數學女孩物理筆記︰波的疊加

第 1 章 波是什麼
「知道X是什麼的話，就試著思考『是X的例子』與『不是X的例子』吧。」

1.1　我的房間
我是高中生。
正當我在房間讀書表妹由梨來找我玩。
由梨「你好啊！咦？哥哥，難得看到你在讀書耶。」
由梨是國中生。
她住在我家附近，從小就常來找我玩，一直都叫我「哥哥」。
我「並不難得喔。因為我是認真的高中生啊。」
由梨「每次由梨來的時候你都在玩不是嗎？」
我「那是因為每次由梨來的時候都說：『我說哥哥啊，有沒有什麼好玩的事呢？來玩嘛！』要我和妳一起玩啊。」
由梨「先別管這個，有沒有什麼好玩的事呢？」
我「不能不管啊。因為我現在正在讀書。」
由梨「認真的高中生在讀什麼書呢喵
3
？」
由梨一邊學貓叫
3 3 3
，一邊偷看我的筆記本。
我「我在讀物理喔，這是和波動有關的計算。」
由梨「波動是什麼？」
我「波動就是波喔，像水波那樣。」
由梨「波？波是物理嗎？」
我「是啊。由梨在自然課上也有學過吧？」
由梨「有學過嗎？」
我「一定有啦。譬如聲音就是一種波。」
由梨「我知道聲音是一種波。」
我「由梨還記得 *1 sin 曲線 *2 吧。sin 曲線常用來表示波，我們之
前也有練習過相關計算吧。」
由梨「sin 曲線的計算練習⋯⋯這不是物理而是數學吧！」
我「我們可以用數學來完美表示物理現象喔。」
由梨「所以說，波到底是物理學？還是數學啊？」
我「嗯，那我們就從最基礎的地方開始說明吧。」
由梨「交給你了。」

1.2　波是什麼
我「提到波—由梨會想到什麼呢？」
由梨「海！」
聽到我的問題後，由梨立刻回答。
我「原來如此，想到海的波浪嗎？」
由梨「也想到游泳池！」
我「嗯嗯，游泳池也有波浪。」
由梨「地震也是波對吧？新聞有提過地震波。」
我「突然來了個驚人的例子呢！沒錯，地震時會搖來搖去。」
由梨「還有聲音也是波對吧。剛才也有提到。」
我「沒錯。聲音是空氣的振動。所以在沒有空氣的宇宙中，聲音無法傳遞。如果宇宙某處發生爆炸，我們聽不到爆炸的聲音喔。」
由梨「可是電影裡面的宇宙戰爭場面，聲音很大耶。」
我「妳說電影嗎？那是虛構的嘛。要是少了聲音就沒有震撼感了啊。」
由梨「這樣啊。」
我「由梨舉了很多波的例子。海的波浪、游泳池的波浪、地震波、聲波。那麼這裡給由梨出個小問題吧。波究竟是什麼呢？」
由梨「什麼意思啊？」
我「就是問妳波是什麼喔。現在我們要討論關於波的事情，那就必須先弄清楚波是什麼才行喔。」

小問題
波是什麼？

由梨「波是什麼—沒有想過這個問題耶！波就是⋯⋯波嘛。
一看就知道是波了。」
我「由梨看得到聲音嗎？」
由梨「呃，看不到喵⋯⋯那波到底是什麼啊？」
我「試著描述波的特徵吧。譬如『波會如何』之類的。」
由梨「波會晃動，譬如這樣嗎？」
我「沒錯。波都有搖動、晃動的性質。也就是說，波與振動有關。」
由梨「嗯嗯。」
我「既然與『振動』有關，就表示有某個東西在振動。」
由梨「海的話就是海水囉。」
我「沒錯。海或游泳池的水波，是水在振動。地震波是地面在振動。聲波是空氣在振動。這裡的水、地面、空氣，稱做波的介質。」
由梨「介質。」
我「除了有介質傳遞振動之外，波還有什麼特徵呢？」
由梨「沒有囉。」
我「咦？」
由梨「你看嘛，水振動就會有波不是嗎？這樣還會有其他特徵嗎？」
我「那，這個也是波嗎？」
我伸出手指上下擺動。
由梨「你在幹嘛？」
我「我在振動我的手指啊，這個是波嗎？」
由梨「這當然不是波啊！嗯⋯⋯波會傳遞到遠方！」
我「沒錯。不管是海的水波、地震波、聲波，都會將振動傳遞至遠方。這是波的重要特徵。因此，如果有人問妳波是什麼，應該要這樣回答。」

