lawrence potter

有幾根手指頭？

　　建立四以上的數字觀念，只是個開端。一旦你開始數數，便有了數字無限大的概念。為前面幾個數字取特別的名字，看來似乎不錯，但你沒辦法一直想出新名字；就算你能做到這一點，你也記不得所有的數字名稱。這有點像是古羅馬人為兒子命名般，用不了多久，你便會放棄想要獨樹一格的想法。

　　因此，你接下來面臨的挑戰，就是設法理解我們用來應付這些數字的系統。大多數人慣用的系統，叫做以十為基底的數字進位系統，或十進位制。此進位系統的最佳代言人非西藏人莫屬，因為他們是最忠於這套系統的民族。西藏人為我們口中的數字零到九命名，也為十的各個次方取了名字（我們大致上也做到了這一點，如：十、百、千、百萬等）。接著，他們把零到九這些數字名稱，與十的次方名相結合，來表示任何數字。換言之，３２４這個數字的藏族表示方法是：「三個百，二個十，和四」（three-hundreds two-tens and four），即藏語的「gsum-bryga gnyis-bcu rtsa bzhi」。

　　看到這裡，你的民族主義開始作祟，可能會氣憤認為英文的說法和藏語一樣有邏輯。但事實並非如此。首先，為了講起來方便，英文把數字名稱縮寫了。「二個十」（two-tens）變成「二十」（twenty）；「五和十」（five and ten）變成「十五」（fifteen）。英文數字十一（eleven）和十二（twelve）的起源，更是神祕，它們似乎和「二和十」（two-and-ten）「一和十」（one-and-ten）毫無關聯。有人說，這是因為這兩個數字異於其他數字（即與十毫無關聯），是因為它們的排序很接近十，因此「eleven」是從「（十之後）還剩下一」（one left after ten）、「twelve」是從「（十之後）還剩下二」（two left after ten）衍生而來。數到十三時，顯然是因為離十太遠，只好又把十擺進來提醒自己從哪開始起算。

　　此外，我們在為十的次方命名時，也偷工減料。儘管英文常用到「十」、「百」、「千」、「百萬」、「十億」，甚至「兆」等，但西藏人更進一步為「萬」（ten thousand）和「十萬」（one hundred thousand）命名。可惜說英文的我們沒費心做到這一點，不然開支票時可就容易多了。正因為如此，說英文的我們不能宣稱自己和藏人一樣有邏輯。不過，我們卻可主張自己比威爾斯人（Welsh）更明智，因為威爾斯人不用「十和八」（ten and eight），反而發明了「兩個九」（two-nines）的概念。這道理又何在呢？

◎ 三名清道夫如常工作時，發現一堆垃圾桶擋住了行人去路，必須馬上移除，但每個垃圾桶內的垃圾量不一樣多。三個人認為不該有人的工作量比較大，所以他們想平均分擔這項工作。於是他們算了算，發現共有六十個垃圾桶，其中二十個全滿，二十個半滿，其他二十個則完全是空的。請問他們該如何分配工作，才能讓每人搬運的垃圾桶數和垃圾量完全相同？

　　你或許好奇我們為什麼這樣數數，且在這麼小的年紀就會數數，你再次證明自己成為天才的潛力。這恰巧也是名列史上最偉大哲學家的亞里斯多德，於成年後提出的問題：「為什麼所有人，不論野蠻人或是希臘人，都是數到十，而不是其他數字？」

　　簡單來說，答案就是：手指頭。你的手指頭是身邊最自然的數數工具。發展至某一階段，人類不再像波多古頓族一樣，只把手指頭當作計數工具，而學會開始把它們跟數字聯想在一起。

