主動思考：貼近數學的心跳

序   林福來
目錄
為主動思考設計：啟發

理論篇
第一章、主動思考
第二章、臆測促進思考

案例篇
第三章、從學生學習經驗出發(一)：學生迷思
廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉
第四章、從學生學習經驗出發(二)：數學教材
吳如皓老師設計的〈寫出程度〉
第五章、從教學資源出發(一)：數學魔術
以林壽福、吳如皓及廖惠儀等三位老師設計的〈混水摸幣〉
第六章、從教學資源出發(二)：數學考題
黃麗紅老師設計〈等差級數〉和〈等幾何猜想〉
第七章、從數學事實出發(一)：數學事實
莊國彰老師設計〈三角形邊長不等關係〉
第八章、從數學事實出發(二)：數學事實
吳如皓老師所設計的〈無窮等比級數〉
第九章、從數學事實出發(三)：數學公式
以林壽福、莊國彰和吳如皓三位老師相繼設計〈數學公式〉

序

主動思考：貼近數學的心跳

　　〈開而弗達則思〉
 
　　先秦《禮記‧學記》論述一位好老師，教學有三要三不要的原則。

　　君子之教喻也，道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。
　　道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思；和易以思，可謂善喻矣。
 
　　教學的三要原則就是道-引導、強-鼓勵、開-啟發；教學的三不要是不要牽、不要抑、不要達。三要三不要的教學，讓學習過程能有互動唱合、學習容易且主動思考，因而能經驗和易以思的學習歷程，這樣的教學就很容易讓學生瞭解。

　　利用道、強、開；牽、抑、達當作六個教學構念，我們訪談一群資深績優數學教師的教學觀，他們的共同論述是，在現實的教學脈絡下，他們認同教學要引導、鼓勵、啟發；但不敢不牽、不抑，否則怕教材「教不完」；也不敢不達，因為不把問題詳解傳授，總覺得「不放心」。教不完及不放心的負面教學想法，主導他們的教學。
 
　　這樣的教學現況下，我國學生在國際數理教育評比(TIMSS)歷屆的表現都很一致，就是「平均成就高」、「學習興趣與信心低」、「學習表現兩極化」。以考試為目標的被動式學習，是我國學生整體表現所以如此的有力註解。
 
　　〈主動思考的學習〉
 
　　在2009年一群資深數學教師，包括數學領域中央輔導團及臺北市與新北市數學科輔導團團員一起來找我為他們規畫教師成長工作坊。我開始針對當下數學教學與學習的特性及利弊現象，思考工作坊的目標，訂下教學就是要啟動學生主動思考，做為教師的教學成長指標。另外，我們提出"學生是學習者，教師是學習者，師培者也是學習者"的工作坊學習理念。既然學生、教師、師培者一起定位為學習者，而促進學生主動思考是教師的成長任務，教師自身也必須「主動思考」，想一想如何啟動學生主動思考的教學策略；類推到師培者，師培者當然也要主動思考，在經營教師專業成長工作坊時，怎麼樣的輔導策略能道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。

　　〈臆測即主動思考〉
 
　　怎麼樣的數學教學能帶動學生主動參與且主動思考?
 
　　文獻上，數學遊戲、探究跟臆測活動都能啟動學生主動參與主動思考。進一步普查數學的學習內涵；不論概念了解、程序運作、問題解決以及數學論證，都有實例可以辯證數學臆測確能融入各不同內涵的學習活動。數學學習不外乎上述四種學習內涵，如果以臆測活動為主要教學進路，那麼學生學習數學時，主動思考的習性就最容易養成。學生參與數學臆測活動時，將一再經驗「造例子―檢驗」的過程，造正例，舉非例或舉反例是臆測活動的主軸。觀察正例，察覺共同的屬性，經過非例、反例的檢驗後，即可做出自己的臆測：形成一個數學命題。自我取信自己的臆測後，進一步能取信於同儕，在數學教室內就可留下自己臆測的命題，留待自己、教師、專家論證它。
 
