？
公元500年的《希臘詩選》（Greek Anthology）收錄了一道關於丟番圖幾歲去世的謎題：「他的少年期占了一生的1/6；接下來的1/12歲月裡，他的鬍子長出來了；在隨後1/7的人生，他娶了妻子，五年後生下兒子；兒子活到了...

【自序】
前言

數學不像其他的科學，有自己的模式與微妙之處。數學並不依附在物質世界中，不依鉛的重量、天空的蔚藍或火藥的可燃性而定。數學的進展往往出自純粹的洞察力與邏輯，而且一直到不久前，數學家幾乎只需要紙筆就能編織出奇蹟。

實驗已經顯示許多動物，如烏鴉、老鼠、黑猩猩等等，可以數算到非常大的數目。因此似乎可以合理假定，早期人類即使不用手指頭，也擁有類似的計數本能。

畢達哥拉斯（Pythagoras）是最早的數學先驅之一，他在公元前571年出生於希臘的薩摩斯島（Samos），最後在義大利南部的克羅托內（Crotona）創辦了一個古怪的數學學派，他的門徒不許吃豆子、碰白羽毛，或在陽光下「撒尿」。他並沒有發明那個關於斜邊上正方形面積的著名定理（x2 + y2 = z2），而是給出了證明。事實上，他引進了證明（proof）的概念，這是數學的基本宗旨之一。在數學上，證明就是一切，而科學不能證明一件事情的正確性；科學家可以駁倒某些想法，但永遠無法證明這些想法絕對正確。

證明是費馬最後定理的關鍵特徵。皮耶・費馬（Pierre de Fermat）是一位法國律師，他讀到一段討論畢氏定理的文字時，在旁邊批註說，xn + yn = zn這個方程式在n大於2時沒有整數解。他寫道：「我已經找到一個很漂亮的證明，可是這裡的空白處寫不下。」在他1665年去世的時候，有人發現了這則眉批，接下來330年間，許多傑出數學家想盡辦法找出他的證明，但沒有找到。後來在1995年，安德魯・懷爾斯（Andrew Wiles）終於解開難題——只不過，懷爾斯的證明篇幅長達150頁，所用到的數學方法在費馬的時代還無人知曉。所以，我們可能永遠不會知道費馬是否說對了。

數學往往適合當作謎題，在1202年的一本書《計算之書》（Liber Abaci）中，比薩的雷奧納多（Leonardo of Pisa，人稱費波納契［Fibonacci］）就用了一道謎題，引進一個非常有趣的數列。他請讀者想像一對小兔子，牠們一個月後就發育為成兔，然後會生出一對小兔子，這對小兔子也會在一個月後長為成兔然後繁殖下一代。現在要問：「在每個月的月底，會有多少對兔子？」結果發現答案是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...。由於它是把前兩個相鄰的數相加得出下一項，所以這個數列可以永無止境繼續下去。費波納契數列裡的數字，在自然界到處可見。花瓣的數目經常是3、5或8瓣；松果上的鱗片通常排列成8條呈順時針旋轉的螺線和13條呈逆時針的螺線。費波納契非常聰明，阿拉伯數字系統也是他得知後，引進到西方世界的。

如果沒有這些，後來的數學先鋒絕對不會得到他們的發現。若沒有費波納契，牛頓（Newton）與萊布尼茲（Leibniz）就不會想出微積分。若微積分從未發明出來，歐拉（Euler）、高斯（Gauss）、拉格朗日（Lagrange）、巴斯卡（Pascal）的許多想法就不會出現，而他們的想法又對伽羅瓦（Galois）、龐加萊（Poincaré）、圖靈（Turing）、米爾札哈尼（Mirzakhani）等人的研究工作至關重要。此外，當然也就不會有費馬最後定理的證明。

就像費波納契的兔子與費波納契數列一樣，所有這些數學發現都建立在先前的基礎上，變得愈來愈壯大，未來還會繼續壯大下去。

【自序】
前言

數學不像其他的科學，有自己的模式與微妙之處。數學並不依附在物質世界中，不依鉛的重量、天空的蔚藍或火藥的可燃性而定。數學的進展往往出自純粹的洞察力與邏輯，而且一直到不久前，數學家幾乎只需要紙筆就能編織出奇蹟。

實驗已經顯示許多動物，如烏鴉、老鼠、黑猩猩等等，可以數算到非常大的數目。因此似乎可以合理假定，早期人類即使不用手指頭，也擁有類似的計數本能。

畢達哥拉斯（Pythagoras）是最早的數學先驅之一，他在公元前571年出生於希臘的薩摩斯島（Samos），最後在義大利南部的克羅托內（Crotona）創辦了...

