主動思考：貼近數學的心跳

工作單設計案例

從迷思出發

在數學教學中，常見學生有各種迷思，如「和用加法、差用減法」的關鍵字迷思、「乘會變大、除會變小」的運算迷思、「以加法解比例問題」的策略迷思、「零點九九循環小於1」的動態無限迷思、「3的倍數加6的倍數為9的倍數」的推理迷思，以及「和的平方等於平方的和」的交換迷思等等，皆是學生在學習過程中，可能產生疑惑或困難，然而，這些迷思可用來設計成，促進學生思考的工作單嗎？若可以，該如何進行？學生學習表現會有何不同？教師本身有何改變？這節將以廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉為案例進行說明。

一、見證成長的美麗足跡

1. 「 等於1嗎？」

在廖老師的教學經驗中，七、八年級學生在學習「數與運算」或「無理數」單元時，會提出「 等於1嗎？」的問題，無論學生向老師提問的原始想法為何，但正因是學生主動提出的疑惑，故可作為主動思考的第一步，她說：「學生主動提出一個數學的問題，真正令感到他們感到「好奇、有趣」，這不正是學生主動思考絕佳的第一步嗎？」學生對此問題感到好奇、有趣，同時，數學教師亦對於如何處理此問題，感到困難，她說：「曾有教師在休息時間向教授提問，「當學生問到會不會等於1的問題時，該如何解釋？」此時，許多原本正在休息的數學教師們，紛紛望向提問者與教授。可見，這不只是個令學生感興趣的問題，亦是個令教師感到不易回答的問題。」針對這同時吸引學生與教師的問題，要如何設計出可提供教師參考的教案，並促成教師自身的成長，成了廖老師的目標，她說：「基於上述兩個理由，研究者在此次工作坊中，不自量力地以「 與1」為研究題目。期盼在教授與伙伴們的協助與砥礪中，能提出一個可供教師參考的教案，更是見證自己成長的一道美麗的足跡」。

2. 「 不等於1！」

廖老師為瞭解曾在高中學過用無窮等比級數推論「 =1」的人，是否仍保有此印象，於是找了三位高中已畢業多年的人進行訪談，而他們皆認為 不等於1。其中一位是大學已畢業多年，且修習社會科系(國中社會科輔導團老師)的A先生，他認為 不等於1，因 表徵著永遠的可能和努力空間，不論數學家如何想，他有自身情感上的思考。以下是廖老師(T)訪談A先生的摘錄內容：

T：帥哥，你覺得0.9 ̅會等於1嗎？

A：不會耶，我會說趨近於1。

T：所以你覺得不會「等於」？

A：不會啊，這種感覺就如我常說的名言，完美並不美。

T：太深奧了，願聞其詳。

A：沒有所謂的完美，若完美就失去了再努力與改變的可能。1若表徵為完美，0.9的循環就是永遠的可能與努力的空間。

T：那如果我宣告0.9 ̅會等於1，你會覺得是錯的囉？

A：數學有你的專業考量，人文則有我情感上的思考。

T：你的意思是說，儘管你可能認同我的推論，但情感上，你會覺得兩個不相等？

A：畢竟數學不是我的專業，妳是數學知識，我是數學意識，知識是絕對客觀，意識是人的揣摩。

另一位則是在學的大學生，修習理工科系的B先生，他雖記得高中數學曾經證明過 等於1，但他還是直覺地認為 不等於1，可說 近似於1，但從工程觀點來看，若在誤差的容許範圍內，可將 看成相等於1。以下是廖老師(T)訪談B先生的摘錄內容：

T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？

B：不會。

T：是喔，為什麼？

B：直覺，以前好像算過。但若仔細一想，應會等於1。

T：為何你又覺得它們會等於呢？

B：一直0.9999999999999999999999....... 好像可以證明耶，可是忘記怎麼證明了，高中數學。

T：你是有「印象」覺得應會相等？

B： 一開始不等於1，是因覺得就算還有一點點的差，它還是有差。

T：那後來為什麼你又覺得會相等了？

B：因為覺得那一點點的差，對於工程上面似乎可忽略，故覺得可近似於1。

T：可是近似於跟相等好像還是不一樣耶……

B：但覺得可直接當作1來看，雖近似於跟相等不同。工程人久了，有些觀念會制式化，太正規，應該說太隨便，只要能用就好。安全係數不要太小就好，不會造成危險，管他那麼多。

第三位則是在學的研究生，修習理工科系的C先生，他認為 不等於1，但在不同的「精確度」要求下， 可以等於1，例如精確位數為個位，小數以下第一位四捨五入後就都是1。即使廖老師追問兩者若不同，那兩數的差值應該是多少時，他以物理所定義的最小單位原子來說明，差值為最小正數，並以「 」來表示。以下是廖老師(T)訪談C先生的摘錄內容：

T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？

C：看精確度啊，若精確度只有小數點0位數，管他點多少都是1。

T：那不理會精確度，純粹就思維來說的話？

C：不是理工的應該都會說不相等吧

T：怎麼說？

C：寫程式0和1沒弄清楚會出人命的，特別是醫院診療和醫療影像軟體。

T：可是是 ，可不是 0 喔...

