李光延

（01）數學是什麼？

很久很久以前有兩個死刑犯，一個是教數學的教授，另一個則是這位教授的學生。在臨刑前，典獄長決定讓他們兩人都各完成一個最後的心願──當然，「讓我活下去」可不包含在內。

教授說：「我的最後心願，就是讓我跟我這個學生上最後一堂數學課。」

典獄長點頭答應了，接著就問那學生最後的心願是什麼。

學生想了一下，說道：「我的最後心願，就是在教授跟我上數學課以前，先將我處死。」

這下典獄長頭大了：如果聽從了教授的心願，那就必須讓他跟學生上課，但這麼一來就違反了學生的心願；反過來說也是如此，不論誰的心願達成，另一個人的心願就必定落空──最後，典獄長不得不放棄將兩人處死。

數學是救命的學問

神話和數學

透過一些洞穴壁畫，我們可以推測出在史前時代就已經有了算數的方法。

下列的圖案就是出現在古埃及壁畫裡的象形文字，是算數用的文字，從中我們可以知道埃及人使用的是十進位法。 是棍子的形狀，表示「一」（1）； 是腳後跟的骨頭或疤痕，表示「十」（10）； 是彎曲的草繩，表示「百」（100）。

千（1,000）是用蓮花來表示，這是因為尼羅河上開滿了蓮花。

萬（10,000）的表示圖，有人說是食指、也有人說那是生長在尼羅河邊的紙莎草。紙莎草是類似蘆葦的植物，古代埃及人將之製成莎草紙，是當時人用的紙張。

十萬（100,000）用蝌蚪來表示，因為蝌蚪經常群聚在一起。

百萬（1,000,000）是個巨大的數字，所以用人驚訝時舉起雙手的樣子來代表。

千萬（10,000,000），是太陽的形狀，代表「神」的意思。表示這個數字是人力所無法企及的「無限大」。

除了古埃及，古希臘著名的「荷馬史詩」中，《奧德賽》（Odýsseia）所描寫的希臘神話裡，卓越智謀家奧德修斯（Odysseus，羅馬神話中則稱為「尤里西斯」Ulysses）的故事中，也提到了古代數學的計算方式：

奧德修斯在旅途中，將海神波塞頓和海仙女托俄薩的兒子──獨眼巨人波呂斐摩斯（Polyphemos）弄瞎，因此得以逃離他的居處而免於被吃掉的命運。從此，這個可憐的盲眼巨人為了知道自己放養的羊隻有沒有減少，每當一隻羊從洞穴出去的時候，就會放一顆石頭在洞口外頭；到了晚上每當一隻羊進入洞穴的時候，又會把一顆石頭放回洞裡面。

這是一種簡單的「一個對一個」的對應原理，從中我們看到了「數學計算」的最早紀錄。

當然，除了這個以外，還有很多關於一對一計算的故事。

印地安人是美洲的原住民，當時他們為了保護自己的領土而和白人打仗。他們證明自我價值與戰績的方式，就是藉由割下那些白人的頭皮的數量來誇耀自己的戰功；這不是殘忍，而是一種傳統，就像非洲土著會在脖子上掛著動物的臼齒一般，那是自己所抓住的動物的數字，藉此向族人昭示著自己的勇猛。

而非洲的馬賽族（Masai）女性，會帶著和自己年紀相當的黃銅項圈，這代表了她們的年紀。

英語片語中有「to chalk one up」這麼一句話，是「記錄」的意思，源自於古時候酒館主人用粉筆在石版上標示客人喝的杯數；無獨有偶地，西班牙人則用「echai chins」──「丟石子」來表示，這起源於以往酒館主人會依照客人喝掉的杯數，將碎石丟在客人的頭巾上來結算的傳統。

另外在《聖經》中，我們也可找到使用一對一對應原理計數的例子。舊約聖經中說，「諾亞方舟」在水上總共漂浮了49天──但49天這個精確的數字是從何而來的呢？原來諾亞的妻子利用將繩子打結的方式，每過一天就打上一個結，於是才能正確地計下經過的日子。

