會騙人的數字－統計學的迷思

就算檢驗結果呈陽性反應，也不必驚慌失措！


謬論和錯誤好比水痘，帶有傳染性，它會像傳染病般地向四周蔓延開來。如果有人曾被水痘感染並痊癒，之後由於他體內的抗體，常能成功地抵抗疾病的再度侵襲。倘若也有人曾經辨識出謬論，那麼他就不會再輕易地上當受騙。藉由這本書，我們希望能增強您對錯誤和謬論的抵抗力。

想像一下，您剛從外地度過一個美好的假期回來。那裡的觀光業幾乎尚未開發，您得到了徹底的休息和放鬆。在停留期間，您察覺到當地有種罕見的疾病。雖然，觀光客會得到這種疾病的機會實在微乎其微，但您還是決定去醫生那裡做個檢查。因為早期的發現，疾病治癒的機會將比在疾病發作後高出許多。檢查後數日，醫生打電話通知您，檢查結果呈陽性反應。也就是在檢查中發現您已經被感染。除此之外，醫生還告訴您以下的訊息：


1.有關這項檢查的可靠性，他說：在檢查100名遭受感染的病患中，其中有99位確實查出他們遭到感染──只有一位因檢驗疏失，未被診斷出來。也就是他在為感染病患作檢驗時，有
99%的機率呈陽性反應，得到正確的檢查結果；有1%的機率呈陰性反應，得到錯誤的檢查結果。另一方面，在100名健康未感染者中，有98名檢查確定健康無誤。只有兩名因檢驗疏失，被誤判感染得病。(您希望自己是這兩位中的其中一名)。這檢驗顯示健康者有98%的機率呈陰性反應，證實檢驗結果正確；有2%的機率，得到錯誤的陽性結果。

2.您還知道，曾到過這個地方度假的旅客，只有千分之一的機會會被這個疾病感染，而且早期不會有任何的徵兆出現。

3.因為您檢查的結果呈陽性，為了再進一步求證，您不僅得接受一個麻醉外科小手術，而且還要住院三天。這個檢驗正確地檢查出，有99%的感染患者和98%的健康者。它的確非常可靠，還檢驗出您呈陽性的結果。但是真的有必要為這件事坐立不安嗎？您坐在沙發椅，深吸一口氣，壓壓驚，靜下心地思考這整個事件的來龍去脈。您會罹患這疾病的機率到底有多大？請圈選下列的可能性：

因為我的檢查結果呈陽性反應，可能罹患疾病的機率為(百分比)：


□ 99
□ 98
□大約 95
□大約50
□大約5
□ 2
□ 1

在您考慮動手術，堅持再做一次檢查以前，希望您別亂了方寸。讓我們先有個思考轉圜的餘地 (因為當數字一多，我們就很容易被數字弄得暈頭轉向。請看表 1)：


表1
檢驗結果呈陽性，斷定會患病機率的一覽表

人數 陽性反應 陰性反應
患病 100 99 1**
健康 100,000 2,000* 98,000
總數 100,100 2,099 98,001

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果， 100,000名中的 2%＝ 2,000
**這裡指感染患病者得到錯誤的陰性結果：100名中的1%＝1。其他的數字則
是藉由加減法得出。


我們假設，有100,100個人從該地回來，接受身體健康檢查。因為一千人中有一位會被傳染的機率下，所以預測在所有的受檢人中，約有100位會感染得病，100,000位是健康的。在
100名遭到感染的病患中，有99人透過檢查，正確印證出他們確實患病；只有一人，因為疏失而未被檢查出來(這項檢驗證實了病患確實得病，有99%的可靠性)。在100,000名健康者中，正確檢驗98,000人健康無誤(這項檢驗證明了未感染者確定是健康，有98%的可靠性
)，其餘2,000名健康者，因檢驗疏失而被誤判患病。這意味著，共有99＋2,000＝2,099位，因得到陽性檢驗結果而驚嚇害怕。由於您的陽性檢驗結果，而被歸類到那99名真正感染的病患中，這樣的機率有99/2,099＝0.0472，即為4.72%，約5%。這數字正是我們之前機率問答的正確答案。

通常人們會預期較高的患病風險。如果您未答對，沒關係，您可不是唯一的一位。我們在許多的會議和研討會上，提出這同樣的問題，並且讓與會者匿名作答。不管我們問的是藥劑師、自行開業的醫師、醫學院學生、醫療諮詢師，還是對醫藥毫無概念的一般民眾：得到的答案幾乎都非常類似。只有十分之一的作答者回答正確。超過一半以上的人，高估了患病的機率
(超過90%)。有可能是因為大部分的人，被這檢驗的高度可靠性(99%和98%)所矇騙，而忽略疾病低度傳染的機率。令人驚訝的是，答錯的可不僅是一般民眾，其中還有那些在檢驗測試領域裡被視為專家的學者呢。

