用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美

前言　送給女兒的數學課

在妳出生的時候，我希望妳能夠一輩子都過著幸福快樂的生活，與此同時，也希望妳能成為一個對社會進步有貢獻的人。雖然現代社會存在許許多多的問題，不過我認為我們正好生活在人類史上最光明燦爛的時代。父母親比起任何人都更希望自己的子女能夠享受到世界上最好的東西，但是我卻覺得不只該是這樣。這個社會是由人類的知識以及努力逐漸累積形成的。所以，我們不能僅僅只是享受前人努力換來的成果，同時也要做出更好的東西，留傳到下一個世代。

21 世紀是個充滿不確定感的時代，連國際社會上的法則都逐漸改變。中國有13億人，而印度有12億的人口。如果這些人大多數都能接受高等教育，進而從事知識產業的話，世界應該會發生驚天動地的改變吧。每當說到這樣的話題，總是有人聯想到日本或是美國等先進國家的年輕人未來應該會遭受到很大的威脅，不過我卻不這麼想。如果開發中國家的幾十億人都能夠有機會接受良好教育，那麼就能夠不斷產生嶄新的創意來解決現代社會的問題了。如果全世界的教育程度都提高，能夠分配的大餅也會增加。對於出生在21世紀的妳而言，這是一個很大的挑戰，但是我認為，這同時也是前所未有的轉機。

要在這個不斷改變的世界上生存下去的必須能力是什麼呢？我認為是「自主思考的能力」。歐美教育有著博雅教育（Liberal arts）的傳統。博雅教育是從古希臘以及羅馬時代開始的，Liberal 本來意味著自由，也就是不被當成奴隸。也就是說，博雅教育是一種教養方法，希望培育出能夠透過自己的自由意志來改變命運的自由人。想要成為領導者的話，必須要鍛鍊的能力就是─面對預料之外的事情時，自己思考解決問題的能力。

在古羅馬時期，所謂的博雅教育包含了「邏輯」、「文法」、「修辭」、「音樂」、「天文」、「算術」以及「幾何」等七個科目。前三項是為了訓練能夠說出具有說服力的話語的能力。因為思考要化作語言才真正成形，為了要獲得自主思考的能力，就必須能用嚴謹的語彙述說自己的想法。

我覺得有趣的是，「算術」及「幾何」這種數學項目也被列入其中。一般都覺得，跟語言有關的文學或外文屬於文科，而數學則是理科，但是我卻覺得學數學也像是在學習另一種語言，這種語言是為了可以正確地表示事物本質而創造，這一點正是英語或是日語無法達到的。因此，如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物、思考以前不曾想過的問題。

其實，我在小學的時候也不怎麼喜歡算術，但是升上國中之後，卻漸漸地喜歡上數學這門課程。其中的轉折點在於―我終於體會到「用自己的頭腦思考的快感」，能正確地解答課本上的數學問題，找到獨一無二的答案。能夠利用自己的力量解決學校沒有教過的問題， 更能得到滿足的喜悅。而且即使不問老師，就能夠自行判斷解答到底正不正確，就好像小嬰兒剛開始學走路時，用自己的雙腳一步一步踏出去一般，在解題的過程中會得到一股新的力量，令人感覺更新更廣的世界在眼前展開。我希望也能讓妳體會到那種喜悅。

這本書會提到一些關於讓21世紀的人生更有意義的數學。當然，如果想要有系統地學習數學的話，學校的教科書是最好的教材。剛剛提到數學就像語言一般，如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。就好比到巴黎的餐廳裡用法語點餐時，想要奢侈一下點一些高級餐點而請服務生介紹今日推薦時，有能力判斷哪一項是不點會後悔、絕對不可錯過的重點。或是，就像參觀羅浮宮美術館，讓古時候的偉大藝術品豐富心靈，這本書也是這樣，在敘述實際應用的數學，同時也述說了從古巴比倫以及古希臘時代開始孕育的數學的偉大之處。

我並不是一位數學家。從1989年在東京大學取得物理學博士學位開始，五年後在加州大學柏克萊分校擔任教授，甚至是2000年調職到加州理工大學，我一直都身處物理學界。然而，到了2010 年， 數學系的老師們來邀請我，希望我也兼任數學系的教授。我覺得我沒有證明過可以在歷史上留名的定理，因此婉拒了他們的好意，然而對方卻說「對數學有貢獻的方法並不只是證明定理而已，你的研究可以提出新的數學問題，刺激數學產生新的發展」，因此我接受了這項邀請。實際上，的確有以我的名字命名的數學預測，其中有幾個預測被數學家們利用嚴謹的方法證明了。因為這樣，我不是證明定理的數學家，但是卻被認為是數學的「使用者」。這本書中所寫的，就是從一位使用者的角度看到的數學。

無法完整收錄在本書中的解說、話題或是參考文獻，我都公開在我的網頁上的附錄中。這樣的話，當數學有新的進展時，也可以立刻在網頁上更新，或是可以追加新的參考文獻。當然，即使不讀參考附錄也不會妨礙閱讀，只是如果想要知道得更深入的話，請參考http:// ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics。