C：我知道啊，所以說要看精確度。若只是一公尺的距離，角度差個0.00001度不會有差別。但萬一是太空探險，距離有一光年那怎麼辦呢。

T：那如果精確度是無限大，你覺得會一樣嗎？

C：還是不一樣啊！

T：怎麼說？

C：之前寫程式遇到一個很有趣的問題， ，因記憶體大小有限，所以並不是循環小數。大概是0.333333333× 3換變成0.99999999這樣。話說在數學裡面為什麼會相等？

T：因為若不相等的話，那他們相減應會得到一個數，對嗎？

C：嗯嗯。

T：可是他們相減能得到什麼呢？

C：這太好玩了！請問強子對撞機讓兩個原子相撞，有撞出什麼更小的粒子嗎？再問若真的找到基本粒子，這樣上帝是真的存在嗎？全是觀點問題啦！

T：經過剛剛的討論，你會相信 ＝1嗎？

C：不會。因為相減還不等於 0，是等於 。

3. 「 =1，但…」

廖老師亦訪談了一些國中數學教師，對此問題的處理方式，他們大多以代數方式處理：「令 ，則 ，兩式相減可得 ，因此 ，即 」。如訪談的某位國中數學教師說：「用代數方法證明吧！至於在無限的範疇中可以這樣用嗎？我現在只能用國中生的想法思考。」另一位被訪談的國中數學教師表示，代數方法雖被認為不恰當，但他也只記得此方法，他說：「印象中有聽過教授說，這樣做（代數方法）好像是不對的，可是我只記得這個方法。對於無限循環小數可化為分數，我通常都帶過去。」。

在高中數學課程中，是將循環小數看成是收斂的無窮等比級數，因此「 =1」的論述便以此為基礎，也就是「 」表示無窮等比級數「 」，因此，預先假設極限必收斂後，才進行運算的代數處理方式，被看成是錯的，例如廖老師班上某位學生家長，恰為高中數學教師，這位數學老師(家長)認為上面描述的代數方式，是一種「誤解」，而正確的解法應該如下：















廖老師還引用數學教授單維彰(2008)，發表在科學月刊的「無窮循環小數」一文，調合國中數學教師與高中數學教師，對此問題的教學觀點。單教授認為對於沒有無窮等比級數基礎的學生，教導使用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數，不能說是誤導或錯的，雖此方法只簡略說明，並無告知學生全部事實，未來學習只需增加概念而毋須修改，他說：「許多教師知道如何用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數。以 為例，令x＝ ，則10x＝3＋x，所以9x=3，所以x＝ ，也就是 ＝ 。有些教師則擔心，這種教法會誤導學生而不敢使用。其實毋須多慮，此教法並無說謊亦非誤導，只是略過一個技術性細節而已：先證明循環小數必然收斂，前述作法是正確的。而我們知道循環小數沒有不收斂的，故暫時不告訴學生全部事實，並無誤導：學生將來只須增加觀念，不須修改觀念。」，單教授並以孩子常問媽媽「我是從哪裡來的？」的問題為譬喻，說明誤導和簡略說明的差異，他說：「媽媽若回答『一隻鳥把妳叼到家門口，我把妳撿進來的』就是誤導（對大部分的家庭而言）；但媽媽若回答『天使把妳放進我的肚子裡，我辛苦把妳懷到夠大後才生出來』並不算說謊，只是隱瞞了一點技術性的細節而已」。

4. 你可以再靠近一點！

廖老師經由質性訪談，與文獻資料整理後，針對國中生設計三個子活動，活動一是提問兩數差值，意圖製造認知衝突，並促進思考，她說：「我保留問話的方式，『若不相等的話，他們相減會是多少？』通常此時，他們(學生)會產生認知衝突，並開始思考問題的答案為何？」活動二則是利用時數的稠密性，意圖再製造認知衝突並促成思考，她說：「若你覺得這兩個數不相等的話，那0.9循環會在這裡，那1會在這邊，可是什麼數介於0.9循環到1的中間呢？之後讓他思考這個問題。」活動三則是引導學生利用代數計算，得出兩數相等的結果，雖然廖老師安排此活動，但她不認為此活動對學生學習會有幫助，她說：「這個代數式是個無用的式子，因你跟他講後，他會出現『你在變魔術』的感覺，他會認為你只是用個式子在騙他，因而我覺得此式子對於他的學習，就是0.9循環會等於1，這個感覺完全無任何幫助。」這份工作單設計最主要用意，並非要學生接受或記住「 =1」，而是讓學生能留下思考方法，她說：「我覺得此題目值得做，是因就算最後你不能夠讓他相信說這兩個數會相等，但當你留下一些方法在他心裡面的話，我覺得這還是有意義的。」，其工作單設計如下表XX。

