白話泛函分析入門：數學推理入門

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一些人在大學念微積分的時候，看到書上說閉區間是一個緊緻集，此刻已接觸到這個名詞；少數人念研究所時，可能會涉及到小波理論，理論中亦會提到緊緻集，此刻可能又接觸到這個名詞。對於學工程的人來說，大部分人看到這個名詞就忽略過去。 但事實上，在泛函理論對緊緻集有相當嚴謹的描述，同時在泛函理論中，也可以看到純粹數學的表達方式。一般學工程的學生，看到了微積分中的數學符號，就有隔靴搔癢的感覺，畢竟那是非常不孰悉且數學味道重的數學符號。本書嘗試用比較通俗的文字去描述泛函，讓學工程的學生更能接受泛函的思維。在學到泛函的初步思維之後，或許對類似或常見的數學符號就不會再那麼陌生，進而不會再畏懼它們了。由於本書將讀者設定在有修過應用微積分的學生，針對微積分中的數學符號、一般連續、一致連續(本書稱作一致性連續)會再作說明。也針對若P則Q等價於若非Q則非P的邏輯會再作說明。在本書中，可數與不可數的觀念(康托的對角線證明法)、勒貝格積分、拓撲空間觀念也會提到，最後一章為最佳控制的簡介(裡面要用到泛函變分的觀念)。希望這些說明會對大家有所幫助。書中若有不足的地方，還請讀者諒解，也真誠地希望大家提供批評與指教。

全體作者
2022年12月於台灣台中

一些人在大學念微積分的時候，看到書上說閉區間是一個緊緻集，此刻已接觸到這個名詞；少數人念研究所時，可能會涉及到小波理論，理論中亦會提到緊緻集，此刻可能又接觸到這個名詞。對於學工程的人來說，大部分人看到這個名詞就忽略過去。 但事實上，在泛函理論對緊緻集有相當嚴謹的描述，同時在泛函理論中，也可以看到純粹數學的表達方式。一般學工程的學生，看到了微積分中的數學符號，就有隔靴搔癢的感覺，畢竟那是非常不孰悉且數學味道重的數學符號。本書嘗試用比較通俗的文字去描述泛函，讓學工程的學生更能接受泛函的思維。在學到泛函...

前言

第一章 距離空間
1.1 距離空間的定義與舉例
1.2 距離空間的拓撲性質
1.3 距離空間的極限與連續
1.4 距離空間的可分開性(可分離性)
1.5 距離空間的完整性(或稱完備性)
1.6 距離空間的緊集與准緊集
1.7 距離空間內的完全有界集
1.8 距離空間中的開覆蓋
1.9 巴拿赫(Banach)不動點定理
第二章 賦範線性空間與內積空間
2.1 賦範線性空間與巴拿赫空間的定義與性質
2.2 賦範線性空間的子集與商空間
2.3 賦範線性空間的同構與範數等價
2.4 有限維與無限維賦範線性空間的緊性(非膨脹性)
2.5 內積空間的定義
2.6 內積空間的基本空間性質
2.7 內積空間的正交分解
2.8 內積空間的正交系
2.9 傅立葉級數及其收斂性
2.10 Hilbert空間的同構
第三章 線性算子
3.1 線性算子的定義及基本性質
3.2 線性算子的零像空間(Null Space)
3.3 有界線性算子空間
3.4 共伴空間與Riesz表示定理
3.5 算子乘法與逆算子
3.6 Baire綱集定理
3.7 開映射定理與逆算子定理
3.8 線性泛函的延拓定理
3.9閉圖像定理
3.10 一致有界定理(又稱共鳴定理)
3.11 點列的弱極限
3.12 算子列的極限
3.13 共伴算子(Conjugate Operator)與線性緊算子(Compact Operator)
第四章 對泛函取變分以求最佳控制(Optimal Control)
4.1 泛函與變分法的基本概念
4.2 歐拉方程
4.3 端點可變下的橫跨條件(Ttransversality Condition)
4.4 含有多個未知函數的泛函極值
4.5 帶有控制律(Control Law)以變分方法(變動微積分方法)求解最佳控制

參考書目

前言

第一章 距離空間
1.1 距離空間的定義與舉例
1.2 距離空間的拓撲性質
1.3 距離空間的極限與連續
1.4 距離空間的可分開性(可分離性)
1.5 距離空間的完整性(或稱完備性)
1.6 距離空間的緊集與准緊集
1.7 距離空間內的完全有界集
1.8 距離空間中的開覆蓋
1.9 巴拿赫(Banach)不動點定理
第二章 賦範線性空間與內積空間
2.1 賦範線性空間與巴拿赫空間的定義與性質
2.2 賦範線性空間的子集與商空間
2.3 賦範線性空間的同構與範數等價
2.4 有限維與無限維賦範線性空間的緊性(非膨脹性)
2.5 內積空間的定義
2.6 內積空間的...