那麼，就讓我們開始吧。

前言　送給女兒的數學課

在妳出生的時候，我希望妳能夠一輩子都過著幸福快樂的生活，與此同時，也希望妳能成為一個對社會進步有貢獻的人。雖然現代社會存在許許多多的問題，不過我認為我們正好生活在人類史上最光明燦爛的時代。父母親比起任何人都更希望自己的子女能夠享受到世界上最好的東西，但是我卻覺得不只該是這樣。這個社會是由人類的知識以及努力逐漸累積形成的。所以，我們不能僅僅只是享受前人努力換來的成果，同時也要做出更好的東西，留傳到下一個世代。

21 世紀是個充滿不確定感的時代，連國際社會上的法則都逐漸改變。...

導讀一本用數學寫下的經典童話

賴以威（臺師大電機系副教授、臉譜「數感書系」特約主編）

如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。
──〈前言．送給女兒的數學課〉

讀完序再翻回封面看書名，你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長，這是一本站在知識頂端的學者，低首寫給女兒的一本數學童話書。

有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……。事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。
但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上銀幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。
大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。

1900年，德國大數學家希爾伯特（D. Hilbert）在巴黎的國際數學會議上引用了一位法國老數學家的話：「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽，那麼這個數學理論就不算完成。」把一個很難的問題說得很複雜沒什麼了不起，只要照著網路上找到的資料唸就好；但想要用自己的語言，清楚地對他人解釋，那就需要對整套知識的通盤了解。

§　差一點就差很多的機率推理

大栗博司教授具備這樣的本事，他對每個經典的數學故事和背後理論有著透徹的認識，在表達闡述上也下過一番苦心（照他自己的說法是，專欄寫一遍，集結成冊時再重新大改一次）。例如第一章講到機率時的「量化可能性」。在辛普森殺妻命案中，辯護團律師有這麼一段論述：「2500位虐待妻子的丈夫之中，只有1人會因此而殺了妻子。」低到只有萬分之四的機率，因此對辛普森「既然會家暴，也可能會殺了妻子」的控訴自然不成立。
看起來相當合理，但大栗博司教授指出其中推理的重大缺陷。先看另一個事實：美國兩萬名已婚婦女中，只有1人會遭到丈夫以外的人殺害。換句話說，如果是十萬名被家暴的婦女，平均有5位會遭到丈夫以外的人殺害。但同時，因為萬分之四的機率，有40位婦女會被丈夫殺害。所以家暴殺害妻子的機率高達40/(40+5)，將近90%。
為什麼同樣的一件事從不同角度來看，機率會差這麼多？
關鍵在於辛普森妻子此刻的死活。
辯護團律師的計算過程，是建立在只遭到家暴的前提下。但擺在眼前的現實是她已經死亡，因此計算機率時，必須將妻子遭到殺害這個事件作為前提。兩者都是在計算條件機率，只是條件有所不同，大栗博司教授的考量顯然更符合當下的狀況。

僅僅是一個條件的不同（有沒有考慮到妻子已遭他殺），就讓數據大翻轉。好比原本以為只有一面是六點，打開骰盅才發現有五面都是六點。大栗博司教授透過這個例子，讓讀者感受到精算機率的威力，也更認識條件機率。

§　不接受負數的數學家

我另一個喜歡本書的原因是，書中提到一些數學發展演進的過程。如果你唯一的數學讀物是課本，那麼，儘管你知道不是這樣，但還是會常常覺得數學彷彿一開始就長得跟現在一模一樣，每一條公式、定理都是數學家們信奉的真理。
「從零減去四的話，依然是零！」
這句話很荒謬吧，聽起來就像是哪個試圖在數學課跟老師唱反調的同學會說的話。但它其實是出自於法國偉大的數學家帕斯卡（B. Pascal）之口。帕斯卡製作了全世界第一台計算機，氣壓常用單位「百帕」也是以他來命名，學校上課會提到的帕斯卡三角形，同樣是在指這位數學家（雖然這個三角形其實不是他發明的）。這麼一位天才數學家，對負數的了解真的不如一位國小學生嗎？其實不是，只是在那個時代數學知識的演進與觀念，還不足以讓數學家們接受「負」，他們覺得零就是無，不存在比無還更小的事物。

從數學史的演進裡我們可以看到，現在被視為理所當然的數學知識，在過去可能曾經被視為錯誤，是經過許多數學家們辯證、思考後才被接受，納入數學體系。
從這個角度來看，小朋友學數學時有問題是再理所當然不過了，畢竟連帕斯卡都對負數感到疑惑，我們更不應該用「公式就是這樣啊」的回答去敷衍他們，是要開心於他們有自己的思辨能力，不會只因為課本這樣寫，就決定相信。
我想大栗博司教授被女兒問到數學問題時，心裡必然也有類似的想法吧。

§ 語言乘載思考

每當腦海裡浮現一個想法時，我們會挑選適當的詞彙與句型，將想法裝入名為「語言」的容器中。但不是每次都能找到完全貼合的容器，有時候會有空隙，有時候得用力擠一下才能放進去。也因為這樣，如果長期使用同一種語言作為容器，我想會反過來影響到一個人的思考。

伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質雕塑得更加精確，更有邏輯性。

現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？

導讀一本用數學寫下的經典童話

賴以威（臺師大電機系副教授、臉譜「數感書系」特約主編）

如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。
──〈前言．送給女兒的數學課〉

讀完序再翻回封面看書名，你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長，這是一本站在知識頂端的學者，低首寫給女兒的一本數學童話書。

有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；...