　　若要詳盡回答這問題，答案就是：並非所有人都這樣數數。儘管大多數會數數的文明都採用十進位制，但也有足夠證據顯示其他民族使用不同的基底數字來進位。這聽來或許令人感到訝異。我們太慣用這些數字和數數方法，以致難以相信並非全世界都採行這套模式，但其實十進位制僅僅是我們可選用來做為數字系統的無數方法之一。假如你有八隻手指頭，而不是十隻，你或者會採用八進位制，除了鋼琴可能彈得比較不好外，你對此感到滿意的程度事實上並不亞於採用十進位的人。

　　這並非只是假設性情境。除了十進位制，世界上最常見的便是二十進位法，即以二十為基底的數字系統。瑪雅文明和愛斯基摩人都採用二十進位，據推測這大概是因為他們數數時手腳並用的緣故。不過愛斯基摩人脫掉鞋子幹嘛，我可就想不懂了。

◎ 聖誕節當天，你帶了滿滿一袋禮物回家。你有五個年幼的表親，見到大批禮物非搶不可。第一個表親拿走了一半又多一個禮物。你拿著剩下的禮物走不到幾步，又撞見第二個表親，他又搶走一半又多一個禮物。你都還沒站穩，第三個表親又衝了出來，拿走了你手中一半又多一個禮物。接下來撞見其他兩個表親時，也是同樣的情況。你累到狼狽不堪，終於走到客廳時，發現你丈母娘正引頸期盼收到你的禮物，於是你把手中僅存的那個禮物送給她。請問你一進門時，手上共有多少禮物？

　　直至今日，我們的生活中仍然遺留著二十進位的氣息。如果你在強風吹襲的英國荒野中，遇見神祕的陌生人，問他離此地最近的酒吧有多遠，他可能會告訴你：「兩份二十公里和十。」（two score kilometers and ten）他的意思是「兩個二十公里再加上十」（two lots of twenty kilometers and then more），對你我而言，就是五十。（早在《聖經》時代，人類便開始以「score」這個英文字來代表數字二十；當時據說人類的平均壽命是「三份二十年加十」，亦即七十歲的意思。）此字衍生自傳統的計數方式。每每數到二十，大家會在計數木棍上刻個較大的凹痕（score也有痕跡的意思），顧名思義。同理，假設你請法國人給你八十顆洋蔥，他先是訝異你怎會需要如此大量的法國代表蔬菜，接著會挑眉問道：「四份二十嗎？」他問你是否需要「四個二十」。上述兩個族群用的都是二十進位法。

　　既然十進位制源自於使用雙手手指數數，二十進位衍生自使用雙手手指和雙腳趾頭數數，也就會有幾個文明是僅用單手手指數數的，他們發展出來的也就是五進位法。為了補足你沒有的五進位觀念，讓我舉西非的夫拉族族人為例，告訴你他會怎麼數數。他的方法也是十分合情合理。

　　首先，他的數字一到四有特定名稱。為了簡化說明，讓我們假設這四個數字就叫做「一」、「二」、「三」、「四」。另外，他也幫五的次方（如：五、二十五、一百二十五等）取了特別的名字，我們假設這些次方分別叫做「五」（five）、「擊掌五」（high-five）、和「傑克森五」（jackson-five）好了。接下來，這位夫拉族人便可利用上述系統來表示任何數字。

　　舉我們稱為三百三十九的數字為例，我們為該數字這樣命名，是因為我們認為它是由三個一百、三個十，以及九個個位數所組成。但對這位夫拉族人而言，則完全不是如此。他看著這個數字，想的是：這是由兩個傑克森五、三個擊掌五、兩個五，以及四個個位數所組成，所以他就會這樣為這個數字命名。你可以檢查看看，他說得沒錯，這加起來正是三百三十九。這只不過是從另一個角度來看待同一個數字罷了。

　　你的數學老師很可能壓根兒從來沒跟你提起過這些。或許他都知道，只不過他把這些知識都藏在他那口破破爛爛的公事皮包裡，跟裝著醃鹹牛肉三明治和過熟橘子的特百惠牌便當盒擠在一起。不過，我所說的皆有憑有據。我們的身體構造促成了我們數數的方法。我們數數的方法，則是我們因為發明了數字，而建構出來的系統。要理解這系統，絕非易事。