表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(初版)

內容

《活動1：比大小》

1. 你認為 （0.9999999………）和1相等嗎？

2. 如果你覺得 和1不相等，那麼你認為它們相減會得到多少呢？

《活動2：數線上的密室》

3. 在數線上，每兩個點（兩個數）之間，還會有點（數）嗎？為什麼你這麼說呢？

4. 想想看， （0.9999999………）和1之間有點（數）嗎？若有的話，是什麼數呢？

《活動3：友誼的橋樑》

5. 令 x＝0.9999999……＝

10x＝

兩個式子相減，

可得，9x＝

x＝

所以可得到：



編者註解：

1. 學習活動一是讓學生提出直觀的「 」，並藉由兩數差值的提問，意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。

2. 學習活動二則是延續學習活動一，藉由兩數之間是否有其他數的提問，也意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。

3. 學習活動三則是以國中小生，可以理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓學生相信「 」。



5. 選擇「克制直觀」策略

廖老師在工作坊的報告，初版工作單設計想法中，提出此份工作單試驗後的結果。廖老師指出，即使她與試驗學生就工作單問題相互討論，學生仍認為0.9循環和1不相等，她說：「學生的評論：(1)不管0.999......後面的…有幾個9，零點多一定比1小；(2)代數方法感覺像在變魔術，像騙人的。」因此，報告過程中特別拋出教學問題：「如何突破學生認為0.9循環不是1的感覺？」獲得相當多回響，特別是工作坊的授課教授，從無限的過程與結果面向，亦從思維的直觀與解析的面向，分析學生對「0.9循環」的認知，並提出可改變直觀的兩種方式：(1)認知衝突；(2)和專家直觀，以及可行的改變策略，而廖老師將這些評論意見整理如下：

(1) 數學符號可表徵「過程」或「結果」。看到 ，人的反應是一個持續動態的「加」的「過程」0.9＋0.09＋0.009＋……，而1是靜態的「結果」。

(2) 是否也是演算的結果？是，但不是直接演算。 ，換句話說， 與 直接心算，可帶上等號。 是 ，則差一步，不易直接察覺。

(3) 認知上， 小於1是「直觀」（intuition）。理論上，直觀具有立即性、確定性、持久性，因此， 小於1是「不易改變」的直觀。

(4) 改變不當「直觀」，有兩種可能：

A. 立即性的，製造認知衝突，讓「直觀者」感受自己的想法有「不當」，下一步，才設法讓他接受類似 的推理。

B. 培養具有二階直觀的專家，例如你、我。

(5) 認知衝突的設計可有許多策略。可「反問」學生，如果「 ，那小多少？」不算是錯的思維，因認為 的人，也許追問之下，已可明確說出：「不管多小的正數ε， 與1的差都可以比ε還小」因此，相信「 」的直觀者中，一部分已具上述數學，以「1做為極限」的思維，那麼要培養的只是極限的定義、數學的定義。說明上述思維的內容，在數學上以「極限」稱呼。不過，對尚無法發展出上述思維者，就應著力在「克制」的策略上。努力學習把 看成 的過程步驟，克制自己的直觀。」。

6. 回饋後重新再調整

廖老師的初版工作單，經過試驗及報告，並獲得工作坊成員回饋後，重新調整活動內容，將原本兩數比較大小(差值)，和實數稠密性的活動結合，更增加火車接軌，以及數線上兩點距離等活動，企圖以這些經驗銜接，實數稠密性與等值的意義；此外，以分母為9的真分數，及其等值的無窮循環小數，建立一系列結果與過程相等的例子(如 )，希望學生能歸納出兩數等值( )；同時，保留了代數計算兩數等值的活動；最後，增加反省與評論的活動，於是形成〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單的內容(如下表)。

表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(二版)

內容

1. 你認為1是一個數嗎？

2. 你認為 是一個數嗎？

3. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。



4. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。



5. 你所標示的這兩個點，它們的距離是多少呢？

6. 以下是幾個關於數線的是非題。

（）0和1之間有數。

（）0.5和0.6之間有數。

（）0和 之間有數。

（） 和 之間有數。

（）3和 之間有數。

7. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？

8. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。



你同意這個式子嗎？

請你完成以下的推論。

















經由哪一個式子，可以發現 與1的大小關係呢？它們的大小關係是……？

9. 未知數x也想加入這場遊戲，

如果令 x＝0.9999999……＝

那麼 10x＝＝

兩個式子相減，你可以得到？

10. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？

11. 你會怎麼形容 ？

12. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？



編者註解：

1. 此份設計主要有四個部分：(1)問題1-7是不等兩數間，必有其他數(實數稠密性)的活動；(2)問題8是過程與結果等值活動；(3)問題9是以代數計算兩數等值的活動；(4)問題10-12則是反思與評價的活動。