過一陣子您又再重新做一次檢查，只要是好的醫師都會給您這樣的建議。很遺憾的是，醫生告訴您，檢查的結果仍是呈陽性反應。現在該怎麼辦？

我們還是以上述的方法思考，只是改用別的數字取代。另外，再製作一個表2：假設，所有在第一次檢驗中獲得陽性結果的2,099位受檢者──他們也和您一樣有同樣的憂慮和不安，又再做了第二次檢查。因為這第二輪的檢驗，查出受感染的病患確實得病，也有99%的準確性；所以我們可以說，這檢驗可以從99位感染的病患中，查出98位確實受到感染，1位則因檢查的疏失，而被視為健康未受感染。在2,000名健康者中，有1,960位(＝98%)在檢查後，證實健康未受感染。其餘有2,000－1,960＝40位健康者，因第二輪的檢驗疏失，呈陽性反應，疑似患病。這次總共檢查出98＋40＝138位呈陽性反應。確實與那些98名被感染的病患一樣，得病的機率有98/138＝0.71，也就是71%。這樣的數字的確讓人忐忑不安，但事實上，您健康未受感染的機會，仍然有29%。



表2 第二次檢驗，結果還是呈陽性反應，確定會患病機率的一覽表

第一次檢驗 第二次檢驗 第二次檢驗
呈陽性反應的人 數呈陽性反應 呈陰性反應
患病 99 98 1**
健康 2,000 40* 1,960
總數 2,099 138 1,961

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果，2,000名中的2%＝40。
**這裡指感染患病者得到錯誤的陰性結果：99名中的1%＝1。其他的數字則
是藉由加減法得出。

一旦得到陽性結果，多數人會很直覺的高估患病的機率。這或許是因為，人通常只在乎檢驗的準確性，而忽略會罹患疾病的頻率。在我們所舉的例子中，它只有千分之一的機率。

很少檢驗會有上例中這樣精確的推算。就算檢驗結果呈陽性，仍然沒有充分的理由讓自己慌亂不安。我們稍後可以從預防乳癌和直腸癌措施的實際數據中，更進一步地觀察到。

發病的頻率通常有兩種不同的測量方式：流行率和罹患率。疾病的流行率是某一時點資料的取得。也就是觀察在某特定日期有多少人罹患此病。如果這國外異地的80,000居民中，有
3,200名感染患病，那麼這疾病的流行率有3,200/80,000＝0.04，也就是4%。

在罹患率的計算中，要將時間的因素考慮在內。例如觀察在這一年之內，有多少人新罹患此疾病。我們假設，在這度假勝地，每年有800人新罹患疾病。這表示每年的罹患率有800/80,000＝0.01，也就是每年有1%的機率。大部分的罹患率都以每100,000名和每年人數來表示。換言之，在100,000人中，每年有1,000名患此疾病。在一個有15,000名居民的都市裡，每
年就有150位市民會新感染此病。

有許多疾病，其罹患率和流行率都和年齡脫不了關係。例如癌症和心血管疾病的發病頻率，都會隨著年齡的遞增而大幅提高。一名53歲的婦女若是生平第一次接受乳房攝影檢查，在評
估陽性檢查結果的可靠性時，將以流行率為主要的考量。但如果這是她在兩年後所作的一個後續追蹤檢查，則須以罹患率兩年的時間作為考量的基準。

在乳房攝影檢查中(早期發現乳癌的措施)，大約會在4%的健康者身上，得出錯誤的陽性檢驗結果。錯誤的陰性反應約佔結果的20%。這表示在乳房攝影檢查中，每五個實際乳癌患
者，將有一個被忽略，而不會被發現。在德國，都會建議年齡在50到69歲之間的婦女，接受乳房攝影檢查。在這個年齡層的女性，若是之前從未接受過乳房攝影檢查，也未在乳房檢查中觸摸到腫瘤硬塊者，其罹患乳癌的機率(流行率)約佔0.8%2。得出的結果詳見表3。


表3
在乳房攝影檢查中，得到陽性結果，但未有其他的病情症狀；在
此情況下會罹患乳癌機率的一覽表。此表是針對年齡在50到69
歲之間，第一次接受乳房攝影檢查的婦女。