導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威）
前 言 送給女兒的數學課

第一話 利用不確定的資訊來判斷
序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張
1 首先來擲骰子吧
2 不會輸的必勝法
3 條件機率以及貝氏定理
4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢
5 從經驗中學習變成從數學學習
6 重大核能事故再次發生的機率
7 O.J. 辛普森有罪嗎？

第二話 回歸基本原理
序 為了創新所需要的能力
1 加法、乘法的三項規則
2 有了減法，然後發現了「零」
3 為什麼負負得正
4 只要有分數，什麼都能分割
5 假分數→帶分數→連分數
6 利用連分數來製作曆法
7 其實不想承認的無理數
8 二次方程式的華麗歷史

第三話 天文數字也不可怕
序 世界初次的原子彈核爆實驗與費米推定
1 大氣中的二氧化碳到底增加了多少呢
1.1 人類究竟消耗了多少能量呢
1.2 人類排放出了多少二氧化碳呢
2 出現天文數字也不可怕
3 讓天文學家的壽命延長兩倍的祕密武器
4 什麼樣的儲蓄方法能讓複利效果最大化呢？
5 銀行存款要幾年才會變成兩倍呢？
6 尋找自然法則中的對數

第四話 不可思議的質數
序 純粹數學之花
1 用「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）篩法」尋找質數
2 質數有無限多個
3 質數的出現是有規律的
4 利用「巴斯卡三角形」判定質數
5 通過費馬測試就是質數？
6 守護通訊祕密的「公開金鑰密碼」是什麼？
7 「公開金鑰密碼」的鑰匙─歐拉定理
8 信用卡號碼的傳送與接收

第五話 無限世界與不完備定理
序 歡迎光臨「加州旅館」
1 「1=0.99999…」是無法認同的嗎？
2 阿基里斯追不上烏龜嗎
3 「現在，我正在說謊」
4 「不在場證明」是「反證法」
5 這就是哥德爾的不完備定理！

第六話 測量宇宙的樣貌
序 古希臘人要怎樣測量地球的大小呢
1 基本中的基本──三角形的性質
1.1 證明三角形內角和是180 度
1.2 一輩子也忘不了的「畢達哥拉斯定理」証明法
2 劃時代的想法「笛卡兒座標系」
3 6 維空間、9 維空間、甚至10 維空間
4 歐幾里德定理不成立的世界
5 僅僅只有平行線公理不成立的世界
6 不需從外面觀察就可以知道二維面形狀的「絕妙定理」
7 畫一個邊長100億光年的三角形

第七話 微積分從積分開始
序 阿基米德的信
1 為什麼「從積分開始」呢
2 說到底，面積到底要怎樣計算
3 什麼圖形都ok 的、「阿基米德逼近法」
4 積分究竟在算什麼呢
5 試著積分各式各樣的函數吧
6 飛行中的箭是靜止的嗎
7 微分是積分的逆算
8 指數函數的微分與積分

第八話 真實存在的「幻想的數」
序 幻想的朋友、幻想的數
1 不管怎樣都會出現「平方之後變成負數」
2 從一維的實數到二維的複數
3 複數的乘法是「回轉延伸」
4 利用乘法推導的「加法定理」
5 幾何問題，用方程式來解答！
6 連結三角函數與指數函數的歐拉公式

第九話 測量難度與美
序 伽羅瓦、20 年的生涯與不滅的功績
1 什麼是圖形的對稱性
2 「群」的發現
3 二次方程式「公式解」的祕密
4 三次方程式、為什麼有解
5 「方程式有解」究竟是怎樣一回事呢
6 五次方程式與正20 面體
7 伽羅瓦最後的信
8 算式的難度與形式的美
9 多擁有一種靈魂

後記

導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威）
前 言 送給女兒的數學課

第一話 利用不確定的資訊來判斷
序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張
1 首先來擲骰子吧
2 不會輸的必勝法
3 條件機率以及貝氏定理
4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢
5 從經驗中學習變成從數學學習
6 重大核能事故再次發生的機率
7 O.J. 辛普森有罪嗎？

第二話 回歸基本原理
序 為了創新所需要的能力
1 加法、乘法的三項規則
2 有了減法，然後發現了「零」
3 為什麼負負得正
4 只要有分數，什麼都能分割
5 假分數→帶分數→連分數...