導讀
發掘數學的趣味蔡聰池
如果你是一位家長，如果你有一個上中小學的孩子，如果你的孩子正陷入了「發燒友」、「追星族」的狂熱之中，而你又想改變孩子的興趣和注意力，使孩子樹立正確的人生觀和價值觀，那麼，我建議你帶孩子去逛書店，為他選購幾本具有正確價值取向，能鼓勵人們奮發向上的課外讀物。這時候，或許你會感到失望，坊間適合青少年閱讀的圖書，實在不多。
數學是人類智慧的結晶，同時也是人類走向未知世界的階梯，打從我們懂得說話起，我們就跟數字打交道，生活在數學的世界裡面。家長誰不希望自己的孩子能在數學王國裡一馬當先，出類拔萃呢？
為了培養孩子高超的數學技能，養成嚴密的邏輯思維習慣，家長想盡辦法，首先是對孩子的課堂數學作業嚴加督導，又將一大堆的課外輔導題、競賽題擺到孩子的桌上。這樣，除了習題還是習題，不但嚴重地增加了孩子那本來就過重的學習負擔，而且還很容易使孩子對數學產生厭煩、反感的情緒，家長們對此並非毫無所悉，只是覺得除了做題之外，別無他法。
大多數家長或許都已注意到，孩子在課餘時間，自覺捧讀的往往都是童話、故事、漫畫，有些甚至愛不釋手，連吃飯、上廁所時都津津有味地閱讀，這就給了我們一個啟示：能否讓孩子像品味神話故事一樣，在輕鬆愉悅的狀態下，自覺地拿起數學書籍？只有喜歡，才能主動學習，才能把數學學好，這是一個最簡單不過的道理。
《數學小精靈》正是在這個啟迪之下編撰而成的。作者選擇了討厭數學的小男孩羅伯，在12場夢中，與數學小精靈一起展開數學冒險，有了這層固定關係做為故事背景，於是，數學小精靈所代表的數學題材，以及他對數學的看法加諸在周遭的事物上時，自然而然地產生出一種境界來，使它顯出應有的意義和價值。這時，作者又很客觀地把羅伯對數學的觀感和心理轉變過程記錄下來。從厭煩、懷疑、驚訝、欽佩到最後成為數學學徒。我們不去管他究竟是受到數學小精靈的影響，還是在不知不覺中發揮了自我的潛能。由認識質數、無理數、波拿數等數學世界中的成員，漸漸認識到數學的奧祕，從此不再害怕數學。它給我們的啟示是：數學不再是抽象枯燥的課本知識，而是充滿魅力與靈性，與現實生活息息相關的活動。數學的教學給學生帶來的不必是知識灌輸、題海大戰後的厭倦，而是討論鑽研、發現之餘的喜悅與無窮的求知欲。
如何有效地使用這本書？！
本書之所以具有難以抗拒的魅力，其中很重要的一個原因，是它的問題淺顯易懂，也特別迷人。另外，它又並不需要過多的預備知識，初學者即可登堂入室理解它的許多重要內容。儘管作者如此用心選用題材，我還是得說；這所有的問題都是數學的，也就是說，它精細地對一些相當抽象的概念進行了推理和說明。學數學最好的辦法就是「做數學」。讀者如果能養成讀書時，手邊備有紙和筆這一習慣，邊看邊想邊做，多花時間在深思問題和嘗試不同的方法是值得的，雖然我不能保證書中每一環節都能讓讀者有所啟發，但相信本書絕對不會讓讀者毫無所獲。它的價值實際取決於「讀者能否將遍布於文章中的問題認真地思考。」
我們應該牢記：數學書不能讀得很快，也一定不要期望，讀第一遍的時候就能理解書的全部內容。我們最需要學習的是：被題目困住是一種普遍且可接受的狀況與思考的歷程。數學思考力是在矛盾、緊張和驚喜中被挑起。千萬別驚慌大嘆：「天啊！我被卡住了！」要緊的是，要控制消極的情緒，想一想：「我還能做些什麼？」當然，只想了一下就繼續看下去是不夠的，數學思考力是被一種挑戰及反思的氣氛所支持的，難解的問題不該使你失望，不成功的嘗試比快速解決問題更能讓你學到東西，它可供你認真地用各種數學方法思考問題，因此，我常常是這樣：一時讀不懂的，可以暫時放過；已懂了的，過些時候再看，或許又有新的體會。同時，我建議你：親自動手體驗羅伯與數學小精靈的那些對話過程，並時時加以回想，這將會增進你的數學思考力。
「問題是數學的心臟。」這是美國當代數學家（P. R. Halmos）所提出來的，數學的歷史發展一再地印證了問題是數學的心臟，尤其是一九○○年，當希爾伯特（D. Hiberlt），在巴黎國際數學家代表大會上發表《數學問題》的著名演講中說：「只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的中止或衰亡。」之後，數學問題更加成為激勵數學家推進數學發展的一種原動力。
《數學小精靈》中所引用的問題是系統性的：羅伯和數學小精靈的關係，就從「1」產生的問題開始，1可以變得無限大，1可以變得無限小，1也可以變出2、3、4……等等我們熟悉的數字……。「無限」這名詞先後出現了不下七八次，似乎重複得很多，甚至於到〈第九夜〉還以它為主題，讀者可能會懷疑，對孩子而言，這樣的題目似乎太遙遠，但是，我們將會看到，隨便兩個人，只要他們知道1、2、3、4、5…，就能互相交談「無限」，而且可談的內容很豐富，更重要的是，我們將會看到，如果孩子能自己提出問題，就像是什麼？為什麼？如何去做？是否有更好的辦法？改變一下會怎樣？……等等，並解答問題，就能發展出良好的數學能力並建立自信。
