數學女孩秘密筆記︰圖形的證明

1.16　怎樣命名比較好
我：「剛才我們為三角形、頂點、邊取了名字。為什麼要取名呢？因為這樣才能清楚指出討論的對象。為了清楚指出討論的對象，『名字越簡潔越好』。」

由梨：「嗯—這不是理所當然嗎？」

我：「很理所當然沒錯，卻也很重要。討論數學時會提到很多項目，像是頂點、邊、角、三角形……等等。一個不小心，就會弄混到底是哪個東西和哪個東西又怎麼了。要是討論內容模糊不清，說明也會變得亂七八糟，讓人困擾對吧？」

由梨：「很困擾。」

野奈：「是的…OO」

兩位少女同時點了點頭。

我：「若是討論變得亂七八糟，就很難研究數學了，所以我們要為討論的對象取名。取名是為了清楚指出在討論哪個對象。」

野奈：「…OO」

我：「三角形ABC 或邊AB 這種名字到底好不好呢？我們可以由是否能正確指出該對象看出。」

由梨：「哦哦—」

我：「如果名字讓人覺得『哦，是指這東西啊』簡潔明瞭，就是個好名字。但如果讓人覺得『所以到底是在講哪個東西啊』，就是個爛名字。」

野奈：「不是老師…！！」

野奈突然喊出聲，於是我們看向她。

我：「咦？」

由梨：「野奈，怎麼了嗎？」

野奈：「不是老師……是原因嗎…？？」

野奈認真地看著我。

「不是老師是原因」是什麼意思呢？
野奈想說明自己的想法，但似乎還不習慣的樣子，所以聽她說話的我們常須自行想像她想表達什麼。
不過這次的難度太高，連我也無法解讀。

我：「抱歉，野奈，可以說得詳細一點嗎？」

我盡可能溫柔地詢問野奈。

野奈：「不是因為老師這麼說……而是有其他原因嗎…？？」

我：「沒錯！就是這樣，野奈！所有規則都不是『因為老師這麼說』，而是因為『有特定原因』喔。所以重要的是思考『為什麼會這樣？』的原因。用三角形ABC 這樣的稱呼，可以明確指出是哪個三角形。明確指出是哪個三角形之後，討論時就不會混亂。因為這些原因，所以才會稱呼它是三角形ABC。」

由梨：「有時候會寫成△ABC 吧，為什麼呢？」

我：「由梨覺得是為什麼呢？」

由梨：「因為比寫『三角形』還要簡單吧，寫字太麻煩了。」

我：「是啊。這樣可以清楚表示討論的對象，又可以很快寫出來。所以△符號也是很好的表示方式。」

由梨：「這樣的話，由梨也可以發明其他的表示方式嗎？」

我：「當然可以，只要是簡潔明瞭的表示方式都很棒。不過，不能是只有由梨才看得懂的寫法喔。」

由梨：「這樣啊。」

我：「畢竟語言是與他人互動時的工具，所以還有個重要的原因是『因為大部分的人都這麼寫，所以我也要跟著這麼寫』。」

野奈頻頻點頭，贊同我和由梨的對話。
她的反應很好。但數學討論還是沒有進展。
• 首先說明三角形、邊、角的名稱，
• 然後說明兩個三角形全等時，哪些性質會成立，
• 接著說明兩個三角形在哪些情況下會全等。
我原本想依照這樣的順序來說明三角形的全等條件。如果步調一直那麼慢，要什麼時候才會講到圖形的證明呢？
但是。
但是，或許我的擔憂根本無關緊要。
比起這些，我傳達了更重要的東西，一定是這樣。

我：「要描述兩個三角形全等時，最好把每個頂點照順序寫出來，這樣『閱讀者』才能明白各頂點如何對應。」

野奈：「是……是誰呢…？？」

我：「妳問『閱讀者』是誰嗎？就是閱讀野奈書寫內容的人喔。如果是考試，那麼評分的老師就是『閱讀者』。如果野奈在教室的黑板上書寫，那麼全班同學都是『閱讀者』。」

野奈：「…OO」

我：「書寫的時候，必須把野奈心中想的事，清楚、明白地傳達給『閱讀者』才行。」

野奈：「野奈嗎…？？」

我：「是啊，書寫的人是野奈。不管是回答問題時寫下的文字，想到有趣事物時寫下的文字，還是發現新事物時寫下的文字，都是想透過寫下來的文字傳遞訊息給他人。語言與文字就是為了傳遞訊息而存在，數學也一樣。」

