基礎分析學

高中生先修．大學生必讀

　　返璞歸真——源於自然，根於本質

　　平實近人——精中求簡，以簡馭繁

　　引人入勝——易學好懂，能懂會用

作者簡介

項武義

學歷
　　美國普林斯頓大學數學博士

經歷
　　美國加州大學柏克萊校區數學系教授
　　香港科技大學數學系教授

現任
　　美國加州大學和香港科技大學退休教授
　　國立臺灣大學數學系客座講座教授

研究領域
　　拓樸變換群
　　大域微分幾何
　　古典幾何及裝球問題
　　古典力學和量子力學中的三體問題

PART 1 　單元微積分學

第 0 章 導論─數系和數系的擴張
0.1 自然數系
0.2 整數數系
0.3 有理數系
0.4 實數系
0.5 複數系

第 1 章 實數系和函數的連續性
1.1 實數系的連續性
1.2 連續函數的基本概念
1.3 多項式函數
1.3.1 多項式的唯一性定理與插值公式
1.3.2 單元多項式的除法與輾轉相除求公因式
1.3.3 Sturm 定理
1.3.4 代數基本定理
1.4 　例題與習題

第 2 章 微積分
2.1 變率與微分
2.2 總和與積分
2.3 微積分基本定理與均值定理
2.4 例題與習題

第 3 章 指數函數及對數函數
3.1 指數、對數函數的定義與基本性質
3.2 指數函數與對數函數的微分
3.3 自然對數表的計算法
3.4 複變數指數函數和三角函數
3.5 複利與指數函數

第 4 章 初等函數及其應用舉例
4.1 多項式函數
4.1.1 n 階密切多項曲線
4.1.2 高階局部逼近與不定式之極限
4.1.3 插值問題的推廣
4.2 三角函數與反三角函數
4.2.1 圓的對稱性與正弦、餘弦函數的基本性質
4.2.2 三角定律與極坐標
4.2.3 等速圓周運動與正弦、餘弦的微分
4.2.4 等周問題（Isoperimetric Problem）
4.2.5 Kepler 行星運行三定律及其數理分析
4.2.6 三角函數的積分計算
4.2.7 反三角函數及π的近似值計算
4.3 常係數常微分方程
4.3.1 算子符號
4.3.2 p(D)＝(D-λ)k 的情形
4.3.3 p(D) 是一般的情形
4.3.4 p(D)y＝g(x) 的解法

第 5 章 歐氏幾何、球面幾何和非歐幾何的統一理論
5.1 非歐幾何的發現過程及其歷史意義
5.2 發現非歐幾何學的思路與突破點
5.3 歐氏、球面與非歐三角定律的統一理論
5.4 旋轉面的解析幾何
5.5 旋轉面的Gauss曲率和Gauss-Bonnet公式
5.6 結　語
5.7 思考題與習題

PART 2 　多元微積分學

第 6 章 多元函數的連續性與微分
6.1 多元函數的連續性
6.2 多元函數的微分

第 7 章 多元多關係的微分
7.1 隱函數定理
7.2 坐標變換
7.3 極大、極小的微分條件式

第 8 章 高維勾股定理與Grassmann代數
8.1 向量代數與平行體的有向體積
8.1.1 平面的定向與平行四邊形的有向面積
8.1.2 三維空間的定向和平行六面體的有向體積
8.2 向量內積與勾股定理的高維推廣
8.3 格氏代數（Grassmann Algebra）

第 9 章 外微分與多元積分
9.1 多元函數的多重積分
9.1.1 多重積分的定義
9.1.2 多重積分與坐標變換
9.2 線積分、面積分及其高維推廣
9.2.1 線積分（Line Integral）
9.2.2 曲面積分
9.2.3 例題與習題
9.3 外微分和微積分基本定理的高維推廣
9.3.1 外微分和廣義Stoke’s 定理
9.3.2 例題與習題