2. 第一部份可看到問題1-2用來確認是否為數；問題3則提供接鐵軌遊戲的連接經驗，意圖類比到數線稠密性的問題4 -5上；問題6-7則檢驗等值兩數之間不會再有數字，以用來製造衝突。

3. 第二部份是利用除法運算(過程)建立分數(結果)，與無窮循環小數(過程結果)的等值關係，如 ，意圖讓學生推論出 。

4. 第三部份和初版設計相同，利用國中小生可理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓讓學生相信「 」。

5. 第四部份則是讓學生，重新反思自己對兩數的認知，意圖讓學生產生抑制直觀的經驗。

7. 教學實驗後的微調

廖老師在一個七年級的學生班，使用〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單進行教學實驗，可看到學生對於兩數的觀點，隨著活動的進行而有所改變，詳細結果整理在下個章節，以下是實驗後，廖老師自己提出(1)-(3)點修正想法，和其他教師提出(4)-(6)點的修改想法：

(1). 第6題與第7題之間可再增加一些題目來增強連結。

(2). 第8題的引導似乎有不足，因此許多學生直接從 跳到1，而無法觀察到 在過程中的角色。

(3). 第9題，在式子中，兩式皆出現了兩個等號，干擾學生在兩式相減時的作答，應加以修正。

(4). 第6題的第三小題：3和 之間有數。這個題目讓我容易聯想到 與1是同一個數的2種不同表徵方式。

(5). 我喜歡活動2的設計，藉由循環小數的推導，看到 ＝1。 ，是1，非1，終究還是1啊！。

(6). 其他老師K：活動2的 很容易直接得出1這個答案， 就出不來了，建議稍做調整。

廖老師根據這些意見，微調二版工作單，而得三版的〈你可以再靠近一點： 與1〉臆測活動工作單，如下：

表XX：〈你可以再靠近一點：0.9循環與1〉(臆測活動工作單三版)

內容

《活動之前：Discovery探索頻道之心聲突擊隊》

1. 是非題，圈出你心中的感覺，憑直覺作答並且先不要修改。

（）我認為 等於1。

（） 不等於1， 趨近於1。

（）如果 ＝1寫在數學課本上，那我會相信它是對的。

（）我堅信 不等於1，而且不相信任何 ＝1的解釋。

（）在人的主觀意識裡 不會等於1，在人的主觀意識之外 沒有意義。

（）1若表徵為終點， 就是永遠持續的追求。

（） 原本不等於1，但他和1的差距小到可以忽略，所以 會等於1。

（）差距不論多小都不應該忽略，所以 不等於1。

（）我應該能找到1和 相減的差。

（）我應該找不到1和 相減的差，但是我相信這個差距存在，只是我找不到好的表示方式。

（） 不等於1，因為相減還不等於0，是等於 。

（）我認為在有限的思維裡討論「 是否等於1」的問題是沒有意義的。

（）我認為要討論「 是否等於1」的問題時，直覺並不可靠。所以我拒絕用直覺作答。

《活動1：數線上的密室》

2. 你認為1是一個數嗎？

3. 你認為 是一個數嗎？

4. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。



5. 火車軌道和數線，你覺得這兩者有什麼相似之處呢？

6. 如果軌道有斷裂（如上圖右）的地方，那麼火車就無法通過了。請問，你認為數線上有斷裂的地方嗎？為什麼？

7. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。



8. 你所標示的這兩個點，它們之間有數嗎？

9. 以下是幾個關於數線的是非題。

題目 ○ × 如果你認為有，請舉一個例子。

0和1之間有數。

0.5和0.6之間有數。

0和 之間有數。



和 之間有數。



3和 之間有數。



和1之間有數。



10. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？

《活動2：亦步亦趨》

11. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。



(1)你同意這個式子嗎？

(2)請你繼續以下的推論。

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

(3)哪一個式子，可以使你發現 與1的大小關係呢？請你在式子前面打勾。

(4)經由你所打勾的式子，你發現 與1的大小關係是……？

《活動3：友誼的橋樑》

12. 未知數x也想加入這場轟動數學世界的遊戲，

如果令 x＝0.9999999……

那麼 10x＝

兩個式子相減，你可以得到？

13. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？

14. 你會怎麼形容 ？

15. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？

編者註解：

1. 此版設計主要有五個部分：(1)先備經驗的調查，問題1；(2)數線上的密室，問題2-10；(3)亦步亦趨，問題11；(4)友誼的橋樑，問題12；(5)反思與評價，問題13-15。