目錄

前言 8

1 摸索：公元前2萬年－公元前400年 10
伊尚戈骨上面有什麼？——古代人類 12
最早的計數證據
為什麼我們數到「10」？——古代人類 15
數字的起源
為什麼一分鐘有60秒？——蘇美人 18
蘇美人的六十進位制
可以化圓為方嗎？——古埃及人、古希臘人 21
希臘人怎麼對付無理數
使分數變成埃及分數的因素是什麼？——古埃及人 24
萊因德紙草書與古埃及數學
證明是什麼？——畢達哥拉斯 26
畢氏定理
無限大有多大？——古希臘人 29
非常大與非常小的數學

2 問題與解答：公元前399年－公元628年 32
誰需要邏輯？——歐幾里得 34
歐幾里得的《原本》
質數有多少？——歐幾里得 37
歐幾里得的反證法
圓周率是什麼？——阿基米德 40
找出圓周率π的界限
地球有多大？——埃拉托斯特尼 43
太陽、影子與希臘幾何學
代數之父活到多大年紀？——丟番圖 46
把字母使用在總和中
空無是什麼？——婆羅摩笈多 49
零的值

3 兔子與現實世界：629¬—1665年 52
可不可以做沒有數字的算術？——花拉子密 54
解二次方程式
有多少兔子？——費波納契 57
大自然的數列
數目一定是真實的嗎？——邦貝利 60
1的平方根
怎麼用骨頭做加法？——納皮爾 63
簡化乘法的第一個方法
酒桶有多大？——克卜勒 66
切薄片求體積
笛卡兒坐標是什麼？——笛卡兒 69
解析幾何學興起
機會有多大？——巴斯卡 72
機率論的發明
你可以算出微小距離下的速率嗎？——牛頓與萊布尼茲 75
微積分的發明

4 填補數學之間的空缺：1666—1796年 78
歐拉數是什麼？——歐拉 80
一切增長背後的數字
你可以過橋嗎？——歐拉 83
送給我們圖論的遊戲
偶數可以拆成質數的和嗎？——哥德巴赫 86
簡單到令人洩氣的猜想
流動要如何計算？——白努利 89
空間受限制的流動，守恆的能量
在太空中哪裡可以停車？——拉格朗日 92
三體問題
螞蟻能夠判斷自己在一顆球上嗎？——高斯 95
高斯曲率

5 救命、邏輯與實驗：1797—1899年 98
波動怎麼造成溫室效應？——傅立葉 100
傅立葉變換
振動為什麼會產生模式？——熱爾曼 103
數學彈性的起步
有任何解法嗎？——伽羅瓦 106
解方程式的新方法
機器可以製表嗎？——巴貝奇與勒夫雷思 109
最早的機械計算機
思維的規則是什麼？——布爾 112
布爾代數的發明
統計可以救命嗎？——南丁格爾 115
統計分析與醫療改革
面有多少？邊又有多少？——莫比烏斯與李斯廷 118
拓樸學的誕生
它落在哪裡圓圈裡？——文恩 121
文氏圖
為什麼有些系統雜亂無序？——龐加萊 124
機遇背後的數學

6 在腦海和宇宙中：1900—1949年 128
很多猴子有可能寫出莎士比亞的作品嗎？——博雷爾 130
無限猴子定理
能量永遠守恆嗎？——諾特 133
用代數來定義宇宙
計程車的車牌號碼很無趣嗎？——拉馬努金 136
1729與數論
最好的贏法是什麼？——馮諾伊曼 139
賽局理論與數學策略
它完備嗎？——哥德爾 142
質疑數學的本質
反饋迴路是什麼？——維納 145
控制與通訊理論
用什麼方式傳輸資訊最好？——夏農 148
位元與數位訊號
你應該改變策略嗎？——納許 151
無悔賽局理論

7 現代電腦時代：1950年－ 154
機器可以解決問題嗎？——圖靈 156
解決判定性問題的辦法
一隻蝴蝶怎麼會引發一場龍捲風？——勞倫茲 159
關於不可預期事件的數學
用飛鏢與風箏可以鋪成什麼圖案？——潘洛斯與艾雪 162
潘洛斯的迷人花磚
費馬有證明嗎？——懷爾斯 165
解決費馬最後定理
事物如何彎曲？——米爾札哈尼 168
黎曼曲面的動力學
盾片狀是什麼形狀？——哥梅茲－賈納斯等人 171
發現新的形狀

詞彙表 174

索引 175

目錄

前言 8

1 摸索：公元前2萬年－公元前400年 10
伊尚戈骨上面有什麼？——古代人類 12
最早的計數證據
為什麼我們數到「10」？——古代人類 15
數字的起源
為什麼一分鐘有60秒？——蘇美人 18
蘇美人的六十進位制
可以化圓為方嗎？——古埃及人、古希臘人 21
希臘人怎麼對付無理數
使分數變成埃及分數的因素是什麼？——古埃及人 24
萊因德紙草書與古埃及數學
證明是什麼？——畢達哥拉斯 26
畢氏定理
無限大有多大？——古希臘人 29
非常大與非常小的數學

2 問題與解答：公元前399年－公元628年 32
誰需要邏輯？——歐幾里得 34
歐...