問題的答案
波是將振動傳遞至遠方的現象。

由梨「哦—⋯⋯」
我「波是傳遞振動的現象。波的介質，就是傳遞振動的物質。」
由梨「⋯⋯」
我「有時也會將振動視為一種波，不過一般提到波的時候，說的是『傳遞振動的現象』。」
由梨「等一下，哥哥。抱歉在你像老師一樣熱血教學的時候打斷你⋯⋯波會『傳遞振動』不是很理所當然嗎？」
我「是很理所當然啊。不過，確定是否清楚理解這件事也很重要喔。」
由梨「清楚理解這件事？」
我「是啊。看到『波是傳遞振動的現象』這樣的說明時，我們可以試著舉出『是波的例子』，以及『不是波的例子』，幫助我們理解什麼是波。」
由梨「聽不懂。」
我「舉例來說，沒有在振動的東西，即使有傳遞到遠方也不算
是波。」
由梨「更聽不懂了！」
我「假設由梨把球丟出去，這時傳遞出去的是球，那就不是波了。」
由梨「是這樣沒錯啦⋯⋯」
我「也就是說，振動對波來說是很重要的特徵。如果只有物質本身在移動的話，就不是波了。」
由梨「傳遞的不是物質，而是振動⋯⋯」
我「⋯⋯」
由梨「可是哥哥！海浪的水波中，水不是有在移動嗎！？」
我「這就是我說的重點。海的水波可以將振動傳遞到遠處。不過海水本身並不會移動到遠方。不是海水在移動，而是振動被傳遞到遠方，這就是波的特徵。」
由梨「原來如此！」
我「聲音也一樣喔。聲音可以傳得很遠，但聲音傳遞的其實是空氣的振動，空氣本身並沒有像風一樣移動到遠方。」
由梨「這樣啊⋯⋯」
我「想想看地震波的情況，應該就更好懂了。地震發生時，土壤與岩石並不會喀咚喀咚地移動，而是振動本身往外傳遞對吧？」
由梨「哦，對耶⋯⋯」
我「假設有個很長的跳繩，兩人各持一端，一個人振動跳繩的一端，那麼這個振動會傳遞到另一端的人手上。這也是波對吧？此時，跳繩就是波的介質。而且傳遞過去的只有振動，跳繩本身不會打到對方。」
由梨「哦—確實如此！」

第 1 章 波是什麼
「知道X是什麼的話，就試著思考『是X的例子』與『不是X的例子』吧。」

1.1　我的房間
我是高中生。
正當我在房間讀書表妹由梨來找我玩。
由梨「你好啊！咦？哥哥，難得看到你在讀書耶。」
由梨是國中生。
她住在我家附近，從小就常來找我玩，一直都叫我「哥哥」。
我「並不難得喔。因為我是認真的高中生啊。」
由梨「每次由梨來的時候你都在玩不是嗎？」
我「那是因為每次由梨來的時候都說：『我說哥哥啊，有沒有什麼好玩的事呢？來玩嘛！』要我和妳一起玩啊。」
由梨「先別管這個，有沒有什麼好玩的事呢？...

我獨自站在海邊，聆聽遠方的浪聲。
你一個人站在海邊，聆聽遠方的浪聲。
波浪此起彼落，此落彼起。
驀然回首，才發現原來自己不是一個人。
對了，讓我與你一起歌唱吧。
歌聲此起彼落，此落彼起。
我們的歌聲，能抵達天涯海角。
我們的歌聲，會持續到海枯石爛。

我獨自站在海邊，聆聽遠方的浪聲。
你一個人站在海邊，聆聽遠方的浪聲。
波浪此起彼落，此落彼起。
驀然回首，才發現原來自己不是一個人。
對了，讓我與你一起歌唱吧。
歌聲此起彼落，此落彼起。
我們的歌聲，能抵達天涯海角。
我們的歌聲，會持續到海枯石爛。

前言
序章
第1章波是什麼
1.1我的房間
1.2波是什麼
1.3波的描繪
1.4波長與週期
1.5波的前進速度
1.6過去與未來
第1章的問題

第2章以數學式及圖形表示波
2.1三角函數sin
2.2度與弧度（rad）
2.3y=sinθ的圖形
2.4y=sin2θ的圖形
2.5y=sin3θ的圖形
2.6y=2sinθ的圖形
2.7以數學式表示波
2.8以A表示振幅
2.9以λ表示波長
2.10以T表示週期
2.11y=sinx+sinx的圖形
2.12y=sinx+sin2x的圖形
2.13由梨的猜想
2.14y=sinx+sin3x的圖形
2.15三個波的疊加
第2章的問題

第3章波的重疊
3.1蒂蒂
3.2橫波
3.3縱波
3.4物體與波的差異
3.5觀測疊加的波
3.6以計算確認猜想
3.7推導和差化積公式
3.8以數學式表示波的疊加
3.9米爾迦
3.10駐波
3.11頻率f與週期T
3.12角頻率ω
3.13等速率圓周運動、簡諧運動、正弦波
3.14將各種波視為同一種現象
第3章的問題

第4章光的探究
4.1聲波的都卜勒效應
4.2光波的都卜勒效應
4.3光是什麼
4.4十七世紀，牛頓與惠更斯
4.5光的相撞
4.6光可形成影子
4.7光可改變方向
4.8光傳遞的東西
4.9光與色
4.10十九世紀，楊格
4.11二十世紀，愛因斯坦
4.12分解與合成
第4章的問題

第5章傅立葉展開
5.1圖書室
5.2積分的處理
5.3推導積化和差公式
5.4蒂蒂的失誤
5.5定積分與面積
5.6米爾迦
5.7傅立葉展開是什麼
5.8傅立葉展開的簡單範例
5.9傅立葉展開與數列
5.10延續下去的話⋯⋯
5.11求出傅立葉係數
5.12迷你版傅立葉展開
5.13傅立葉展開的意義
第5章的問題

尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
參考文獻與建議閱讀
索引

前言
序章
第1章波是什麼
1.1我的房間
1.2波是什麼
1.3波的描繪
1.4波長與週期
1.5波的前進速度
1.6過去與未來
第1章的問題

第2章以數學式及圖形表示波
2.1三角函數sin
2.2度與弧度（rad）
2.3y=sinθ的圖形
2.4y=sin2θ的圖形
2.5y=sin3θ的圖形
2.6y=2sinθ的圖形
2.7以數學式表示波
2.8以A表示振幅
2.9以λ表示波長
2.10以T表示週期
2.11y=sinx+sinx的圖形
2.12y=sinx+sin2x的圖形
2.13由梨的猜想
2.14y=sinx+sin3x的圖形
2.15三個波的疊加
第2章的問題

第3章波的重疊
3.1蒂蒂
3.2橫波
3.3縱波
3.4...