2. 此版設計延續二版的設計想法，部份新增與微調，包含：(1)新增教學實驗經驗設計問題1，調查學生在活動前，對兩數相關問題的認知表現；(2)新增問題6，橋接鐵軌與數線經驗；(3)調整問題10，請學生舉例，用來提示學生區別表徵不同與數值不同；(4)調整問題11，隱藏除法運算，引導學生從規律中歸納出 ；(5)調整問題12，減少學生錯誤解「x=9」的產生。

8. 留下的是數學的結構

廖老師參與這次工作坊的過程，對於工作坊林教授對學習的觀點印象深刻，久久不能消退，她說：「有句話始終盤旋迴盪在研究者的心中，那是林福來教授在工作坊第二次上課時所說的一句話：『在數學學習之後，經過一個星期、一個月、三個月……學生還記得什麼？是情境性的？還是記得最後的結論？還是......？？我們期望學生留下的，是數學的結構。』」。當她在設計這份學習單時，設定的主要目的並非學生記住「 」這個結果，而是透過臆測活動引導，讓學生更清楚瞭解 ，並對數學有更濃厚的興趣，她說：「這份工作單的重點不在於，使學生記得 ＝1此結論（若他能記得固然很好，但這卻非此份工作單的最主要目的），而是希望學生能藉著，這份以臆測為策略的工作單引導，對於 的性質，有更多的認識，同時亦能引發對於數學世界的興趣（請姑且允許我們認為「懸疑」、「靈異」、「恐怖」、「驚豔」，都算是種感興趣的形容詞）」。

9. 設計不能囿於成見

廖老師從實驗結果發現，透過問題的提問可引導學生思考，並促成學生調整自己的概念，她說：「經由觀察學生作答，可發現學生能藉著一些提問，引發主動思考，而在經由一連串的主動思考後，個別學生亦能不同程度地調整自己的直觀感覺。」活動過程中，學生逐漸接受兩數相等的觀點，有些學生克制了直觀後認為「 」，但有些學生在既有直觀下接受相等並認為「 」這奇怪的結果，廖老師以工作坊林教授提到，禮記學記篇的「強而弗抑」加以詮釋，她說：「令人哭笑不得的是，有部分學生最後竟得出「 」的結論然而開心的是，學生至少將「＝」也納入可能裡。

但令人無言的是，這是個怎麼看、怎麼怪的式子阿！這時，也只能用老師說的「強而弗抑」來自我安慰了。」不過，更令廖老師驚訝的是，原本她認為學生應最不能接受，代數計算無窮循環小數的等值分數活動，實驗結果卻顯示，經過此活動後，更多的學生開始相信「 」。此外，這活動對學生的衝擊亦不小，還有不少學生認為這是最喜歡的活動，如學生寫下「因為它證明了 」、「太可怕了！」、「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」等，這些結果促使廖老師，反思自己設計活動的想法，她說：「令人驚訝的是，研究者認為最難令學生接受的第三個活動，竟有學生是因它才相信 ＝1，亦有為數不少的學生表示，最喜歡第三個活動。這也提醒研究者，未來在設計教學活動時，應盡量減少因個人的喜好與成見，而對於教學方法有所偏廢的情況。」

二、學生的表現

1. 「 」不是數！

從二版問題1與2的結果來看，雖29位學生一致認為1是數，但其中8位學生不認為 是數，但並沒有寫下說明，只有編號S11的學生寫下：「嗯！」但有趣的是，若 不是數，應不會出現在數線上，亦無法和1比大小，更無法論述和1相等，但試驗的結果有學生認為 不是數，卻在數線上標示比1小。

2. 小於1，但非常接近1！

從問題4的數線標示結果來看，有6位學生標出 與1位置相同，但其中5位(S02, S08, S09, S11, S19)將標示塗大，只有1位(S24)直接標示；有17位學生將 標示不同於1的位置上；其餘6位學生則未標出 的位置，其中5位(S01, S06, S12, S18, S27)僅標出0.9的位置，另1位(S22)則是寫下「很接近很接近1」。顯然，除了無標示的學生和S24外，其他學生均認為接近的兩數是不同的。

從問題5的兩位置距離結果來看，學生表示距離的形式雖不同，但大多數學生(19位)認為兩者之間有距離，即兩數不同，如距離為「 」有6位(S01, S06, S13, S23, S28, S29)；「 」有2位(S05, S14)；「 」有3位(S10, S17, S19)；「≒0」、「一個小單位」和「0.1」則各有1位(S11, S12, S18)；「 」有5位(S02, S15, S16, S21, S25)。有少數學生(4位)認為兩者之間的距離為零，寫下距離為「0」的有4位(S07、S08、S20、S24)，不過學生表示距離為零時，並不意謂著兩數相等，就如S26表示距離「可以是0.0……1，也可以是沒有吧！」。最後有5位學生未寫下兩位置的距離，其中1位表示「不知」。綜觀以上兩個問題的結果，僅有1位學生明確表示「 」的觀點，其餘大部分學生認為，「 小於1，但非常接近1」的看法，但距離問題似乎對他們的認知產生干擾的作用。

