數學分析(上)

前言

第1章　集合與函數　1
1.1　集合　1
1.1.1　集合的概念　1
1.1.2　包含關係　2
1.1.3　集合的運算　2
1.1.4　有限集與無限集　3
1.1.5　集合的笛卡兒乘積　5
1.2　實數　5
1.2.1　實數的無限小數表示與順序　6
1.2.2　實數系的連續性　9
1.3　函數　14
1.3.1　函數的概念　14
1.3.2　初等函數　15
1.3.3　函數的分段表示、隱式表示以及參數表示　17
1.3.4　函數的簡單特性　20
1.3.5　由已知函數構造新函數的方法　21
1.3.6　幾個常用不等式　24

第2章　數列極限　28
2.1　數列極限的概念與性質　28
2.1.1　數列極限的定義　28
2.1.2　數列極限的性質　36
2.2　無窮大量　44
2.2.1　無窮大量的概念　44
2.2.2　無窮大量的性質和運算　45
2.2.3　Stolz定理　47
2.3　單調收斂原理及應用　53
2.3.1　單調收斂原理　53
2.3.2　無理數e和歐拉常數c　55
2.4　實數系基本定理　60
2.4.1　閉區間套定理　60
2.4.2　有限覆蓋定理　61
2.4.3　緻密性定理　63
2.4.4　柯西收斂原理　65
2.4.5　實數系基本定理的等價性　69
2.5　數列的上極限與下極限　71
2.5.1　上極限與下極限的概念與性質　71
2.5.2　上極限與下極限的運算　75
2.5.3　上極限和下極限的等價定義　79

第3章　函數極限與連續函數　83
3.1　函數極限　83
3.1.1　函數極限的定義　83
3.1.2　函數極限的性質　86
3.1.3　函數極限概念的推廣　90
3.1.4　函數極限與數列極限的關係　97
3.1.5　函數極限的柯西收斂原理　100
3.2　函數的連續性與間斷點　104
3.2.1　函數的連續與間斷　104
3.2.2　間斷點的類型　106
3.2.3　函數連續的性質和運算　109
3.2.4　初等函數的連續性　112
3.3　閉區間上連續函數的性質　114
3.3.1　有界性定理　114
3.3.2　零點存在定理　115
3.3.3　最值定理　116
3.3.4　介值定理　117
3.3.5　一致連續　118
3.4　無窮小量與無窮大量的比較　123
3.4.1　無窮小量的比較　123
3.4.2　無窮大量的比較　125

第4章　導數與微分　129
4.1　導數　129
4.1.1　引例　129
4.1.2　導數概念　130
4.1.3　導數的幾何意義　134
4.1.4　可導與連續的關係　134
4.2　求導數的方法　136
4.2.1　導數的四則運算法則　137
4.2.2　反函數的求導法　139
4.2.3　複合函數的求導法　140
4.2.4　隱函數的求導法　144
4.2.5　由參數方程所表示函數的求導法　146
4.3　微分　149
4.3.1　微分的概念　149
4.3.2　微分的幾何意義　151
4.3.3　微分的運算法則和基本微分公式　152
4.3.4　一階微分的形式不變性　153
4.3.5　微分在近似計算中的應用　155
4.4　高階導數與高階微分　157
4.4.1　高階導數　157
4.4.2　高階微分　165

第5章　微分中值定理及應用　169
5.1　微分中值定理　169
5.1.1　費馬定理　169
5.1.2　羅爾定理　170
5.1.3　拉格朗日中值定理　172
5.1.4　柯西中值定理　176
5.2　洛必達法則　180
5.2.1　*及*待定型　180
5.2.2　其他待定型　185
5.3　泰勒公式及應用　190
5.3.1　帶佩亞諾余項的泰勒公式　191
5.3.2　帶拉格朗日余項的泰勒公式　197
5.3.3　泰勒公式的應用　199
5.4　導數的應用　206
5.4.1　函數的單調性　206
5.4.2　函數的極值　208
5.4.3　函數的最值　210
5.4.4　函數的凸性與拐點　212
5.4.5　漸近線　217
5.4.6　函數作圖　219

第6章　不定積分　225
6.1　原函數與不定積分　225
6.1.1　原函數與不定積分的概念　225
6.1.2　基本積分表　227
6.1.3　不定積分的基本性質　228
6.2　換元積分法　231
6.2.1　第一類換元法　231
6.2.2　第二類換元法　236
6.3　分部積分法　240
6.4　有理函數的不定積分及應用　248
6.4.1　有理函數的不定積分　248
6.4.2　可化為有理函數的不定積分　255

第7章　定積分　262
7.1　定積分的概念　262
7.1.1　引例　262
7.1.2　定積分的定義　265
7.1.3　定積分的幾何意義　267
7.2　可積性問題　269
7.2.1　可積的必要條件　269
7.2.2　達布和　270
7.2.3　可積準則　274
7.2.4　可積函數類　277
7.2.5　再論可積性準則　281
7.3　定積分的性質　283
7.4　微積分基本定理　294
7.4.1　變速直線運動位置函數與速度之間的聯繫　294
7.4.2　變限定積分　295
7.4.3　微積分基本定理　298
7.5　定積分的換元法和分部積分法　305
7.5.1　定積分的換元法　305
7.5.2　定積分的分部積分法　313
7.6　定積分在幾何學中的應用　319
7.6.1　微元法　319
7.6.2　平面圖形的面積　320
7.6.3　平行截面面積已知的立體的體積　326
7.6.4　平面曲線的弧長　329
7.6.5　旋轉曲面的面積　332
7.7　定積分在物理學中的應用　335
7.7.1　平面曲線弧與平面圖形的質心　336
7.7.2　轉動慣量　340
7.7.3　變力沿直線所做的功　343
7.8　定積分的近似計算　344
7.8.1　梯形公式　344
7.8.2　抛物線公式　347

第8章　反常積分　351
8.1　無窮積分的概念和性質　351
8.1.1　無窮積分的概念　351
8.1.2　無窮積分的性質　353
8.1.3　無窮積分的計算　356
8.2　無窮積分的斂散性判別法　362
8.2.1　非負函數無窮積分的斂散性判別法　362
8.2.2　任意函數無窮積分的斂散性判別法　367
8.3　瑕積分　377
8.3.1　瑕積分的概念　377
8.3.2　瑕積分的斂散性判別法　380
8.3.3　瑕積分的計算　385

部分習題答案與提示　389