◎ a) 以下這個夫拉族數字，對應的是我們的哪個數字？
「四個傑克森五、三個擊掌五、兩個五，和一」
b) 我們的這個數字，夫拉族人會怎麼說？
「四百七十三」

書寫數字

　　耶穌誕生之際，記錄數字最普遍的方法是採用希臘數字系統。希臘人用字母表達數字，一到九各有一個專屬字母，十到九十的每個十進位也各自有相對應的字母，一百到九百的百進位也同樣有各自的代表字母。可惜他們的字母不夠用，所以他們又啟用了舊字母，甚至還借用了幾個腓尼基字母來表示數字。

　　舉例來說，希臘數字系統中，α代表一，β代表二，θ代表九，ι代表十，κ代表二十，ρ代表一百，σ代表兩百。結合這些字母，就能表達最多到九百九十九的任何數字。比方說，一百一十二會寫成ριβ，二百二十九會寫成σκθ。較大的數字對希臘人來說，也不成問題。他們發明了一千（/）和一萬（Ｍ）的符號。如果要表達兩千，他們會寫成/β；如果是二萬，他們會在Ｍ上方多寫個β。

　　這或許聽起來很合理，但可惜的是（或者該說幸好——端視你從哪一角度看這件事）這套系統讓計算變得很不容易。我們只要處理由十個符號組成的數字組合，但希臘人卻要應付二十七個符號的搭配組合。對我們而言，二十加三十基本上與二加三是一樣的，在希臘系統裡卻非如此。代表二的符號和代表二十的符號，完全不相干。因此，希臘人大多用算盤計算，而不用筆算。

　　其實希臘人對計算這件事，普遍抱持傲慢的態度。哲學家和數學家對數型的興趣，遠多於算術，因為他們認為數型正是天地萬物背後的的建構要素。希臘人對此類事物太過熱衷，以致非常認真嚴謹地看待數字。

　　畢氏學派是希臘哲學家和數學家畢達格拉斯的追隨者，一般普遍認為是他發明了畢氏定理。但這論點並不完全正確，因為證據顯示，早在畢氏之前，古埃及人已知運用該定理來建造金字塔，中國人也用該定理來測量土地。不過，畢氏和畢氏學派確實將之發揚光大，並協助將該定理引進西方世界。

　　根據畢氏學派，數字一到四分別具有不同特性，各對應到建構宇宙萬物的形狀上。一是點，二是線，三是面，四是體。

　　畢氏學派認為十是「完美數字」，因為它是一、二、三、四的和，也就是點線面體的集合體。

　　他們也認為有些數字是吉祥的，有些是邪惡的。此外，單數屬陽，因為你把單數小圓點兩兩排列在一起時，最後會有一個圓點單獨突出。至於雙數屬陰，因為雙數小圓點兩兩排列時，不會有圓點突出。

　　對有此類數字愛好的人來說，字母系統頗好用，因為你可以找出某詞彙或名字的數值，繼而加以推論。這就是占數術。自古以來，許多文化都盛行占數術，至今仍歷久不衰，其背後原理在於認為數字能以某種特殊方法反應事實的玄妙信念。

　　如果你真的鑽研占數術，幾乎什麼事情都可以拿它來佐證。在這領域最受歡迎的消遣，便是計算出誰（或什麼）是「啟示錄之獸」。預言說，怪獸會在世界末日之前現身，在人間散播禍害和驚恐。顯然，如果怪獸出現在你家舉辦的派對，你最好要能認出它來，所以門徒約翰很熱心地提供了怪獸的符號，即數字六六六。