而既然提到了諾亞方舟，那麼就讓我們試著用數學的邏輯來審視這個神話故事。

首先，引發大洪水的雨，必定是從地表上的水蒸發後進到大氣中所生成的。所以我們可以利用計算大氣中的含水量來推測最大降雨量的可能，依氣象學，長、寬、高各一公尺（1m3）的正四方形空氣柱裡平均含水量為16公斤，最大也不超過25公斤；1公斤的水相近於1公升（1L＝1,000cm3），25公斤就相當於25,000cm3，而正四方形底的平面面積是1m2＝10,000cm2，因此25,000cm3÷10,000cm2＝2.5㎝。

換句話說，如果全世界大氣中的水份平均的降落於全球地表上，那麼所謂的「大洪水」最深也不過就2.5cm，而且這還沒考慮到水會滲透到地表下的可能。「淹沒」世界的2.5cm和世界第一高峰珠穋朗瑪峰（Everest）884,800cm的高度相比，可是相差了353,920倍之多！很明顯地，神話終究就只是神話，生活中每天都會用到的，卻是數學。

總的來說，一對一的計算是古代算數的基礎概念，這種算式到現在仍是隨處可見。例如小朋友們會將生日寫在日曆上，在生日到來前每天都打上一個叉來倒數計時──這就是基礎數學的應用。

與狼共舞

1950年獲得諾貝爾文學獎的英國數學家、哲學家伯特蘭．羅素（Bertrand Russell，1872～1970），對於「數」，他曾這麼說：「兩隻雞的『2』和兩天的『2』是一樣的，而人類卻花了數千年的時間才理解。」

是的，我們有太多「數量詞」來代表「2」這個數字了：Team（兩匹馬）、span（一對驢子）、yoke（兩頭牛）、pair（一雙鞋）……等等。這些林林總總的數詞，正是伴隨著數學千年來的發展而產生的，剛開人們單純地用「聲音」來記數，雖然聲音並無法記錄太大的數字，但對於當時的人，他們會用到的數字大概十隻手指頭就可以數完了。

用聲音來計數的例子，我們可以看看在澳洲和新幾內亞一帶的巴布亞（Papua）原住民，他們使用的數量詞如下：

1：烏拉碰（Urapun） 2：歐叩莎（Okosa）

並利用這兩個數量詞衍生出其他各種數量詞：

3：烏拉碰　歐叩莎 4：歐叩莎　歐叩莎

5：歐叩莎　歐叩莎　烏拉碰 6：歐叩莎　歐叩莎　歐叩莎

在電影「與狼共舞」中，我們可以發現到美洲原住民他們名字的特殊性。例如電影中的「站立舞拳（Stands With A Fist）」、「與狼共舞（Dances with Wolves）」、「踢鳥（Kicking Bird）」、「風中散髮（Wind In His Hair）」等，其名字皆是取自於現實生活中該人物的形象；數量詞也是如此，他們的意義便是從日常的體驗轉變而來。例如南美的卡馬尤拉（Kamayura）部落，其數量詞就是由「手」轉化而來：

1：尾根彎曲了（小指彎曲） 2：又有一根彎曲了（無名指彎曲）

3：中間彎曲了（中指彎曲） 4：只留下一個

5：我的一隻手都用掉了 10：我的雙手都用掉了

如果用這種方法表示「3月15日」，那就是「中間彎曲的月，我的雙手都用掉了我的一隻手都用掉了的日」。

除了以「聲音」表示「數」之外，當然還有其他各種方法，其中最複雜的一種是巴布亞（Papua）人的「肢體語言」的數。語言中雖然沒有數量詞，但他們利用身體姿勢來表現：

1：右手小指 2：右手無名指 3：右手中指 4：右手食指

5：右手拇指 6：右手手腕 7：右手手肘 8：右肩

9：右耳 10：右眼 11：左眼 12：鼻子

13：嘴巴 14：左耳 15：左肩 16：左手手肘

17：左手手腕 18：左手拇指 19：左手食指 20：左手中指

21：左手無名指 22：左手小指

「數學體系」隨著各式各樣的發展，陸續出現了「12進位法」（以12作為基本的時間計算法，例如將1年分成12個月份）、「60進位法」（將1個小時分成60分鐘）、「5進位法」（使用於德國的農曆）；在各種進位法當中最單純的「2進位法」，被廣泛的應用在現在的電腦運作中。實際上，這是源自於中國的「陰陽思想」，受到其影響的西方數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）從中發想出了2進位法。