3. 等於1嗎？

從問題6的是非題來看，學生知道兩個不等值的數之間還有其他數，但有半數以上學生(18位)，將表徵方式不同的3和 看成不同(值)，顯見廖老師的問題設計，亦引出學生另一種直觀。從問題7的結果來看，學生觀點開始產生變化，前面問題是以 觀點，回答的學生開始產生疑惑，例如「S02： 好像是1，又好像不是。」、「S09：數學是矛盾的。」、「S10：有點矛盾， 可以等於1，也可以不等於1。」、「S13：嗯…那個， ！！（不肯定中）」、「S20：有點奇怪，好像一樣，又好像不一樣。」甚至原認為兩數不同，且有距離的學生，開始認為兩數相同，如S11、S19和S21三位均表示「 」此外，原將兩數標示相同位置，並認為距離為零的學生S24，卻表示「 與1的距離幾乎為0」。可見學生對兩數認知的改變十分多樣。

4. ！

從問題8的結果來看，已有6位學生經由這一系列真分數，以及其等值的無窮循環小數，如 ，可歸納出 。當再次提問比較 與1兩數大小時，有9位學生表示「 」，多於問題7的3位，但仍有12位學生認為「 」。從問題9代數方法，計算無窮循環小數的結果來看，17位學生可解出「x=1」，6位學生錯誤解出「x=9」，其餘則未解出。此活動最特別之處為，某些學生解出「x=1」時，對其原本的認知造成衝擊，例如，學生S13在問題1-8都顯示出「 」的觀點，但當他利用代數計算方式解出「x=1」時，寫下這個結果對他的衝擊：「太可怕了！」。經過前面三個主要活動：火車軌道(兩個不同實數之間的數與距離)、分數歸納(分數及其等值無窮循環小數)、代數演繹(代數計算無窮循環小數的等值分數)等，再由問題10重新讓學生描述兩數 與1的關係，有5位認為小於或等於：「 」，有12位認為相等：「 」，合計有17位學生，已將兩數相等列入關係中，可見經過這些活動後，尤其是經過代數計算活動，認為兩數會相等的學生更多！

5. 有趣！好玩！令人驚豔！

從問題11的結果來看，11位學生最喜歡火車軌道活動，他們大都認為「有趣」或「好玩」，較特別的是，有學生認為「可動動腦」、「因為很酷」；有3位學生最喜歡分數歸納活動，他們認為「好玩」、「很懸疑」；有7位學生最喜歡代數演繹活動，有些學生認為「因為它證明了 」，有些學生則認為「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」；有3位學生認為三個活動都喜歡，除了「好玩」的理由，有位學生表示「數學真奧妙」。



三、編者的話

符號「 」，從數學本質上來看，它同時表徵潛在無窮累加過程「 」與潛在無窮累加的收斂結果1，此符號會被看成是表徵累加的過程，無論累加至第幾項，其結果都小過1，因此很容易推得 的觀點；從認知來看，人對潛在無窮過程的認知，常以直觀處理，且常是錯的，如有名的芝諾悖論，這樣的直觀具有立即性、確定性與持久性，不容易改變，例如廖老師訪談幾位成人的表現，即使曾學習過論證方式，卻仍以直觀回答，要改變不當的直觀，則可從解析下手，例如廖老師提問學生兩數相差多少？或兩數之間是否有數？引導學生從解析的觀點思考，產生與直觀不同的結果，造成認知衝突，引動學生思考，才有機會進行直觀的克制或調整。在此工作單設計內，便提供了幾個可能的策略，如引導學生以解析進行思考的提問，「兩數之差是多少？」、「兩數位置是否相同？」、「兩數之間是否還有其他數？」等；另外，引導學生從幾個無窮循環小數，以及其等值分數的案例，歸納形成兩數相等的臆測，以及利用國中學生可理解的，代數計算等值無窮循環小數的方式，論述兩數等值等，不同策略的結合與使用，皆值得再深入探索。



工作單設計與實驗：廖惠儀(高雄市大仁國中)

林壽福(臺北市蘭雅國中)

吳如皓(臺北市蘭雅國中)

文章編撰：陳建誠(明志科技大學)

工作單設計案例

從迷思出發

在數學教學中，常見學生有各種迷思，如「和用加法、差用減法」的關鍵字迷思、「乘會變大、除會變小」的運算迷思、「以加法解比例問題」的策略迷思、「零點九九循環小於1」的動態無限迷思、「3的倍數加6的倍數為9的倍數」的推理迷思，以及「和的平方等於平方的和」的交換迷思等等，皆是學生在學習過程中，可能產生疑惑或困難，然而，這些迷思可用來設計成，促進學生思考的工作單嗎？若可以，該如何進行？學生學習表現會有何不同？教師本身有何改變？這節將以廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1...