野奈：「書寫的人是野奈…OO」

1.16　怎樣命名比較好
我：「剛才我們為三角形、頂點、邊取了名字。為什麼要取名呢？因為這樣才能清楚指出討論的對象。為了清楚指出討論的對象，『名字越簡潔越好』。」

由梨：「嗯—這不是理所當然嗎？」

我：「很理所當然沒錯，卻也很重要。討論數學時會提到很多項目，像是頂點、邊、角、三角形……等等。一個不小心，就會弄混到底是哪個東西和哪個東西又怎麼了。要是討論內容模糊不清，說明也會變得亂七八糟，讓人困擾對吧？」

由梨：「很困擾。」

野奈：「是的…OO」

兩位少女同時點了點頭。

我：「若是討論變得亂...

完全不懂為什麼要寫下證明。
顯而易見的事，
為什麼還要一一寫出來呢？
還是不懂為什麼要寫下證明。
一眼就看穿的事，
為什麼非得化為言語才行呢？
真的不懂為什麼要寫下證明。
大家都知道的事，
為什麼還要一一說明呢？
我真的懂嗎？要是真的懂就好了呢。
我證明的原因。
向你證明的原因。

完全不懂為什麼要寫下證明。
顯而易見的事，
為什麼還要一一寫出來呢？
還是不懂為什麼要寫下證明。
一眼就看穿的事，
為什麼非得化為言語才行呢？
真的不懂為什麼要寫下證明。
大家都知道的事，
為什麼還要一一說明呢？
我真的懂嗎？要是真的懂就好了呢。
我證明的原因。
向你證明的原因。

前言iii
序章ix
第1 章 重疊的三角形
1.1 由梨與野奈
1.2 三角形的全等
1.3 實例①
1.4 實例②
1.5 全等的定義
1.6 實例③
1.7 詢問理由
1.8 確認是否全等
1.9 也可以翻面
1.10 為頂點命名
1.11 為三角形命名
1.12 為邊命名
1.13 為角命名
1.14 兩個全等的三角形
1.15 練習題
1.16 怎樣命名比較好
●第1 章的問題

第2 章 三角形的全等條件
2.1 兩個全等的三角形
2.2 邊的對應
2.3 邊的長度
2.4 角的對應
2.5 角的大小
2.6 野奈的疑問
2.7 三角形的全等條件
2.8 三角形的全等條件①三邊相等
2.9 「野奈老師」的回答
2.10 由梨的疑問
2.11 三角形的全等條件②兩邊與夾角相等
2.12 三角形的全等條件③兩角與夾邊相等
●第2 章的問題

第3 章 讀懂證明
3.1 證明兩個角相等
3.2 假設與結論
3.3 要寫出多少證明才行呢
3.4 證明等腰三角形的兩底角相等
3.5 等腰三角形的定義
3.6 底角的定義
3.7 回到證明問題
3.8 假設與結論
3.9 尋找證明的方法
●第3 章的問題

第4 章 寫出證明
4.1 在餐桌
4.2 等腰三角形的底角相等
4.3 若底角相等便是等腰三角形
4.4 野奈老師
4.5 野奈的證明
4.6 由梨的證明
4.7 正三角形
4.8 正三角形為等腰三角形
4.9 三角形的包含關係
4.10 正三角形的三個角彼此相等
4.11 野奈的證明
4.12 由梨的證明
●第4 章的問題

第5 章 尋求原因的對話
5.1 三角形的內角
5.2 由梨的證明
5.3 一項項確認
5.4 輔助線
5.5 要記哪些事，又該如何記憶
5.6 我們的證明
5.7 三角形的外角
5.8 記憶中的問題
5.9 另解
5.10 歐幾里得的《幾何原本》
●第5 章的問題

尾聲
解答
給想多思考一點的你
後記
參考文獻與建議閱讀
索引

前言iii
序章ix
第1 章 重疊的三角形
1.1 由梨與野奈
1.2 三角形的全等
1.3 實例①
1.4 實例②
1.5 全等的定義
1.6 實例③
1.7 詢問理由
1.8 確認是否全等
1.9 也可以翻面
1.10 為頂點命名
1.11 為三角形命名
1.12 為邊命名
1.13 為角命名
1.14 兩個全等的三角形
1.15 練習題
1.16 怎樣命名比較好
●第1 章的問題

第2 章 三角形的全等條件
2.1 兩個全等的三角形
2.2 邊的對應
2.3 邊的長度
2.4 角的對應
2.5 角的大小
2.6 野奈的疑問
2.7 三角形的全等條件
2.8 三角形的全等條件①三邊相等
2.9 「野奈老師...