而在眾多的進位法中，我們最熟悉的莫過於10進位法，或許這正是因為我們的10根手指頭。如果我們的手指頭是7根或9根，也許我們用的就會是7進位法或9進位法吧；不過古代巴比倫人所使用的卻是60進位法，甚至17世紀以前歐洲也經常使用。這是為什麼呢？為何他們不使用較為自然直覺的10進位法？

有人這麼推測，10這個數相較於60的融通性更低。因為10只有2和5這兩個因數，60卻有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等10個因數；簡單來說，今天如果需要以4除（1/4，quarter），10就無法被四整除，但60卻可以。而實際的生活中，除以2、3、4、5等的情況其實非常常見，因此，60進位法比10進位法更能避開複雜的小數計算。

換句話說，對於不喜歡用小數來表達的古代人而言，60進位法可以用更多的「分數」形式來表現「小數」的概念。舉例來說，如果把1分成10等份，用小數來表示是：

0.1、 0.2、 0.3、……、0.9、1

再把每一等分的切割成10等分，可獲得如下的結果：

0.01、0.02、……、0.09、0.1

如果要用分數來表現這些小數，10進位法居然可憐地連1/3都做不到，因為3並不是他的因數：

10進位法分數：1/2、1/5、1/10、1/20、1/50、……

60進位法分數：1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/10、1/20、1/30、1/50、……

不過雖然如此，中國很早就開始使用了10進位法，數量詞的表示如下：

1：一 2：二 3：三 4：四 5：五

6：六 7：七 8：八 9：九 10：十

20：二十 30：三十 40：四十 50：五十

60：六十 70：七十 80：八十 90：九十

100：百 1,000：千

韓國則很早就向中國學習，而有了相似的數學體系：

일（一，1） 십（十，10） 백（百，102　　）

천（千，10³） 만（萬，104　　）

억（億，108　　）

조（兆，1012 ）

경（京，1016 ）

해（垓，1020 ）

자（仔，1024 ）

양（穰，1028 ）

구（溝，1032 ）

간（澗，1036 ）

정（正，1040 ）

재（載，1044 ）

극（極，1048 ）

항하사（恆河沙，1052 ）

아승기（阿僧祇，1056 ）

나유타（那由他，1060 ）

불가사의（不可思議，1064 ）

무량대수（無量大數，1068 ）

其中較大的數量詞其實都源自於佛教的經典，例如1052 是以印度的恆河來表示，恆河沙是指「多如恆河之沙」；阿僧祇則是代表「無數之劫」；不可思議的意思是指「無法思量」，已然超出人所能度量的範圍。

佛教的經典為何會提到這些超乎人類想像的巨大數字呢？其原意是為了點出人類的無知。人類和無窮大的宇宙比較起來根本不算什麼，我們所想出的數字再怎麼巨大，都絕對找得到比他更大的數！

和這些大數相對應，當然也有「小數」了：

분（分， 1/10=10-1 ）

리（釐，1/100=102　　）

호（毫，1/1000=103　　 ）

사（糸，1/10000=10-4 ）

홀（忽，10-5 ）

미（微，10-6 ）

섬（纖，10-7 ）

사（沙，10-8 ）

진（塵，10-9 ）

애（埃，10-10 ）

묘（渺，10-11 ）

막（莫，10-12 ）

모호（模糊，10-13 ）

준순（浚巡，10-14 ）

수유（須臾，10-15 ）

순식（瞬息，10-16 ）

탄지（彈指，10-17 ）

찰나（剎那，10-18 ）

육덕（六德，10-19 ）

공허（空虛，10-20 ）

청정（清淨，10-21 ）

和大數一樣，這些小數大多也都是從佛教經典中衍伸而來的：「塵」和「埃」都是灰塵的意思，在印度用來表示最少的量；「模糊」是指「像精神一樣茫然」的意思；「剎那」是指「眨眼的瞬間」之意；我們常說的「瞬息萬變」，「瞬息」也是小數的單位。