人數 陽性反應 陰性反應
乳癌患者 800 640 160**
健康，未得乳癌者 99,200 3,968* 95,232
總數 100,000 4,608 95,392

得到正確 640/4,608= 0.14 95,232/95,392=0.9983
診斷結果 也就是14% 也就是99.83%

得到錯誤 3,968/4,608=0.86 160/95,392=0.0017
診斷結果 也就是86% 也就是0.17%

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果。
**這裡指罹患乳癌者得到錯誤的陰性結果

診斷結果，共有4,608位女性獲得陽性反應。但事實上，只有其中640位的檢查結果是正確的。其餘的3,968名女性(相當於3,968/4,608＝86%)得到錯誤的陽性診斷結果。為了進一步澄清這項檢查結果，雖然這些女性並沒有真正患病，但她們通常還會再接受乳房組織切片檢查。這裡清楚地顯示出，由經驗豐富的醫生來主持和進行檢查，是多麼重要的一件事啊！雖然這似乎只不過使陽性錯誤診斷結果稍微地提高，但卻也導致許多女性無端地遭受皮肉之苦，挨上了那一刀。


95,392位女性得到陰性的檢驗結果。但其中卻有160名仍然罹患了乳癌。在檢查過程中，因為疏忽而未發現到腫瘤。也就是說，這是錯誤的陰性檢驗結果。另外95,232名女性，她們陰性的診斷結果是正確無誤。總之，得到陰性檢驗結果，並且確實是健康的機率有95,232/95,392＝ 99.83%。接受乳房攝影檢查前，則有99.2%的女性朋友可以對這診斷有更多的信任。

罹患率和流行率與患病時間的長短有密切的關係：

流行率＝一般平均的患病時間長短×罹患率

兩者擁有相同罹患率的疾病，我們若在某一時點擷取它們的相關資料，短期性疾病將比長期性疾病少見許多。我們也可以用上列的方程式，來對中期性疾病加以測定。在我們最前面所舉的例子中，異地出現的疾病，它發病的時間長達0.04/0.01每年＝4年之久。

但是也有可能發生令人驚訝的事情。最終一個疾病或許得到長久所期盼的痊癒，或是治療無效，而造成病人死亡。政府衛生部門為了能有效治療這種會致死的疾病，不惜投下大筆的財力。於是導致了罹患率維持不變，而流行率卻持續上升。這表示一切的所作所為都付諸流水嗎？絕不是這樣！主要是由於病人獲得更好的診治所致，使得疾病患者現在能活得更長。中期性疾病因此延長為慢性疾病，在罹患率數據不變的情況下，相對地流行率就提高了。如果降低流行率，是不是就表示一場災難即將發生？不見得。一個中期性疾病時間的縮減，將取決於是因為病患提早過世，還是提前獲得治癒而定。

另外一個說明癌症早期發現的例子是直腸癌。在德國，一名七十歲的男性，並未發現有特殊病情徵狀，但罹患直腸癌的機率約有 0.3%。這表示 100,000人中，會有300名罹患直腸癌。有一個常見的檢驗，就是以發現血便作為直腸癌早期診斷的依據，檢驗結果會呈錯誤的陽性反應，其機率為3%，呈錯誤的陰性反應卻高達50%3。如果檢驗結果呈陽性反應，確定會罹患直腸癌的可能性則有150/3,141＝0.0478，也就是大約5% (請比較表4)。


表4 檢驗直腸癌呈陽性反應結果，確定會患病可能性的一覽表

人數 陽性反應 陰性反應
直腸癌 300 150 150**
健康 99,700 2,991* 96,709
總數 100,000 3,141 96,859

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果：99,700的3%＝2,991
**這裡指患病者得到錯誤的陰性結果：300名中的50%＝150。其他的數字則
是藉由加減法得出。




因此有2,991個人得到錯誤的陽性測試結果，這表示，他們還得接受一連串不必要的檢查，不僅具有危險性，而且非常不舒服(如大腸鏡檢查、大腸鋇劑攝影、結腸鏡檢查)。然而在二十位的受檢者中，就有一位(150/3,141 ≒1/20)因為透過檢查，而早期發現了惡性腫瘤，使得痊癒的機會大幅提高。早期發現對這樣的患者是一大優點，但對許多健康的人而言，卻必須同時承受其所帶來的缺點(如一些不便之處，或者可能產生的副作用)。除此之外，即使在準備作結腸鏡檢查時，會導致併發症的風險不大，但是進行麻醉或是檢查時，還是有可能會發生嚴重的身體傷害(如穿孔)和死亡。