　　數字在中國古代風水堪輿術中，也扮演著極為重要的角色。風水師常用的主要工具，包括洛書魔方陣。傳說洛書魔方陣起源於西元前二十一世紀。皇帝夏禹某天沿著洛河散步之際，巧遇神龜，龜背上刻著神奇的標記，是個三乘三的九宮格，格子裡以中國數字符號寫著數字一到九。夏禹發現，神龜背上的印記不管是縱、橫、或是對角線上的數字，加總都是十五（由上而下、由左而右，依序是四、三、八、九、五、一、二、七、六）。

　　在風水堪輿中，此魔方陣可運用於興建房舍上，格中每一數字各代表某一生活層面。因此，利用上圖的數字位置，我們可說房舍的南方（由數字八、一和六主掌），關係著居住者的財富（八）、運勢（一）和權勢名利（六）。這資訊顯然很實用。如果你正密謀計畫征服世界，這下你可確切知道自己該坐在哪個方位上了。

　　中國人認為數字（和其他萬物般）可分陰陽。偶數屬陰，奇數屬陽。普遍而言，中國人偏好陽數多過陰數。中國人認為八是最吉祥的數字，因為它是「最陰柔」的陰數，換言之，也是最不幸的。但這想法背後的緣由在於：當你跌到谷底，接下來只會向上反彈，所以八有運勢將否極泰來的涵義。

　　前文已提過，如果你想指認你的鄰居是反對基督者，希臘數字再好用不過；但如果你想算出豆子的價格，這可就另當別論了。隨著羅馬帝國崛起，羅馬數字逐漸取代了希臘數字。羅馬人給數字一（Ｉ）、五（Ｖ）、十（Ｘ）、五十（Ｌ）、一百（Ｃ）、五百（Ｄ）和一千（Ｍ）創了符號。算加減法時，這些符號遠比希臘數字好用，但若是較複雜的算術，又極度不便，而且要寫大數字非常耗時。假如英國廣播公司ＢＢＣ欲於標題頁寫下一九八八年，得寫下ＭＣＭＬＸＸＸＶＩＩＩ。儘管如此，羅馬數字還是沿用了很長一段時間。十六世紀一些數學著作，還可見到羅馬數字，直到印刷書籍普及後，才真正銷聲匿跡。與此同時，由於使用羅馬數字進行複雜運算還是很麻煩，所以商人還是繼續使用算盤，等待更好工具問世。

◎ 有位小學老師為了讓班級安靜一堂課，要求學生算出一到一百的總和。可惜班上有位後來注定成為史上最偉大數學家的小朋友叫做高斯，他發現快速解題的方法，不到幾分鐘時間，就舉手說出正確答案。老師心不甘情不願地給了他一顆金星作為獎勵，接著靠玩「數字賓果」消磨完剩下的時間。請問高斯怎麼辦到的？

　　歐洲人陷於黑暗時期之際，世界其他角落的人在數字系統方面則見十足的進步。這進展由約七世紀時的印度領頭，率先創造了十進位值計數法，他們認為若要簡練書寫數字，就該明訂數字的書寫位置會影響其價值。因此，他們發明了「個位欄」、「十位欄」和「百位欄」等。（如果你小學時的痛苦記憶正襲擊著你，我能諒解。）

　　有了這樣發明，印度人就能隨意用九個符號，表示任何數字。所以，ＢＢＣ原本得用十一個符號來標示單一數字，印度人只要動用四個符號：一九八八即可。一代表「一千」，九代表「九百」，第一個八代表「八十」，第二個八代表「八個最小整數一」。

　　然而印度人的新發明並未讓所有問題就此迎刃而解，最大的問題在於如何表示某欄位是空的。一開始，他們只留下空白，但這會招致問題，因為空白到底代表空一格、兩格或是三格，實在很難說，可是空白大小卻又會深深影響數字的大小。例如二空白三，這可能代表二百零三、二千零三或是二萬零三，完全取決你認為有多少格是空白的。終於在九世紀，印度人發明了「○」這個符號，來代表空白的欄位。