《主動思考:貼近數學的心跳》

序

林福來

〈開而弗達則思〉

先秦《禮記‧學記》論述一位好老師，教學有三要三不要的原則。

君子之教喻也，道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。

道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思；和易以思，可謂善喻矣。

教學的三要原則就是道-引導、強-鼓勵、開-啟發；教學的三不要是不要牽、不要抑、不要達。三要三不要的教學，讓學習過程能有互動唱合、學習容易且主動思考，因而能經驗和易以思的學習歷程，這樣的教學就很容易讓學生瞭解。

利用道、強、開；牽、抑、達當作六個教學構念，我們訪談一群資深績優數學教師的教學觀，他們的共同論述是，在現實的教學脈絡下，他們認同教學要引導、鼓勵、啟發；但不敢不牽、不抑，否則怕教材「教不完」；也不敢不達，因為不把問題詳解傳授，總覺得「不放心」。教不完及不放心的負面教學想法，主導他們的教學。

這樣的教學現況下，我國學生在國際數理教育評比(TIMSS)歷屆的表現都很一致，就是「平均成就高」、「學習興趣與信心低」、「學習表現兩極化」。以考試為目標的被動式學習，是我國學生整體表現所以如此的有力註解。



〈主動思考的學習〉

在2009年一群資深數學教師，包括數學領域中央輔導團及臺北市與新北市數學科輔導團團員一起來找我為他們規畫教師成長工作坊。我開始針對當下數學教學與學習的特性及利弊現象，思考工作坊的目標，訂下教學就是要啟動學生主動思考，做為教師的教學成長指標。另外，我們提出"學生是學習者，教師是學習者，師培者也是學習者"的工作坊學習理念。既然學生、教師、師培者一起定位為學習者，而促進學生主動思考是教師的成長任務，教師自身也必須「主動思考」，想一想如何啟動學生主動思考的教學策略；類推到師培者，師培者當然也要主動思考，在經營教師專業成長工作坊時，怎麼樣的輔導策略能道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。



〈臆測即主動思考〉

怎麼樣的數學教學能帶動學生主動參與且主動思考?

文獻上，數學遊戲、探究跟臆測活動都能啟動學生主動參與主動思考。進一步普查數學的學習內涵；不論概念了解、程序運作、問題解決以及數學論證，都有實例可以辯證數學臆測確能融入各不同內涵的學習活動。數學學習不外乎上述四種學習內涵，如果以臆測活動為主要教學進路，那麼學生學習數學時，主動思考的習性就最容易養成。學生參與數學臆測活動時，將一再經驗「造例子―檢驗」的過程，造正例，舉非例或舉反例是臆測活動的主軸。觀察正例，察覺共同的屬性，經過非例、反例的檢驗後，即可做出自己的臆測：形成一個數學命題。自我取信自己的臆測後，進一步能取信於同儕，在數學教室內就可留下自己臆測的命題，留待自己、教師、專家論證它。



參與臆測活動，學生的思考自由發揮，形成的命題往往不是一般教科書所敘述的。或許它不是偉大的作品，也不一定比課本的敘述更強而有用，但學習的現象是學生自己親身參與發現數學命題的感動。因而中小學生的數學材料不再只是一成不變前人所累積的死知識，而是處處有活水，是活的材料。

〈設計臆測活動工作單〉

學生進行工作單所任務的處理，主動參與學習很容易達成。如果工作單又是數學臆測活動為基調，學生主動思考就在其中。



教師進行臆測活動工作單設計，可分兩階段，第一階段是沒有學生在面前的乾想設計，第二階段是將乾想設計的工作單依序讓一些學生實作，進行修訂。實作學生人數，可能只有一位、一小組或一班，可依序進行。在起始的乾想階段，當老師設定一數學主題後，最棘手的困境是「設計的原始材料在哪裡?」

〈從最熟知的出發〉

設計的原始材料當然要是每位教師都唾手可得，設計的工作才能可長可久，臆測的教學進路才有推動的意義。



教師，最豐富的知識有幾項，一是所教的教材，教科書內敘述的數學概念、數學事實、數學定理等。另外，就是坊間的補充教材，像考題、參考書等。還有一樣資深教師，人人琅琅上口或埋在心裡的就是關於學生的學習迷思。教過幾個班，甚至教過幾輪後，學生在每個單元會出現哪些迷思，資深教師可謂瞭若指掌，可以如數家珍。



