前言
偶爾，當我覺得異常輕鬆，思緒開始遊走時，我會好奇，如果每個人都像我一樣喜歡數學，這個世界會變成什麼光景呢。電視新聞會以最近的代數拓撲學（algebraic topology）理論來取代庸俗的政治醜聞，青少年會將數學理論排行榜下載到他們的iPod，而卡利普索（calypso）〔編注：千里達的民歌，也在加勒比群島東、南部演唱，歌詞常以詼諧的語調諷刺當地的政治和社會事件〕歌者（記得他們嗎？）會用吉他撥彈出「輔助定理三」的曲調……這倒提醒了我，1960年代末，民歌手凱利（Stan Kelly，現為凱利．布托〔Stan Kelly-Bootle〕，查看Google）在華威大學（Warwick University）攻讀數學碩士時，真的寫過這麼一首歌。歌曲是這麼開始的：
輔助定理三，非常漂亮，而逆定理也很漂亮，
不過只有上帝和費馬知道其中何者為真。
總之，我一向認為數學是靈感和喜悅的來源。我知道對大多數人來說，數學只會觸動恐懼，而非樂趣，不過我發現自己實在無法認同這樣的觀點。理智上，我了解數學恐懼症廣布的幾項原因：當你希望透過自己的行事風格，以幾句行話和厚顏行徑擺脫麻煩時，再也沒有比一個必須絕對要求正確和精密的主題來得糟糕的事。但情感上，我發現自己很難理解，為什麼攸關我們所居世界的這麼一個活力十足，有著如此漫長和豐富的歷史，且充滿有史以來最傑出的人類智慧的主題，無法引起興趣，迷惑人心？
另一方面，觀鳥人同樣無法理解為什麼其他人不能分享他們的熱情。「我的老天，那不是小鳳頭燕鷗笨蛋的求偶羽衣嗎？英國最後一隻紀錄有案的是1843年在斯凱島（Isle of Skye）發現的，那一隻部分躲在一個---噢，不好了，它只是尾巴沾有泥土的椋鳥。」沒有冒犯的意思---我蒐集石頭。「哇！真正的亞斯文（Aswan）花崗岩耶！」我們家堆滿了地球岩塊。
大多數人認為「數學」這個詞就是習以為常的算術，這或許無可避免。如果你會做，以某種蠢笨的想法來說，它很有趣。如果你不會，它很可怕。更甚者，假若有人拿著一支大紅筆站在旁邊，等著你出點小錯，以便跳進來攪局的話，要對某些東西---無論是數學或觀鳥---感興趣絕非易事（只是一種比喻，卻再真不過）。畢竟，朋友間一、兩個小數點算什麼？但英國國民教育課程和小亨利的理解之間的鴻溝呢，數學的諸多樂趣似乎就在古老過時的方式中遺失殆盡。多可惜啊。
我不是宣稱本書會對大眾的數學能力產生奇效，雖然我假設它或許可以（用哪種方式……啊，那又是另一回事了）。我試著在本書中做的是，說服那些不信邪的人。這本書是為了數學迷、數學狂熱者、積極熱愛數學的人，以及從玩樂中得到許多樂趣且始終保有一顆年輕的心的人而存在的。葛瑞爾（Spike Gerrell）可愛的漫畫強化了輕鬆的氣氛，並且完美表達討論的精神。
然而，我的意圖絕對嚴肅認真。
我原本想把這本書命名為《數學分心的武器》（Weapons of Math Distraction），這個書名對我來說有平衡嚴肅和輕鬆的作用，所以我可能得感謝行銷部門的否決。但現在這個蛋糕指向的標題也有危險性，你們有些人或許會想買這本書來獲得一些真正的烹調指導。我可不保證能做到：這是一本關於數學本質的謎題和遊戲的書，不是食譜。蛋糕只是波雷爾測度（Borel measure）的空間而已。
嚴重偽裝成……一塊蛋糕。數學老師教我們的不是如何做蛋糕，而是如何平均分給任何數目的人。並且---這一點難多了---不會心生嫉妒。切蛋糕可以簡單地導入數學的分配理論。就像許多入門數學，也是專家戲稱的「玩具模式」那樣，它是從真實世界的東西中徹底簡化出來的。不過它能夠讓你好好思考一些關鍵議題。例如，它凸顯了下面的情況，就是為幾個競爭團體分配資源很容易，只要依他們不同的評價方式，讓他們都認為公平即可。
