程序員的數學(3)：線性代數

第0章 動機 1
0.1 空間想象給我們帶來的直觀感受 1
0.2 有效利用線性近似的手段 2
第1章 用空間的語言表達向量、矩陣和行列式 5
1.1 向量與空間 5
1.1.1 最直接的定義：把數值羅列起來就是向量 6
1.1.2 「空間」的形象 9
1.1.3 基底 11
1.1.4 構成基底的條件 16
1.1.5 維數 18
1.1.6 坐標 19
1.2 矩陣和映射 19
1.2.1 暫時的定義 19
1.2.2 用矩陣來表達各種關系（1） 24
1.2.3 矩陣就是映射！ 25
1.2.4 矩陣的乘積=映射的合成 28
1.2.5 矩陣運算的性質 31
1.2.6 矩陣的乘方=映射的迭代 35
1.2.7 零矩陣、單位矩陣、對角矩陣 37
1.2.8 逆矩陣=逆映射 44
1.2.9 分塊矩陣 47
1.2.10 用矩陣表示各種關系（2） 53
1.2.11 坐標變換與矩陣 55
1.2.12 轉置矩陣=？？？ 63
1.2.13 補充（1）：時刻注意矩陣規模 64
1.2.14 補充（2）：從矩陣的元素的角度看 67
1.3 行列式與擴大率 68
1.3.1 行列式=體積擴大率 68
1.3.2 行列式的性質 73
1.3.3 行列式的計算方法（1）：計算公式▽ 80
1.3.4 行列式的計算方法（2）：筆算法▽ 87
1.3.5 補充：行列式按行（列）展開與逆矩陣▽ 91
第2章 秩、逆矩陣、線性方程組——溯因推理 95
2.1 問題設定：逆問題 95
2.2 良性問題（可逆矩陣） 97
2.2.1 可逆性與逆矩陣 97
2.2.2 線性方程組的解法（系數矩陣可逆的情況）▽ 97
2.2.3 逆矩陣的計算方法▽ 107
2.2.4 初等變換▽ 110
2.3 惡性問題 115
2.3.1 惡性問題示例 115
2.3.2 問題的惡劣程度——核與像 120
2.3.3 維數定理 122
2.3.4 用式子表示「壓縮扁平化」變換（線性無關、線性相關） 126
2.3.5 線索的實際個數（秩） 130
2.3.6 秩的求解方法（1）——悉心觀察 137
2.3.7 秩的求解方法（2）——筆算 142
2.4 良性惡性的判定（逆矩陣存在的條件） 149
2.4.1 重點是「是不是壓縮扁平化映射」 149
2.4.2 與可逆性等價的條件 150
2.4.3 關於可逆性的小結 151
2.5 針對惡性問題的對策 152
2.5.1 求出所有能求的結果（1）理論篇 152
2.5.2 求出所有能求的結果（2）實踐篇 155
2.5.3 最小二乘法 166
2.6 現實中的惡性問題（接近奇異的矩陣） 167
2.6.1 問題源於哪里 167
2.6.2 對策示例——提克洛夫規范化 170
第3章 計算機上的計算（1）——LU分解 173
3.1 引言 173
3.1.1 切莫小看數值計算 173
3.1.2 關於本書中的程序 174
3.2 熱身：加減乘運算 174
3.3 LU分解 176
3.3.1 定義 176
3.3.2 分解能帶來什麼好處 178
3.3.3 LU分解真的可以做到嗎 178
3.3.4 LU分解的運算量如何 180
3.4 LU分解的步驟（1）一般情況 182
3.5 利用LU分解求行列式值 186
3.6 利用LU分解求解線性方程組 187
3.7 利用LU分解求逆矩陣 191
3.8 LU分解的步驟（2）意外發生的情況 192
3.8.1 需要整理順序的情況 192
3.8.2 重新整理順序也無濟於事的狀況 196
第4章 特征值、對角化、Jordan標准型——判斷是否有失控的危險 197
4.1 問題的提出：穩定性 197
4.2 一維的情況 202
4.3 對角矩陣的情況 203
4.4 可對角化的情況 205
4.4.1 變量替換 205
4.4.2 變量替換的求法 213
4.4.3 從坐標變換的角度來解釋 215
4.4.4 從乘方的角度來解釋 219
4.4.5 結論：關鍵取決於特征值的絕對值 220
4.5 特征值、特征向量 220
4.5.1 幾何學意義 220
4.5.2 特征值、特征向量的性質 225
4.5.3 特征值的計算：特征方程 232
4.5.4 特征向量的計算▽ 240
4.6 連續時間系統 246
4.6.1 微分方程 247
4.6.2 一階情況 250
4.6.3 對角矩陣的情況 250
4.6.4 可對角化的情況 252
4.6.5 結論：特征值（的實部）的符號是關鍵 252
4.7 不可對角化的情況 255
4.7.1 首先給出結論 255
4.7.2 就算不能對角化——Jordan標准型 256
4.7.3 Jordan標准型的性質 257
4.7.4 利用Jordan標准型解決初始值問題（失控判定的最終結論） 264
4.7.5 化Jordan標准型的方法 271
4.7.6 任何方陣均可化為Jordan標准型的證明 279
第5章 計算機上的計算（2）——特征值算法 299
5.1 概要 299
5.1.1 和筆算的不同之處 299
5.1.2 伽羅華理論 300
5.1.35×5以上的矩陣的特征值不存在通用的求解步驟！ 302
5.1.4 有代表性的特征值數值算法 303
5.2 Jacobi方法 303
5.2.1 平面旋轉 304
5.2.2 通過平面旋轉進行相似變換 306
5.2.3 計算過程的優化 309
5.3 冪法原理 310
5.3.1 求絕對值最大的特征值 310
5.3.2 求絕對值最小的特征值 311
5.3.3 QR分解 312
5.3.4 求所有特征值 316
5.4 QR方法 318
5.4.1 QR方法的原理 319
5.4.2 Hessenberg矩陣 321
5.4.3 Householder方法 322
5.4.4 Hessenberg矩陣的QR迭代 325
5.4.5 原點位移、降階 327
5.4.6 對稱矩陣的情況 327
5.5 反冪法 328
附錄A 希臘字母表 330
附錄B 復數 331
附錄C 關於基底的補充說明 336
附錄D 微分方程的解法 341
D.1 dx／dt=f（x）型 341
D.2 dx／dt=ax+g（t）型 342
附錄E 內積、對稱矩陣、正交矩陣 346
E.1 內積空間 346
E.1.1 模長 346
E.1.2 正交 347
E.1.3 內積 347
E.1.4 標准正交基 349
E.1.5 轉置矩陣 351
E.1.6 復內積空間 351
E.2 對稱矩陣與正交矩陣——實矩陣的情況 352
E.3 埃爾米特矩陣與酉矩陣——復矩陣的情況 353
附錄F 動畫演示程序的使用方法 354
F.1 執行結果 354
F.2 准備工作 354
F.3 使用方法 355
參考文獻 357