既然教師熟悉又豐富的原始材料是數學內容、考題，以及學生迷思，我們就選擇一些設計案例，分別是從學生迷思出發、從教材出發、從考題出發、從事實出發等分章報告，看教師們設計過程中是如何主動思考、反思實作，完成一份能促進學生主動思考的數學臆測工作單的學習歷程。

〈數學亮點基地學校的前身〉

本書摘錄幾份教師研發數學工作單的成長歷程的故事，承載故事的是一個近三年的數學教師專業成長工作坊之運作。本書是此工作坊的成果之一。該工作坊最重要的成果還在於它提供了教師專業成長工作坊的課程設計模式，包括教師專業成長的目標設定、工作坊的學習內容與學習方式，以及在脈絡上教師參與工作坊必要的主動性等。



臺灣自2012年度起，教育部的數學領域中央輔導團工作規劃，突破傳統由上而下的輔導模式，即央團輔導地方團，地方團輔導在地學校。由上逐級而下單次輔導的模式其實作缺失是學校教師對外來輔導介入，往往無感。2012年起，改進的方案就是「數學亮點基地計畫」：教育理念是學生、教師、師培者都是學習者；主動思考是學習過程的核心；以學校為單位主動申請執行亮點基地計畫，並根據各校教師的教學主題需求，央團配置專家師培師到校全學期約五次的輔導。從2012年至2015年，參與的亮點基地學校，重複參加照算，三年來將超過500，各地方輔導團多數也分年參與。有90%以上的臺灣數學教育學者，以及許多專家教師參與輔導。



承載本書內容的三年工作坊，及其發展出的經營教師成長工作坊之運作方法，就成為推展數學亮點基地工作坊的基礎，也就是數學亮點基地計畫的前身。

〈教師主動思考學習的小故事〉

《主動思考：貼近數學的心跳》這本書是根據一群數學教師主動思考，學習設計教學工作單，以促進學生主動學習之反思實作紀錄編寫而成。每章刻畫的是一段一段教師的教學成長的小故事。本書的內容，最重要的貢獻者，當然是參與工作坊的資深教師的反思報告。這些報告，經過一組數學教育學者充分討論，這些學者都是每次工作坊的參與觀察者或參與課後評論者；再責成參與觀察的成員負責編寫一篇一篇的小故事，最後依照教師設計工作單時的起始材料分章編輯成書。這是一本關於數學教師的專業成長小故事，期許可以讓大家感覺臺灣數學教育真的可以更美好的一絲希望。

《主動思考:貼近數學的心跳》

序

林福來

〈開而弗達則思〉

先秦《禮記‧學記》論述一位好老師，教學有三要三不要的原則。

君子之教喻也，道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。

道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思；和易以思，可謂善喻矣。

教學的三要原則就是道-引導、強-鼓勵、開-啟發；教學的三不要是不要牽、不要抑、不要達。三要三不要的教學，讓學習過程能有互動唱合、學習容易且主動思考，因而能經驗和易以思的學習歷程，這樣的教學就很容易讓學生瞭解。

利用道...

序 林福來
目　錄
為主動思考設計：啟發
理論篇
第一章、主動思考

第二章、臆測促進思考
案例篇

第三章、從學生學習經驗出發(一)：學生迷思
廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉

第四章、從學生學習經驗出發(二)：數學教材
吳如皓老師設計的〈寫出程度〉

第五章、從教學資源出發(一)：數學魔術
以林壽福、吳如皓及廖惠儀等三位老師設計的〈混水摸幣〉

第六章、從教學資源出發(二)：數學考題
黃麗紅老師設計〈等差級數〉和〈等幾何猜想〉

第七章、從數學事實出發(一)：數學事實
莊國彰老師設計〈三角形邊長不等關係〉

第八章、從數學事實出發(二)：數學事實
吳如皓老師所設計的〈無窮等比級數〉

第九章、從數學事實出發(三)：數學公式
以林壽福、莊國彰和吳如皓三位老師相繼設計〈數學公式〉

序 林福來
目　錄
為主動思考設計：啟發
理論篇
第一章、主動思考

第二章、臆測促進思考
案例篇

第三章、從學生學習經驗出發(一)：學生迷思
廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉

第四章、從學生學習經驗出發(二)：數學教材
吳如皓老師設計的〈寫出程度〉

第五章、從教學資源出發(一)：數學魔術
以林壽福、吳如皓及廖惠儀等三位老師設計的〈混水摸幣〉

第六章、從教學資源出發(二)：數學考題
黃麗紅老師設計〈等差級數〉和〈等幾何猜想〉

第七章、從數學事實出發(一)：數學事實
莊國彰老師設...