就像之前的書《遊戲、集合與數學》（Game, Set and Math）、《我不知道的另一種有趣的數學》（Another Fine Math You’ve Got Me Into）和《數學歇斯底里》（Math Hysteria）（後者和本書一樣是牛津大學出版社〔Oxford University Press〕出版），本書內容擷取自1987年至2001年間，我為《科學人》雜誌（Scientific American）及其外文譯本撰寫的一系列數學遊戲專欄。專欄部分做了些微的調整，所有已知的錯誤已經修正，一些數量不明的新錯誤又加了進來，而讀者們的評論以「讀者迴響」為題，適切地置入章末。我回復了一些因為篇幅關係而未能出現在雜誌上的材料，所以這是一種「導演剪接（切法）」，我可以這麼說。主題從圖形（graph）到機率，從邏輯到極小曲面（minimal surface）〔編注：所有點的平均曲率（mean curvature）為0的曲面〕，從拓撲學到準晶體（quasicrystal）〔編注：狀態介於非結晶的玻璃態固體（特殊形態的金屬和其他礦石，以及普通玻璃），與具精確晶格的晶體之間光子的原子型物質〕。當然，少不了蛋糕的分配。它們泰半以娛樂價值，而非重要性作為抉擇的要件，所以請不要把內容想像成研究新領域當前活動的完整代表。
然而，它的確反映了研究新領域當前的活動。切蛋糕這個熱門議題是悠久數學傳統的一部分---至少可回溯至三千五百年前的古巴比倫---一種從微不足道的東西中挖掘嚴肅議題的傳統。於是就像本書一樣，當你讀到「為什麼電話線老纏在一起？」時，題目本身不只是用來整理如老鼠巢穴般的電話線圈。最好的數學有一種好奇的本質，所以某個簡單的問題衍生出的想法才能解釋其他許多問題。在真實世界中，許多東西扭轉和旋轉：電話線、植物卷鬚、DNA分子、海底電纜。這四種扭轉和旋轉的數學用途，有著許多截然不同的基本特性：如果電信工程師拿走你的電話線，換上一截旋花植物，你一定會大為光火。不過它們也共同具有一個很有用的特性：一個簡單的數學模式在它們身上發光發熱。它或許無法回答每個你想回答的問題，它或許忽略掉一些重要的實質議題，但一個簡單的模式一旦開啟了數學分析的大門，那麼更複雜、更精細的模式就能以此為基礎發展出來。
在本書中，我旨在利用抽象思維和現實世界的混合體，激發各種數學構想。對我來說，收穫不在於實際解決現實世界的問題。主要的收穫是新的數學。少少幾頁不可能發展出數學上的重大用途，但對任何有足夠想像力的人來說，可以欣賞到一個數學構想如何從一種東西出發，出乎意料地應用於一種不同的東西。本書中的最佳範例或許是「帝國」與電子電路（electronic circuit）的連結。一個關於地球和月球的地圖著色奇怪假設謎題（第九章），可實際應用來測試電子電路板瑕疵這個重要問題（第十章）。重點是，數學家一開始是從微不足道的來源（雖然不像這裡舉的例子那麼微不足道），偶然得出中心構想，進而發現它的用途非同小可。
還有另一種方式。第十五章受到一些亞洲螢火蟲引人注目的行為啟發，那裡的雄性螢火蟲同步發出閃爍的光–—或許是為了改善牠們吸引雌性的集體能力，而非個別能力。為什麼閃爍會同步呢？這裡重點出現了，數學指出問題所在並提供至少部分解答，而後者又更清楚地告訴我們，相同的數學可以應用在其他許多關於同步的問題。我的方法是將整件事轉化成你可以玩的方格板遊戲。繞個彎來說：關於那個遊戲一些看似簡單的問題尚未獲得解答。某種意義來說，我們對實際應用的了解，遠勝於簡單模式本身。
除了極少數例外，本書每一章均可獨立成篇。你可以從任何地方切入，如果卡住了，不管原因為何，都可以放棄那一章，改讀其他章節。你的獲益是---我宣稱---充分了解數學主題的寬廣，以及可以比在學校學到的多出多少，對數學的廣泛用途感到訝異，還有將整個主題整合成單一、驚喜有力的一套東西的驚奇跨領域連結。所有這一切將透過解謎和玩遊戲來達成。
還有，更重要的是，藉由多動腦來完成。
永遠不要低估玩耍的力量。
史都華
2006年4月於科芬特里（Coventry）
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