　　參與臆測活動，學生的思考自由發揮，形成的命題往往不是一般教科書所敘述的。或許它不是偉大的作品，也不一定比課本的敘述更強而有用，但學習的現象是學生自己親身參與發現數學命題的感動。因而中小學生的數學材料不再只是一成不變前人所累積的死知識，而是處處有活水，是活的材料。

　　〈設計臆測活動工作單〉
 
　　學生進行工作單所任務的處理，主動參與學習很容易達成。如果工作單又是數學臆測活動為基調，學生主動思考就在其中。
 
　　教師進行臆測活動工作單設計，可分兩階段，第一階段是沒有學生在面前的乾想設計，第二階段是將乾想設計的工作單依序讓一些學生實作，進行修訂。實作學生人數，可能只有一位、一小組或一班，可依序進行。在起始的乾想階段，當老師設定一數學主題後，最棘手的困境是「設計的原始材料在哪裡?」

　　〈從最熟知的出發〉

　　設計的原始材料當然要是每位教師都唾手可得，設計的工作才能可長可久，臆測的教學進路才有推動的意義。

　　教師，最豐富的知識有幾項，一是所教的教材，教科書內敘述的數學概念、數學事實、數學定理等。另外，就是坊間的補充教材，像考題、參考書等。還有一樣資深教師，人人琅琅上口或埋在心裡的就是關於學生的學習迷思。教過幾個班，甚至教過幾輪後，學生在每個單元會出現哪些迷思，資深教師可謂瞭若指掌，可以如數家珍。

　　既然教師熟悉又豐富的原始材料是數學內容、考題，以及學生迷思，我們就選擇一些設計案例，分別是從學生迷思出發、從教材出發、從考題出發、從事實出發等分章報告，看教師們設計過程中是如何主動思考、反思實作，完成一份能促進學生主動思考的數學臆測工作單的學習歷程。

　　〈數學亮點基地學校的前身〉
 
　　本書摘錄幾份教師研發數學工作單的成長歷程的故事，承載故事的是一個近三年的數學教師專業成長工作坊之運作。本書是此工作坊的成果之一。該工作坊最重要的成果還在於它提供了教師專業成長工作坊的課程設計模式，包括教師專業成長的目標設定、工作坊的學習內容與學習方式，以及在脈絡上教師參與工作坊必要的主動性等。

　　臺灣自2012年度起，教育部的數學領域中央輔導團工作規劃，突破傳統由上而下的輔導模式，即央團輔導地方團，地方團輔導在地學校。由上逐級而下單次輔導的模式其實作缺失是學校教師對外來輔導介入，往往無感。2012年起，改進的方案就是「數學亮點基地計畫」：教育理念是學生、教師、師培者都是學習者；主動思考是學習過程的核心；以學校為單位主動申請執行亮點基地計畫，並根據各校教師的教學主題需求，央團配置專家師培師到校全學期約五次的輔導。從2012年至2015年，參與的亮點基地學校，重複參加照算，三年來將超過500，各地方輔導團多數也分年參與。有90%以上的臺灣數學教育學者，以及許多專家教師參與輔導。

　　承載本書內容的三年工作坊，及其發展出的經營教師成長工作坊之運作方法，就成為推展數學亮點基地工作坊的基礎，也就是數學亮點基地計畫的前身。

　　〈教師主動思考學習的小故事〉

　　《主動思考：貼近數學的心跳》這本書是根據一群數學教師主動思考，學習設計教學工作單，以促進學生主動學習之反思實作紀錄編寫而成。每章刻畫的是一段一段教師的教學成長的小故事。本書的內容，最重要的貢獻者，當然是參與工作坊的資深教師的反思報告。這些報告，經過一組數學教育學者充分討論，這些學者都是每次工作坊的參與觀察者或參與課後評論者；再責成參與觀察的成員負責編寫一篇一篇的小故事，最後依照教師設計工作單時的起始材料分章編輯成書。這是一本關於數學教師的專業成長小故事，期許可以讓大家感覺臺灣數學教育真的可以更美好的一絲希望。