獲得陰性檢查結果的受檢者，因為檢驗疏失，而誤以為自己健康沒事，實際卻患有直腸癌的機率是150/96,859＝0.00155，也就是0.155%。我們先前提到，未受檢者的流行率為0.3%。那麼現在就可以把這不確定感──得到陰性檢查結果，是否還會罹患直腸癌──降低一半
(0.155/0.3 ≒1/2)。這檢驗帶給您的安全感其實只有0.3－0.155＝0.145%。

另外一個例子是愛滋病，也就是所謂的愛滋病毒(HIV)檢驗。在過去研發的過程中，它可算是最值得信賴的檢驗之一。在實務上，也未曾發生有錯誤的陰性檢查結果。如果有，那也是
在 1997年，採用某一製造商研發出的檢驗，全歐洲發生了四起檢驗疏失的案例，當時的媒體新聞皆曾報導此相關消息。不過，值得注意的是，HIV必須在感染後的四到八週才能檢驗得出。若是在這期間內檢查，雖然已感染，仍會得出陰性反應結果，自然不能算作錯誤的陰性檢查結果。另外，會發生錯誤的陽性結果，也同樣是少之又少，大約只有0.2%。

令人驚訝的是，即使每個地方進行的檢驗都一樣，但檢查結果呈陽性反應並確實感染HIV的機率，竟和受檢者的檢驗場所有關。為了更進一步說明，我們將為您指出兩間機構差異頗大的顧客資料。有一家德國大型醫院，在過去十年約有20,000件捐血中，只發現一件感染的案例。利用這個機率，我們列出下表：

表5 捐血時，檢驗得出陽性反應結果；斷定感染HIV機率的一覽表
(酵素免疫分析法)

人數 陽性反應 陰性反應
感染愛滋 1 1 0**
健康 19,999 40* 19,959
總數 20,000 41 19,959

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果：19,999的0.2%＝40。
** HIV檢驗在實務上，未曾發生有錯誤的陰性檢查結果。其他的數字則是藉由
加減法得出。

有41位捐血者得到陽性的檢驗結果，但其中只有一位確實感染愛滋病毒。這表示，他們會感染的機率只有1/41＝2.4%。

反之，位在北德一家診斷檢驗室的流行率1.5%相對來說就比較高，這是因為在此處進行檢驗的受檢者，大多數有某特定的動機或理由，才接受HIV檢驗。血庫則是基於安全的理由，一
律對所有捐血者的血液進行檢驗。從表6您可看出，此實驗室的流行率較高。


表6
在酵素免疫分析法的檢驗中得出陽性反應結果，並且其血液是在診斷檢驗室受檢；確定會感染HIV可能性的一覽表

人數 陽性反應 陰性反應
感染愛滋 300 300 0**
健康 19,700 39* 19,661
總數 20,000 339 19,661

*這裡指健康者得到錯誤的陽性結果：19,700的0.2% =39。
**HIV檢驗，在實務上未曾發生有錯誤的陰性檢查結果。其他的數字則是藉由
加減法得出。


得到陽性的檢驗結果，並確實感染愛滋的機率，在這裡就明顯的高出許多，也就是300/339＝0.885 (88.5%)。會造成如此大的差別，是因為這兩個族群分別代表不同的危險群。所以為顧客做檢驗的機構，也得列入考量範圍內。在得出陽性檢驗結果的情形下，檢驗機構會以原有的血液再進行第二次檢驗，即所謂的西方點墨分析測試，這時候所得到錯誤陽性結果的機率將會明顯少了許多，只是它不僅費用高，而且耗費的精神、時間也大為增加。使用西方點墨分析測試，所有在臨床上會發生錯誤的診斷，都可全部予以排除。檢驗結果還是呈陽性反應的病人，將會盡快抽取第二次血液，再做一次檢驗。這有它的必要性，因為那些會混淆血液取樣的可能性並非不存在。而且在檢驗程序中也有可能發生錯誤，不過透過監控就能避免這種情形發生。一旦第二次檢驗還是得到陽性結果，將會盡快地通知病患。

最後我們要說明，對於一位有可能罹患愛滋病的人，找一間流行率較小的檢驗機構做檢驗，其實沒啥管用。會感染的機率和事後在哪裡接受檢驗的決定，一點關係都沒有。

就算檢驗結果呈陽性反應，也不必驚慌失措！謬論和錯誤好比水痘，帶有傳染性，它會像傳染病般地向四周蔓延開來。如果有人曾被水痘感染並痊癒，之後由於他體內的抗體，常能成功地抵抗疾病的再度侵襲。倘若也有人曾經辨識出謬論，那麼他就不會再輕易地上當受騙。藉由這本書，我們希望能增強您對錯誤和謬論的抵抗力。想像一下，您剛從外地度過一個美好的假期回來。那裡的觀光業幾乎尚未開發，您得到了徹底的休息和放鬆。在停留期間，您察覺到當地有種罕見的疾病。雖然，觀光客會得到這種疾病的機會實在微乎其微，但您還是決定去醫生那裡做個檢...