另外，「1也可以變出2、3、4…」，由1所做出的乘法遊戲，第一次見於〈第一夜〉，最後又見於〈第十一夜〉，顯然是出於作者的刻意經營，以此題做為貫穿全書的代表性的問題，是一個有條有理的解題過程，問題是書的長度限制了篇幅，同時決定了它的表現方式，也在於作者的立場，讓它保留一點神秘感只有更好，揭開它的底牌反而破壞了全書說法的一致性，只由作者將「解」的真面目逐漸加以揭露，並沒有完整的發展和變化。
我想作者的處理是正確的，德國的大數學家高斯（Gauss）曾經說過：「高等算術中一些最美麗的定理具有這樣的特性：『它們極易從經驗事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深。』」寫作數學科普常遇到的兩難處境是：究竟該不該講書中所涉及的理論證明，還是乾脆將它刪除？如果理論證明講得太多，本書就再無趣味可言。於是，如果美國數學教師全國委員會（NCTM）近期發表的《學校數學的原則和標準》就「推理與證明」這一標準而言，對各個不同的年級組提出了如下的不同要求：「在三到五年級組，我們應幫助學生學會應用具體模型對自己的結論做出說明；在五到八年級組，學生應當通過觀察和實驗做出預言，並對此做出論證；在九到十二年級組，學生則應掌握較為複雜的論證過程。」
一般地說，推理和證明應被看成數學的一個有機組成成分，而非是一個外加的部分，是達到真正理解的重要一環。它的學習是一個逐步深入的解題過程，必然包含著由簡單到複雜，由非形式到形式化的發展。下面把這意思做一個說明：前5個奇數之和1＋3＋5＋7＋9等於5乘5，這個事實的確奇妙而有趣（本書就是一致做到尋求這個事實為止）。而對所有的ｎ，前ｎ個奇數之和是ｎ2，情況完整的表達出來，這才是定理，也是數學家無止盡的追求目標。作者對這部分寫得最生動精彩，在〈第十一夜〉，以「渡溪」的經驗來暗喻解題過程：沒有生命的環境和事物，到了作者筆下，都有了特殊的意義，就連溪石也有極為重要的象徵作用。它把不可捉摸的抽象解題過程用具體寫實的渡溪經驗完整的刻劃出來，其作用絕不止於表面上的描寫，這一切都和日常生活息息相關，孩子易於了解、理解、掌握，以至於運用。正像讀過幾部偵探小說的人，會情不自禁地覺得自己已有了足夠的本領，可以幫助警方偵破謀殺案一樣，而不自覺地加入其中。
最後，我想試著幫數學小精靈一點忙，使它在「由1做出的乘法遊戲」中，不至於只弄出一堆亂七八糟的數字而慘遭失敗。請看下面這個寶塔形狀的奇妙等式：
12＝1
112＝121
1112＝12321
11112＝1234321
111112＝123454321
1111112＝12345654321
11111112＝1234567654321
111111112＝123456787654321
1111111112＝12345678987654321
這個寶塔等式多美啊！令人不由自主地想起「七級浮屠」，可惜美中不足，這個寶塔似乎只能造到九級為止，因為到了11111111112規律就被破壞了，問題出在哪裡？
現在要做兩件事：尋找理由（推理）和解釋理由（證明），就如同渡溪必須先找尋最近、最安全的石頭後，再小心翼翼地跳上去，直到跳到溪的對岸。
讓我們回想一下，當初數學小精靈之所以設計「由1做出的乘法遊戲」目的在於由1可以變出2、3、4……9之外，它同時誘導羅伯觀察、發現這個乘法遊戲是有規律的，引用這個規律，羅伯根本不需要計算機，就可以知道11111112是多少（夠厲害吧！）誰知羅伯竟然反問它111111111112是多少？實非數學小精靈所預料，一時啞然。
其實，問題的癥結就在我們所使用的十進位制上面，蠻明顯的，延伸它，並猜想：當我們改用六十進位制，又如何呢？須知六十進位制是古代巴比倫所發明，迄今仍在小規模地使用著，例如：時間，1小時＝60分鐘，1分鐘＝60秒鐘；角度，1°＝60′，1′＝60〞。這樣一來，「寶塔」即可一下子砌到五十九級之高，當然不能再叫「寶塔」，而要改稱為超高層現代化的「摩天大廈」了。說到這裡，也許會有人加以批駁：「你怎麼知道112＝121，1112＝12321……等式子，在六十進位制中仍能成立？
指責不無道理，但我們並不害怕，只要我們提出證據來，以下的所有證明主要是依據了一個國中學的乘法公式：
（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2
羅伯只要上了國中，就再不會覺得溪中的石頭離他是那麼的遙遠了。