古代的韓國人就已經經常使用這些數量詞，朝鮮末期著名的詩人金炳淵，他就有這麼一首詩：

一峰二峰三四峰，五峰六峰七八峰；

須臾更作千萬峰，九萬長天都是峰。　

一座、兩座、三座、四座山峰，五座、六座、七座、八座山峰；瞬間更化作千萬山巒，雲峰更疊，綿延至萬里長天。

以上的這些數量計算方式，其實都是10進位法，我們只要有0、1、2、……、9等共10個數字，就可以表示所有的數字。這種計數法從中國與印度開始使用，經阿拉伯再輾轉傳到歐洲。因此我們10進位所用的數字才又稱為「阿拉伯數字」。

今日西方常用的10進位法，是以三位數為一組，以逗點（,）作標記。是一種以每「千」為單位的「千進制」：

1,000 （千，Thousand）

1,000,000 （萬，Million）

1,000,000,000 （十億，Billion）

1,000,000,000,000 （兆，Trillion）

然而，東方常用的進位法卻是以萬為單位，屬於「萬進制」：

1,0000 萬

1,0000,0000 億

1,000,000,000,000 兆

1,0000,0000,0000,0000 京

因此，對東方人而言，每四個位數組成一組，以逗點（,）來表現，事實上更為直覺方便。例如，請試著直接閱讀這樣的數字：12,345,678,912

一般人在閱讀這樣的數字時，其實通常都要從個位數往前推算，只要失了神多半又要從頭看起。然而，如果是使用四個位數為區分：123,4567,8912

是不是比較容易閱讀了呢？

這個數字是：「一百二十三億四千五百六十七萬八千九百一十二」。

（01）數學是什麼？

很久很久以前有兩個死刑犯，一個是教數學的教授，另一個則是這位教授的學生。在臨刑前，典獄長決定讓他們兩人都各完成一個最後的心願──當然，「讓我活下去」可不包含在內。

教授說：「我的最後心願，就是讓我跟我這個學生上最後一堂數學課。」

典獄長點頭答應了，接著就問那學生最後的心願是什麼。

學生想了一下，說道：「我的最後心願，就是在教授跟我上數學課以前，先將我處死。」

這下典獄長頭大了：如果聽從了教授的心願，那就必須讓他跟學生上課，但這麼一來就違反了學生的心願；反過來說也是如此，不論誰...

編者序

「數學之神」阿基米德說過：「給我一個支點，我就可以舉起整個地球。」這樣一個胸懷宇宙的大人物，卻居然是人類史上第一個裸奔的狂人，是什麼讓他這麼不顧形象地在大街上裸奔呢？

「數學」，是對數學的著迷讓他開心地手舞足蹈！

「數學天才」牛頓其實是個迷糊蛋，你知道嗎？當他滿腦子想著數學的時候，他朋友偷吃了他盤裡的雞肉他卻全然不知，還以為自己已經吃完了晚餐；當他思索著數學的時候，連牽在手中的馬兒都跑了，卻還一點感覺都沒有；當他專心研究數學的時候，由於壁爐太熱了，居然還跟僕人說：「太熱了，你幫我把壁爐搬遠一點」。

「數學」，真的這麼迷人！

如果你聽過「諾亞方舟」的故事，那麼你想知道如何找出大洪水確實高度的祕密嗎？

「數學」，你可以透過數學看見真相！

為什麼要學習數學，過去無數的學者究竟為了什麼開始研究數學？任何一個學過數學的人或許都曾想過這樣大哉問。

但其實你根本不需要問這樣的問題，數學就在你的生活之中，他是那樣的迷人、自然，是你呼吸的空氣、是天空降下的雨水、是歷史中逗趣的點點滴滴，更是你「數」著時間等下課時的方便利器。