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２　讓我們來烤一個轟動社會的大新聞
　　給愛吃蛋糕人的統計學
　　關於巧合和原因：白血病例的場景
　　不幸的事很少單獨發生
３　巧合還是事情真相
　　醉醺醺的駕駛
　　聖牛
　　向開槍射擊的結果挑戰
　　四方形既實用又好
　　新官上任三把火！
　　無意義的水平
４　帶著散彈槍進陶瓷專賣店
　　唾手可得的顯著性，令人難以忍受
　　「結果」 多得如海邊的細沙
　　堆肥還是組合
　　開老爺車跑遠程的賭注
　　投機者和神槍手
　　在遊戲中，使用的骰子已遭人動過手腳
５　輕鬆一下，我們今天乾脆就省略了吧
　　雄辯是銀，沉默是金
　　熱氣上騰？
　　因天氣酷熱難耐而放假
　　終於見到陸地了！
　　眼不見心不煩
　　困境使人腦筋靈活
６　負面的結果資料都到哪兒去了？
　　尋找蛛絲馬跡
　　學術界的流行現象
　　正面的負面
　　……只不過是舉手之勞！
７　足球，巧合，聳人聽聞
　　火星塞、電線、喝咖啡聊天
　　足球場被當成輪盤賭
　　桌上足球
　　德國足球聯賽
　　優勝劣敗
　　從巧克力出現以來，最柔和的嘗試
　　無燕不成秋
８　在迷濛的煙霧中眺望
　　忽略的錯誤
　　一個廣受喜愛的錯誤慶典
　　有損視野的東西
　　事倍功半
　　尋找，就必尋見
　　選舉前的痛苦
　　悄悄地，也是莫大的損失
９　用事實真相編造謊言
　　在拉長架上的數據
　　……產生作用
　　視力輔助
　　自己動手作
10　堅持立場的原因
　　無風不起浪
　　公雞掌控太陽的軌道
　　好事太多？
　　全球暖化的祝福
　　有關鳥嘴和鳥
　　帽子醜聞
11　語言混淆
　　沒人瞭解我
　　語言的闡述
　　從原作到定理：傳話原理
12　電腦童話
　　熱內瓦的權杖
　　戴安娜王妃的棒球帽
13　選區探戈，犯罪集團和抗癌的左撇子
　　會下蛋的狗
　　犯罪集團
　　和魚兒一樣地游泳…
　　輸了兩次，卻還是獲勝
　　雖然沒有任何的改變，但一切反而變得更加美好
　　歡呼：健康的人比生病的人還健康！
　　紅酒和死亡
　　由於盲目的意外造成的一致
　　等待取代開始
　　一堆金屬鐵片，還不足以稱為一輛汽車
14　和安全錯身而過
　　艾菲的神喻
　　錯誤想像的慣性能力
　　當老鼠在大跳探戈時
　　在混亂裡想像的合法性
15　號召來個喝咖啡的聚會吧
　　建議以批判的角度來閱讀臨床研究
16　每兩個男人中，只有一個是人？
　　有邏輯就不會驚慌
　　一切都無所謂，不是嗎？
　　會弄錯其實是很人性的
17　海綿是個極佳的材質……

１　就算檢驗結果呈陽性反應，也不必驚慌失措！
２　讓我們來烤一個轟動社會的大新聞
　　給愛吃蛋糕人的統計學
　　關於巧合和原因：白血病例的場景
　　不幸的事很少單獨發生
３　巧合還是事情真相
　　醉醺醺的駕駛
　　聖牛
　　向開槍射擊的結果挑戰
　　四方形既實用又好
　　新官上任三把火！
　　無意義的水平
４　帶著散彈槍進陶瓷專賣店
　　唾手可得的顯著性，令人難以忍受
　　「結果」 多得如海邊的細沙
　　堆肥還是組合
　　開老爺車跑遠程的賭注
　　投機者和神槍手
　　在遊戲中，使用的骰子已遭人動過...