請看：
(1,1)2
＝(10+1)2
＝102+2×10+1
＝(1,2,1)
(1,1,1)2
＝(102+10+1)2
＝[(102)+(10+1)]2
＝(102)2+2×102×(10+1)+(10+1)2
＝104+(2×103+2×102)+(102+2×10+1)
＝104+2×103+3×102+2×10+1
＝(1,2,3,2,1)
類比：
(1,1)2
＝(60+1)2
＝60+2×60+1
＝(1,2,1)
(1,1,1)2
＝(602+60+1)2
＝[(602)+(60+1)]2
＝(602)2+2×602×(60+1)+(60+1)2
＝604+(2×603+2×602)+(602+2×60+1)
＝604+2×603+3×602+2×60+1
＝(1,2,3,2,1)
(1,1,1,1)2
＝(603+602+60+1)2
＝[(603)+(602+60+1)]2
＝(603)2+2×603×(602+60+1)+(602+60+1)2
＝606+(2×605+2×604+2×603)+
(604+2×603+3×602+2×60+1)
＝606+2×605+3×604+4×603+3×602+2×60+1
＝(1,2,3,4,3,2,1)
在六十進位制裡，10、11、12……59，都被分別看作是一個數字，同理可得：
(1,1,…,1)2
＝(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)
(1,1,…,1)2
＝(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)
(1,1,…,1)2
＝(1,2,3,…,8,9,10,11,…,58,59,58,…,11,10,9,8,…,3,2,1)
如果羅伯上了高中，就不難利用數學歸納法來證出x進位的（1,1…,1)2 都有同樣的性狀，即：
(1,1…,1)2
＝(1,2,3,…,(n-2),(n-1),n,(n-1),(n-2),…,3,2,1) (＊）
請看：
〈1〉當ｎ＝1時，顯然（＊）成立
當ｎ＝2時，(1,1)2
＝(x+1)2
＝x2+2x+1
＝(1,2,1)
當ｎ＝3時，(1,1,1)2
＝(x2+x+1)2
＝[(x2)+(x+1)]2
＝(x2) 2+2x2 (x+1)2+(x+1)2
＝x4+2x3+3x2+2x+1
＝(1,2,3,2,1)
〈2〉設ｎ＝ｋ時，
(1,1,…,1)2
＝(1,2,3,…,(k-2),(k-1),k,(k-1),(k-2),…,3,2,1) 成立
即
(xk-1+xk-2+…+x2+x+1)2
＝x2k-2+2x2k-3+3x2k-4+…+(k-2)xk+1+(k-1)xk+kxk-1+
(k-1)xk-2+…+3x2+2x+1
則
(1,1,…,1)2
＝(xk+xk-1+xk-2+…+x+1) 2
＝[xk+(xk-1+xk-2+…+x+1)]2
＝(xk)2+2xk(xk-1+xk-2+…+x+1)+(xk-1+xk-2+… +x+1)2
＝x2k+(2x2k-1+2x2k-2+…2xk+1+2xk)+(x2k-2+2x2k-3+3x2k-4
+…+(k-2)xk-1+(k-1)xk+kxk-1+(k-1)xk-2+…
+3x2 +2x+1)
＝x2k+2x2k-1+3x2k-2+…+kxk+1+(k+1)xk+kxk-1+(k-1)xk-2
+…+3x2+2x+1
＝x2k+2x2k-1+3x2k-2+…+[(k+1)-1]xk+1+(k+1)xk+
[(k+1)-1]xk-1+[(k+1)-2]xk-2+…+3x2+2x+1
＝(1,2,3,…,[(k+1)-1],(k+1),[(k+1)-1],[(k+1)-2],
…3,2,1)
故n＝ｋ+1時，（＊）亦成立
由數學歸納法知（＊）對一切自然數ｎ都成立。
既然如此，只要把基數x加以擴大，例如x＝1010，或x＝101010……以及任何一個充分大的正整數，那麼「寶塔」就可以無限地砌下去，從地平面一直砌到「三十三層天」了。「充分大」當然不是「無限大」，但對渺小的人類來說，實際上是差不多的，所以，我們也不用怕規律再遭到破壞了。
這本書值得一讀再讀，我個人對數學科普的興趣，並不是自最近開始，今有幸看到《數學小精靈》的中譯，這是一本推陳出新，非常出色的作品，生動而嚴謹、引人入勝，在輕鬆中進行數學思考的「再發現」之旅。願每位家長、孩子都喜歡它而受益。
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