數學一點都不困難！

我們錯誤的教育將數學變成了高深複雜的學問，但其實你可以輕鬆學習數學。從數學的歷史與故事起步，理解數學的基礎、分析並學習數學家們的數學性思維，數學其實就是日常生活的一部分。

從阿基米德（Archimedes）開始，不論是牛頓的萬有引力、還是愛因斯坦的相對論等，這些卓越的科學家與數學家為人類歷史帶來了巨大的演變；事實上，那些主導人類歷史的重要人物，都是以數學性的邏輯在思考的；而你，其實也可以跟他們一樣。

本書的出版，正是為了讓任何一個具有基礎學歷的人都可以輕鬆地接觸數學。雖然為了閱讀方便，本書依照數學史的年代而有先後順序的編排；但不論您從哪個部分開始閱讀，相信都可以從中找到一段段有趣的故事，一則則讓人恍然理解到：「啊！原來是這麼回事！」的會心一笑。就讓我們從笑聲中學習數學吧！

編者序

「數學之神」阿基米德說過：「給我一個支點，我就可以舉起整個地球。」這樣一個胸懷宇宙的大人物，卻居然是人類史上第一個裸奔的狂人，是什麼讓他這麼不顧形象地在大街上裸奔呢？

「數學」，是對數學的著迷讓他開心地手舞足蹈！

「數學天才」牛頓其實是個迷糊蛋，你知道嗎？當他滿腦子想著數學的時候，他朋友偷吃了他盤裡的雞肉他卻全然不知，還以為自己已經吃完了晚餐；當他思索著數學的時候，連牽在手中的馬兒都跑了，卻還一點感覺都沒有；當他專心研究數學的時候，由於壁爐太熱了，居然還跟僕人說：「太熱了，你幫我把壁爐搬...

前言
（01）數學是什麼？
神話和數學
與狼共舞

（02）數學是什麼？
改掉壞習慣的驢子
畢達哥拉斯和無理數

（03）數學是什麼？
希臘的奧祕
阿波羅的啟示

（04）數學是什麼？
希波克拉底斯的宣言
阿基里斯和烏龜

（05）數學是什麼？
證明，不需要語言
沒有王道

（06）數學是什麼？
人類最初的裸奔者
丟番圖的年紀

（07）數學是什麼？
柏拉圖立體
一千零一夜

（08）數學是什麼？
遠離黑暗
釋王寺的傳說

（09）數學是什麼？
惡魔的數字666
口吃的數學家

（10）數學是什麼？
過多與不足
喝醉的鴿子

（11）數學是什麼？
地球仍然在旋轉
宇宙和諧論

（12）數學是什麼？
在巴黎研究數學
最後定理

（13）數學是什麼？
金蘋果戰爭
迷糊蛋牛頓

（14）數學是什麼？
簡樸的葬禮
圖論

（15）數學是什麼？
金牌做成的鏡框
讓未來的數學家忙上500年

（16）數學是什麼？
最後的決鬥
南丁格爾的老師

（17）數學是什麼？
在精神病院死去
悖論！悖論！悖論！

（18）數學是什麼？
諾貝爾獎和菲爾茲獎
蝴蝶效應

參考文獻

前言
（01）數學是什麼？
神話和數學
與狼共舞

（02）數學是什麼？
改掉壞習慣的驢子
畢達哥拉斯和無理數

（03）數學是什麼？
希臘的奧祕
阿波羅的啟示

（04）數學是什麼？
希波克拉底斯的宣言
阿基里斯和烏龜

（05）數學是什麼？
證明，不需要語言
沒有王道

（06）數學是什麼？
人類最初的裸奔者
丟番圖的年紀

（07）數學是什麼？
柏拉圖立體
一千零一夜

（08）數學是什麼？
遠離黑暗
釋王寺的傳說

（09）數學是什麼？
惡魔的數字666
口吃的數學家

（10）數學是什麼？
過多與不足
喝醉...