　　這套十位值計數法由印度傳到中東。世人譽為代數之父的阿拉伯數學家花拉子模說明加減乘除法的著作《後印度人計數法之加減法之書》中，仍可見到其蹤影。之後，阿拉伯數學家甚至開始以十進位計數法為基礎，試圖加以衍伸以處理分數。

　　這套新數字系統終於在十四世紀傳到歐洲。義大利數學家費布那西跟隨從商的父親到北非旅行時，接觸阿拉伯數字系統，並於一二○二年出版《算盤之書》，列舉可能運用該新方法的應用實例。歐洲學術界對此書好評如潮，不過十進位值計數法卻遲至一四○○年代印刷機發明之後，才開始廣為流傳。

有幾根手指頭？　　建立四以上的數字觀念，只是個開端。一旦你開始數數，便有了數字無限大的概念。為前面幾個數字取特別的名字，看來似乎不錯，但你沒辦法一直想出新名字；就算你能做到這一點，你也記不得所有的數字名稱。這有點像是古羅馬人為兒子命名般，用不了多久，你便會放棄想要獨樹一格的想法。　　因此，你接下來面臨的挑戰，就是設法理解我們用來應付這些數字的系統。大多數人慣用的系統，叫做以十為基底的數字進位系統，或十進位制。此進位系統的最佳代言人非西藏人莫屬，因為他們是最忠於這套系統的民族。西藏人為我們口中的數...

【導論】為什麼？

【第一部】腦袋中的數字，和書面上的數字

第一章：一小步
第二章：有幾根手指頭？
第三章：超市外
第四章：根據所見所聞推測
第五章：向前走，算乘法
第六章：「倒數計時」
第七章：書寫數字
第八章：借位和進位
第九章：很長很長的多位數乘法
第十章：闡述多位數除法
第十一章：驗算答案

【第二部】不同類型的數字

第一章：奇巧巧克力和符合猶太教規及潔淨處理認證的食物
第二章：「有前的牧洋人」
第三章：比例也有它的煩惱I
第四章：比例也有它的煩惱II
第五章：幫披薩著色
第六章：埃及人的作法
第七章：等值分數
第八章：用紙筆運算分數加法
第九章：先反轉再相乘
第十章：（小數）點到底在哪裡？
第十一章：操弄小數
第十二章：百分之百
第十三章：利「息」攸關
第十四章：節儉是一種美德
第十五章：百分之兩百

【第三部】未知的恐懼

第一章：代數和斷了的骨頭
第二章：等式兩邊進行同樣的運算
第三章：改變所有符號
第四章：錯誤假設法
第五章：聯立方程式背後的邏輯
第六章：起了口角的男學童
第七章：代數是很民主的
第八章：拯救查理

【第四部】改變未嘗不好

第一章：對機率的高度期望
第二章：就是一堆球
第三章：泥濘不堪的水
第四章：不只關於數字
第五章：天氣預報不準
第六章：回到課堂上
第七章：機率的實際應用
第八章：拉斯維加斯，寶貝！
第九章：大數法則
第十章：跟壽險賭了

【尾聲】

【附錄一】分數除法
【附錄二】解決數獨
【附錄三】隨堂題解答

【導論】為什麼？

【第一部】腦袋中的數字，和書面上的數字

第一章：一小步
第二章：有幾根手指頭？
第三章：超市外
第四章：根據所見所聞推測
第五章：向前走，算乘法
第六章：「倒數計時」
第七章：書寫數字
第八章：借位和進位
第九章：很長很長的多位數乘法
第十章：闡述多位數除法
第十一章：驗算答案

【第二部】不同類型的數字

第一章：奇巧巧克力和符合猶太教規及潔淨處理認證的食物
第二章：「有前的牧洋人」
第三章：比例也有它的煩惱I
第四章：比例也有它的煩惱II
第五章：幫披薩著色
第六章：埃及人...